Appunti Analisi 2

Analisi II algebra lineare eg differenziali di 2^° ordine serie numeriche e di Fourier matrici

Vengono indicate con lettere maiuscole. Le matrici sono insiemi di elementi disposti in righe e colonne. Vengono indicate dalle righe e dalle colonne. A (3x2) = 3 righe e 2 colonne.

A:| 2 || x |(1,1) (2,2) Per indicare un elemento di una matrice uso il vettore minuscolo che indica che io matrice (0_i,j:2).

Posso indicare anche solo il rigo A:| 4 5 8 || 4 5 8 |R₁ = (4,5,8) C₁ = (4,4) C₂ (5,5)R₂ = (4, 8) C₃ = (8,8)

La matrice è quadrata se simmetrica, e può essere intera in un'unica riga o colonna.

Deg di matrici A e B sono uguali (A≍B), se sono dello stesso tipo, cioè hanno lo stesso numero di righe e di colonne e gli elementi che lasciano occupano le stesse posizioni e devono essere uguali.

Con questa scrittura: Mat (m, n, R) indichiamo l'insieme delle matrici del tipo m x n, con a_i,j∈R.

Somma

SOMMA: A,B–-> A+B. Devono essere matrici dello stesso tipo, e viene superato come risulta un matrice (m, n, K), quelli e le matrici di partenza A e B sono dello stesso tipo. (m, n, K). (A+B) = a_i,j + b_i,j ∀i ∀j

es: A: | 2 3 |A+B = | 5 4 || 11 |B: | 5 8 |

Prodotto

PRODOTTO: scalare–matrice. Moltiplicate una matrice per un numero.

K * Mat (m, n, K) (K, Δ) e privo elemento è sempre un numero.

Non posso indicare quadrati:| x(A) a i,j (A)_1,3 x –3 –3A= (–31) σαν (–9)

Analisi II algebra lineare eg differenziali di 2^o ordine serie numeriche e di Fourier matrici

Le matrici vengono indicate con lettere maiuscole. Le matrici sono insiemi di elementi disposti in righe e colonne. Vengono individuate dalle righe e dalle colonne. A (3x2) = 3 righe e 2 colonne.

A: (1,2) x (2,2) Per indicare un elemento di una matrice uso un vettore minuscolo e che indica e la matrice (a_i,j=2).

Posso indicare anche solo di rigo A: 1 4 5 8 4 5 8 R₁=(4,5,8) C₁=(1,4) C₂(3,5) R₂=(1, 8) C₃=(8,8)

La matrice è quadrata. La matrice è diagonale sempre, e può essere intera in un'altra maniera ovvero.

Det di matrici A e B sono uguali (A=B), se sono dello stesso tipo cioè hanno lo stesso numero di righe e di colonne e gli elementi che occupano le stesse posizioni devono essere uguali.

Con questo scritto: Mat (m, n, R) indichiamo l'insieme delle matrici del tipo m x n, con a_ij ∈ R.

Somma

SOMMA:(A,B) —> A+B. Devono essere matrici dello stesso tipo, e no come il risultato, una matrice (m,n,K), quindi le matrici di partenza A e B sono dello stesso tipo: (m,n,k). (A+B)=a_ij + b_ij, ∀i j.

e.g. A(1 2 3) A+B=(5,4,11) B(4 5 8)

Prodotto

PRODOTTO: Scalare—matrice. Moltiplicare una matrice per un numero.

K * Mat (m,n,k) (_i,₂), ogni suo elemento è sempre un numero non posso invertire l'ordine. (K A)=k a_ij

A(1,2,3) x 2-3 -3A=(-3*1,-6,-9)

Trasposizione

TRASPOSIZIONE Mat(m, n, K) → Mat(n, m, K) inverto righe e colonne.

A ↔ tA(tA)_ij = a_ji

es. A = ( 1 2 3)( 4 5 6)tA = ( 1 4)( 2 5)( 3 6)

Proprietà

PROPRIETÀ

Trasposizione: quando la effettuo 2 volte sulla medesima matrice ottengo la matrice di partenza.

t(tA) = A ∀ A ∈ Mat(m, n, K)(t(tA)) _ji = (tA)_ij = (A)_ji = a_ij

t(A) m x n ⇒ A t(A) sono dello stesso tipo.

Somma:

• (A + B) + C = A + (B + C) ∀ A, B, C ∈ Mat(m, n, K). Vero la proprietà associativa.
• A + B = B + A ∀ A, B ∈ Mat(m, n, K). Vera la proprietà commutativa.

La matrice 0 ∈ Mat(m, n, K) (0)_ij = 0 ∀ i, j è matrice nulla. A + 0 = A ∀ A ∈ Mat(m, n, K) con 0 ∈ Mat(m, n, K).

Dim: A m x n 0 m x n. ⇒ A + 0 m x n.⇒ A, A + 0 sono dello tipo m x n.

(A + 0)_ij = (A)_ij + (0)_ij (A)_ij ∀ i, j, ∀ i, j = h

Teorema: Se A + B = A ∀ A ∈ Mat(m, n, K) con B ∈ Mat(m, n, K) allora B = 0 di tipo m x n A + B = B + A

Quindi 0 = (A + B) - B + 0 = B.

Data A di tipo m x n si chiama opposto di -A, ed è l