Appunti Analisi 2

Università di Roma Tor Vergata – corso Morsella

1 Federico Casucci Federico Casucci ©

1 Sommario

• 2 Funzioni di più variabili _________________________________________________________________ 8
• 2.1 Funzioni scalari di variabili reali ________________________________________________________ 8
• 2.2 Funzioni vettoriali di variabili reali ______________________________________________________ 8
• 2.3 Proprietà di ℝ _________________________________________________________________________ 8
• 2.4 Sottoinsiemi di ℝ ______________________________________________________________________ 8
• 2.5 Teorema di Bolzano-Weierstrass __________________________________________________________ 9
• 3 Limiti ___________________________________________________________________________________ 10
• 3.1 Limite di una funzione scalare in più variabili ______________________________________________ 10
• 3.2 Limite di una funzione vettoriale in più variabili ____________________________________________ 10
• 3.3 Algebra dei limiti ______________________________________________________________________ 11
• 3.4 Limite di una successione di punti ________________________________________________________ 11
• 3.5 Teorema ponte ________________________________________________________________________ 11
• 3.6 Non esistenza del limite ________________________________________________________________ 11
• 3.7 Calcolo del limite di funzioni scalari in coordinate polari _____________________________________ 12
• 4 Continuità _____________________________________________________________________________ 13
• 4.1 Continuità ____________________________________________________________________________ 13
• 4.2 Algebra delle funzioni continue __________________________________________________________ 13
• 4.3 Proposizione __________________________________________________________________________ 13
• 4.4 Insieme connesso ≅ intervallo _________________________________________________________ 13
• 4.5 Teorema di esistenza degli zeri __________________________________________________________ 13
• 4.6 Teorema dei valori intermedi ____________________________________________________________ 14
• 4.7 Insieme compatto ≅ intervallo compatto ________________________________________________ 14
• 4.8 Teorema di Bolzano-Weierstrass _________________________________________________________ 14
• 4.9 Teorema di Weierstrass ________________________________________________________________ 14
• 4.10 Proposizione __________________________________________________________________________ 14
• 4.11 Uniforme continuità ___________________________________________________________________ 15
• 4.11.1 Teorema di Heine-Cantor ___________________________________________________________ 15
• 5 Derivabilità ____________________________________________________________________________ 16
• 5.1 Derivata direzionale e derivata parziale ___________________________________________________ 16
• 5.2 Algebra delle funzioni derivabili _________________________________________________________ 16
• 6 Differenziabilità _______________________________________________________________________ 17
• 6.1 Teorema su differenziabilità, derivabilità e continuità _______________________________________ 17
• 6.1.1 Implicazioni del teorema ___________________________________________________________ 17
• 6.1.2 Significato geometrico della differenziabilità e del gradiente per _____________________ 18
• 6.2 Algebra delle funzioni differenziabili ______________________________________________________ 19
• 6.3 Teorema del differenziale totale _________________________________________________________ 19
• 6.1 Regola della catena ≅ derivata della funzione composta – caso particolare _____________________ 20
• 6.2 Segmento in ℝ _______________________________________________________________________ 21

Federico Casucci © 3

• 6.3 Teorema di Lagrange del valor medio ___________________________________________________ 21
• 6.4 Teorema sulla funzione costante _________________________________________________________ 21
• 7 Derivabilità e differenziabilità di grado superiore al primo ___________________________ 22
• 7.1 Derivata seconda ______________________________________________________________________ 22
• 7.2 Differenziabilità per la seconda volta _____________________________________________________ 22
• 7.3 Teorema di Schwartz ___________________________________________________________________ 22
• 7.3.1 Teorema di Schwartz in forma matriciale ______________________________________________ 22
• 7.4 Polinomio di Taylor al secondo ordine ____________________________________________________ 23
• 7.5 Polinomio di Taylor al m-esimo ordine ____________________________________________________ 24
• 8 Massimi e minimi ________________________________________________________________________ 25
• 8.1 Punti estremali ________________________________________________________________________ 25
• 8.2 Punti stazionari _______________________________________________________________________ 25
• 8.3 Teorema di Fermat ____________________________________________________________________ 25
• 8.4 Matrici definite positive e negative _______________________________________________________ 25
• 8.4.1 Caratterizzazione spettrale di matrici definite positive/negative __________________________ 25
• 8.4.2 Caratterizzazione spettrale di matrici ____________________________________________ 26
• 8.5 Condizione sufficiente per l’estremalità ___________________________________________________ 26
• 9 Differenziabilità di funzioni vettoriali ________________________________________________ 28
• 9.1 Regola della catena ____________________________________________________________________ 28
• 10 Massimi e minimi vincolati ____________________________________________________________ 30
• 10.1 Teorema di Dini o della funzione implicita _________________________________________________ 30
• 10.1.1 Generalizzazione del problema della funzione implicita __________________________________ 31
• 10.1.2 Curva di livello, punto regolare e nuovo significato geometrico del gradiente in ℝ ___________ 31
• 10.2 Teorema di Dini generale _______________________________________________________________ 32
• 10.2.1 Generalizzazione del problema della funzione implicita __________________________________ 33
• 10.2.2 Superficie di livello, punto regolare e significato geometrico del gradiente in ℝ _____________ 33
• 10.2.3 Funzione di livello, punto regolare e proprietà del gradiente in ℝ ________________________ 33
• 10.3 Massimi e minimi vincolati ______________________________________________________________ 34
• 10.4 Teorema dei moltiplicatori di Lagrange ___________________________________________________ 34
• 10.4.1 Applicazione del teorema dei moltiplicatori di Lagrange _________________________________ 36
• 10.5 Ricerca massimi e minimi in un generico insieme ___________________________________________ 36
• 11 Diffeomorfismi _______________________________________________________________________ 38
• 11.1 Teorema di inversione locale ____________________________________________________________ 38
• 11.1.1 Corollario ________________________________________________________________________ 38
• 12 Integrali doppi _______________________________________________________________________ 41
• 12.1 Integrale di Riemann su un rettangolo ____________________________________________________ 41
• 12.1.1 Proprietà dell’integrale su un rettangolo ______________________________________________ 42
• 12.1.2 Formule di riduzione per gli integrali sui rettangoli _____________________________________ 42
• 12.2 Integrale di Riemann su un generico insieme _______________________________________________ 44

Federico Casucci © 4

• 12.3 Insieme misurabile ____________________________________________________________________ 44
• 12.3.1 Lemma di caratterizzazione degli insiemi di misura nulla ________________________________ 44
• 12.3.2 Teorema di caratterizzazione degli insiemi misurabili ___________________________________ 45
• 12.3.3 Proprietà degli insiemi misurabili ____________________________________________________ 46
• 12.4 Integrabilità delle funzioni generalmente continue __________________________________________ 47
• 12.5 Integrabilità di funzioni continue su insiemi misurabili ______________________________________ 48
• 12.5.1 Proprietà dell’integrale su un insieme misurabile _______________________________________ 48
• 12.6 Insieme normale ______________________________________________________________________ 48
• 12.6.1 Teorema di misurabilità di un insieme normale ________________________________________ 49
• 12.6.2 Formule di riduzione per gli integrali su insiemi normali _________________________________ 50
• 12.7 Cambiamento di variabile per integrali doppi ______________________________________________ 51
• 13 Integrali tripli _______________________________________________________________________ 54
• 13.1 Insieme normale in ℝ _________________________________________________________________ 54
• 13.1.1 Teorema di misurabilità di un insieme normale in ℝ ___________________________________ 54
• 13.1.2 Formule di riduzione per gli integrali su insiemi normali in ℝ ____________________________ 54
• 13.2 Cambiamento di variabile per integrali tripli _______________________________________________ 55
• 13.3 Baricentro ____________________________________________________________________________ 55
• 13.4 Volume dei solidi di rotazione I teorema di Pappo-Guldino _________________________________ 55
• 14 Integrali impropri in più variabili ____________________________________________________ 57
• 14.1 Insieme illimitato misurabile ____________________________________________________________ 57
• 14.1.1 Misura dell’insieme illimitato misurabile ______________________________________________ 57
• 14.2 Integrale improprio di funzioni non negative _______________________________________________ 57
• 14.3 Criterio del confronto __________________________________________________________________ 58
• 14.4 Integrale improprio di funzioni di segno variabile sommabilità ______________________________ 59
• 14.5 Teorema per il calcolo dell’integrale improprio _____________________________________________ 59
• 14.5.1 Integrali impropri notevoli __________________________________________________________ 60
• 14.6 Algoritmo di calcolo di un generico integrale improprio ______________________________________ 62
• 15 Curve _________________________________________________________________________________ 63
• 15.1 Continuità di una funzione vettoriale in una sola variabile ____________________________________ 63
• 15.2 Curva parametrica _____________________________________________________________________ 63
• 15.3 Curva cartesiana ______________________________________________________________________ 63
• 15.4 Curva polare __________________________________________________________________________ 63
• 15.5 Curva chiusa __________________________________________________________________________ 64
• 15.6 Curva semplice ________________________________________________________________________ 64
• 15.7 Curve equivalenti ______________________________________________________________________ 64
• 15.8 Orientazione di una curva _______________________________________________________________ 64
• 15.9 Concatenazione tra curve _______________________________________________________________ 64
• 15.10 Derivabilità di una curva ______________________________________________________________ 65
• 15.11 Curva rettificabile ___________________________________________________________________ 65

Federico Casucci © 5

• 15.12 Rettificabilità delle curve di classe ___________________________________________________ 66
• 15.12.1 Lunghezza di una curva cartesiana _________________________________________________ 66
• 15.12.2 Lunghezza di una curva polare _____________________________________________________ 66
• 15.13 Curva regolare ______________________________________________________________________ 66
• 15.13.1 Curva regolare a tratti ____________________________________________________________ 67
• 15.14 Curva omotopa ______________________________________________________________________ 67
• 15.15 Baricentro di una curva _______________________________________________________________ 67
• 16 Campi vettoriali e integrali curvilinei _______________________________________________ 68
• 16.1 Integrale curvilineo di un campo vettoriale ________________________________________________ 68
• 16.1.1 Invarianza dell’integrale curvilineo per riparametrizzazioni ______________________________ 68
• 16.2 Campo conservativo ___________________________________________________________________ 69
• 16.2.1 Potenziale del campo conservativo ___________________________________________________ 69
• 16.2.2 Integrale curvilineo di un campo conservativo _________________________________________ 69
• 16.2.3 Caratterizzazione dei campi conservativi ______________________________________________ 69
• 16.3 Campo irrotazionale ___________________________________________________________________ 71
• 16.4 Irrotazionalità e conservatività __________________________________________________________ 71
• 16.4.1 Irrotazionalità come condizione necessaria per la conservatività __________________________ 71
• 16.4.2 Invarianza omotopica dell’integrale curvilineo di un campo irrotazionale ___________________ 72
• 16.4.3 Insieme semplicemente connesso; insieme convesso ____________________________________ 72
• 16.4.4 Condizione sufficiente per la conservatività – corollario dell’invarianza omotopica ___________ 73
• 16.5 Algoritmo di calcolo di un generico integrale curvilineo ______________________________________ 73
• 16.6 Corrispondenza tra campo vettoriale e forma differenziale ___________________________________ 74
• 17 Campi vettoriali in ℝ ________________________________________________________________ 75
• 17.1 Teorema di derivazione sotto segno di integrale ____________________________________________ 75
• 17.1.1 Corollario ________________________________________________________________________ 75
• 17.2 Dominio regolare ______________________________________________________________________ 75
• 17.2.1 Dominio regolare normale __________________________________________________________ 75
• 17.2.2 Dominio regolare o di Green _________________________________________________________ 76
• 17.3 Rotore di un campo nel piano ____________________________________________________________ 76
• 17.4 Teorema di Gauss-Green ________________________________________________________________ 76
• 17.4.1 Corollario ________________________________________________________________________ 78
• 18 Superfici _____________________________________________________________________________ 80
• 18.1 Superficie elementare o parametrica _____________________________________________________ 80
• 18.2 Superficie cartesiana ___________________________________________________________________ 81
• 18.3 Punti interni e bordo di una superficie ____________________________________________________ 81
• 18.4 Piano tangente a una superficie __________________________________________________________ 82
• 18.5 Superficie regolare _____________________________________________________________________ 83
• 18.6 Superficie orientabile __________________________________________________________________ 84
• 18.7 Superficie composta regolare a pezzi _____________________________________________________ 85

Federico Casucci © 6

• 18.8 Superficie composta orientabile __________________________________________________________ 86
• 18.9 Superfici equivalenti ___________________________________________________________________ 86
• 18.10 Superfici di rotazione – parametrizzazione e area II teorema di Pappo-Guldino ______________ 86
• 19 Campi vettoriali in ℝ e integrali superficiali ________________________________________ 88
• 19.1 Integrale superficiale di una funzione scalare ______________________________________________ 88
• 19.1.1 Invarianza dell’integrale di superficie per riparametrizzazioni ____________________________ 88
• 19.2 Flusso di un campo vettoriale ____________________________________________________________ 89
• 19.3 Dominio regolare ______________________________________________________________________ 89
• 19.3.1 Dominio regolare normale __________________________________________________________ 89
• 19.3.2 Dominio regolare __________________________________________________________________ 91
• 19.4 Divergenza di un campo vettoriale in ℝ __________________________________________________ 91
• 19.5 Teorema della divergenza _______________________________________________________________ 91
• 19.6 Rotore di un campo vettoriale in ℝ ______________________________________________________ 94
• 19.7 Teorema di Stokes _____________________________________________________________________ 94
• 20 Serie numeriche ______________________________________________________________________ 97
• 20.1 Condizione necessaria di convergenza ____________________________________________________ 98
• 20.2 Serie di numeri positivi _________________________________________________________________ 98
• 20.2.1 Criterio del confronto ______________________________________________________________ 98
• 20.2.2 Criterio del confronto asintotico _____________________________________________________ 99
• 20.2.3 Criterio del confronto integrale ______________________________________________________ 99
• 20.2.4 Criterio del rapporto ______________________________________________________________ 100
• 20.2.5 Criterio della radice _______________________________________________________________ 100
• 20.3 Convergenza assoluta _________________________________________________________________ 101
• 20.3.1 Teorema ________________________________________________________________________ 101
• 20.3.2 Criterio del rapporto per serie numeriche di un qualunque segno ________________________ 101
• 20.3.3 Criterio della radice per serie numeriche di un qualunque segno _________________________ 102
• 20.4 Serie di numeri di segni alterni _________________________________________________________ 102
• 20.4.1 Criterio di Leibniz ________________________________________________________________ 102
• 21 Sistemi di equazioni differenziali ___________________________________________________ 103
• 21.1 Sistema in forma normale ________________________________