Appunti Analisi 2

Curve, derivate e funzioni

ilcioètolgo quadratodel terminesecondo resin casoquesto GraphLunghSi Eva fraroaddiavrò µun'equazµ smog la funzioneDunquescrivodellafunzionein paramdelladella modulocurvadelladerivata curvaèSe aregolareunacurvae ètratti curvilineointegrila int trattisuivarideglisomma laaldenondiadefinizioneIudssoloche1µavremospesso allaequivaleperciòd iu nacurvalinguaUna èfunzionecontinua seL esisteMx.glsexyLeed flxo.geLa difix èinxa Gogolderivataparziale g rispetto aiacenonah sarebbefcxo.gslimp fcxoth.ygl finitiPerciò derivabiledevonoesistere ofxcxagdedfylxo.glessereper LaderivabilitànonladifferenziabilitàbastaperUna dicefunzione sedifferenziabilesilederivateparzialiesistono Elanyoth fcxo.yolfxlxo.yolhfylxo.y.lklimoni osu e questionedove inxoey.eep untoSeè èla èè contsees nonnonstudio continuità differenzacontinua neglidifferenza perciòarmille4f In casoquestopoieapplico IRPartoa tda cioèda fcui poialtiapplico ea dellaconsignanzadellacatenaregola è alleilgradientelivellodi vacurve ele direzionipiùversoalteda

Massimi e minimi di funzioni a più variabili

Massimi di funzioni variabilidiminimie piùVediamo le dicandidaticondizioni i minnecessarie max oesserepuntie perdi Fayla diDiamo definizione emax minne cosaper primaFla Fselocale dièb1 massimounfa FCX delb 7 dominioxy punto yogniper lanel discoche bcentratocontenutosia in IFla Fselocale2 dièb minimounfa E FCX delb dominioxy punto yogniper lanel discoche bcentratocontenutosia innelleCome funzioni variabiledi una locali sullecriterio studiare primebasatoestremi derivategliuseremo un perFermatdiRegolaSe haFlay in in esistonointernomin cuimax unun o un puntofilale allora fyla Questobderivate teoremab 0 0parziali eprime la valorifunzioneche glidice estremipuòin assumereunici cuipunti I frontierafrontieracritici dii disono punti sonopuntii puntie IDchedelimitano il dominio critici in cuiquelli sono quellipuntiPerciòfila tra dovròcriticify b vedereb qualii0io a sonopuntie tra critici diche néi imin quelli Maxpunti sonononmax ediné detti selladimin sono punti dellePunti critici derive parziali oEsempio esi PuntiSia Flay critici3yd2x by troviamocritico pepay o.o eg oxy Devo2 selleAbbiamo critici studiaredevo risolvereminsono maxpunti se ola funzionedelle esistano in cuipuntiragionando se assumedisequazioni CiòFlodi risulta criterivalori scomodoo O usiamo piùo perciò pratici

Teorema dell'Hessiana e criterio

Teorema dell'HessianacriterioSia f le derivate pelabseconde continueX e sue ey eprimeinterno fD criticoea per fala Fyha Lablocale b1 in oFxxfyysi co inmassimoun se eCe Yy y ifala fyha Lablocale bsi inminimo oFxxfyy2 inoseun elasellasi fydiha3 Labbin oFxxfyy inun sepuntoil4 ècriterio 0Fgconclusivo senon FxxfyyFy il di didiscriminante hesFxxfyy sianoL'espressione nome oprendef facileed daè ricordare determinantepiù comemagarifxxfyyfxytefxxfx fxyfy tsemp.ioMin LocaliMax EDeterminare localigli 3xftp.yldiestremi 2y 6y3yaVedo Dovràfrontieradiè ildefinita hatuttoche puntinonsu perciòpianoallora critici ilstudiare solo sistemaImpostoi puntiFx 606by 0 2,2y 1g 126G g 0o leOra critici calcoliamo derivateclassificare secondei punti perciòvoglioFxx fy6 fy 6 612gIl Fgdiscriminante è 7236Fxxfyy 36 1 ey729 dunqueFxx sellalo d di6 72discre puntoper f 8Fxx locale è2,2 6 72 chediscreti 2,2massimoper

Massimi e minimi assoluti in regioni chiuse e limitate

Massimi limitataassoluti chiuseminimi eine regioniLa fasilimitata articolaregionechiusaestremi 3sidegliricerca in inuna eSi adcritici1 i candidatiinternielencano cioè ipunti essere maxpuntiPer lefarlo dellerisolvo trovoderivate vedoiparzialimin punti eo equazionilavale funzione essiinquanto PerSi farlofrontieradi2 i inelencano max minaverecui opunti possole la nel Iltipodelimitano funzione dominioche Xmiauso equazioni lafosse1 funzionedefinita studio sostituendoin eunse quadratoy fflh.glnella formula tipo Iixequeste Ottengoequazioni1 èfunzione ad variabile intervallivariabile chevedo inquellauna fildefinita di deicalcolo valore candidatiottenendoestremiagliePoi lati del lala funzionedelimitache studioilungo perimetroaltriderivate candidati0 ottengo possibilieprima fIl altoil3 valore di bassoassoluto sarào piùminmassimo più oAssolutiMinEsempio Max E IDeterminare di Flay 2assoluto 2minmax 49e ynella deldelimitata delimitataquadranteregionetriangolare primodalle 9rette X figura0x o y ayDevo frontieraallastudiare interni ii puntipunti ePunti interniaFx Fli2 2 7xp0 2fy 4 29 0 ay latiPenti allab delfrontiera voltadi iconsidero triangolounoStudio la funzione0ASegmento lungo quel1 segmentoyofixf solo dovediche2x è funzione2x ino Xy Studio alloratraè notada dalla9 figura0 ex sicomecompresa digli estremi segmentoquestoflop 2X o F9 619,0 2718 81XOra internistudio i punti ovveroa questo segmento fFIX Fx722 2 32 1,012xo fy oii Studio la funzioneOBSegmento X O lungo quel segmentoFloFlay 2 solo dièche funzione4g in daveyy y y Studio alloratraè notada dalla9 figura0 come sieycompresa digli estremi segmentoquestoflop analizzato2 giàoy primaf 439 0,9gOra esattamenteinternistudio i comepunti primaa questo segmento fFxflo.gl 62 0,2o274g yy fy 4 29 HoABiii 9Segmento duestudiato gli estremiX neigiày puntiinterniai puntiperciòprecedenti passiamofly Fx FAFCX 2 Ax2 11439 16 416x 5Xf 5o yConfronto tutti valori chevedoi cerchiati 43,67,2 61,3 11c eil63il assoluto assolutominimoè7 max e i il RsTipo insiamose gli diintegraliavvicinaivistoAvevoadil associa ognicampo cRs fexy.atsuunun camminofunzionivettorepunto curvilineiinunvediamoora integrali ccurvasuonavettorialecampoinf rtileli dadt.dy unaycu.at Far ocheOvvio dovreièconservativosecapire èlacircuitazionedoveindovinare èse conservativocomecapiscoconservativisono camminoinversosuproprietà 1FearItalarei conservativicampi iesattamentesono gradienticampiconservativiinfattisonoF èSe unforzadicampo curvilineol'integraledel si chiamacampo FseLavoroTipoforza ecostanteè una teconconrca.pteraI'F FPaavrò padfarilè sucanoro unche segmento diconcamminounma camposuadicamerasiparlaforze

Campi irrotazionali, conservativi e domini

Campi irrotazionali Primadiil testEsiste delletest è misteed derivateèvedere nonseun un gradienteper campodire è irrotazionalecosavuol diremoche chevediamo un unquesto campospiegare DXDX Fi iIè cioèirrotazionale glipossoscambiarecon n componenti secampo deldelladiindici indicigliderivazione con componente campoChe traè irrotazionaliè conservativi iilegame ogradienti e campicampi irrotazionale èè ilconservativo ViceversaOgni ma verononcampoEsempio fy Maè infattiFly èirrotazionale conservativo senoni ya del cioè6,0 chevedocircuito dominioallaattornounprendo singolaritàMa hail FattoFdr il ilè dominiocheto unproblemaqui proprioalloradelle dominioVediamo10,0 considerazioni sulbuco inDomini connessisemplicementeUn nelRD dice dominiodi circuitosi connesso sesemplicementeaperto ognifino adcontrarresi puntounpuòEcco irrotazionaleallorache vale il nominatoViceversa unprima campoè cioèdominio conservativo gradientesu un semplicemente connesso campoEsempio Xixe IRèFlnIl al 3 irrotazionale2 e su quindi1campo XieUPrimitiva alconservativo xeradialiCampi laPuntano l'originedi hanno stessaunaverso esorgentefissatosfera diintensità su raggioogniSi ditratta hache l'aspettoun campoFAI delha vettoretxt direzioneperciòg raggio11 taxunitariovettore F dataèradiale è diOgni gradiente e primitivaun unacampocampoG Gda x con gEsempio 17Primitiva XERFCX 1di conVedo formanellaloè dividoradialeche scrivo canonica moltiplica eperciò ÈIx lalx F Èx unagradiente perciò primitivaunper campola U XI19trovo 1di xiIlprimitivaprendendo Possousaregliintegralidoppicalcolareanche perperla diunamassaesempiolaminache unaoccupa lacertaregioneavendodensità daydens ilcalcolareOppureperdi unbaricentro tramiteÉtienne1 dayAreatociòvale sennòsolo meseDuxaxay dialOvvio