Integrali di funzioni trigonometriche
∫ cot x + 3 cot x dx
∫ cot x dx + 3 ∫ cot x dx + 3 ∫ -cos/sin dx - ln |cos x| + 3 ln |sin x| + c
Continuità degli integrali impropri
Continua su [a; +∞] - ∞ +∞ ∫ f(x) dx non possiamo; allora a ∫R f(x) dx e facciamo il limite per R → +∞ (convergente) +∞ / -∞ (divergente)
Non integrabile - ∞ + ∞ ∫ ex dx = lim R → +∞ a ∫R ex dx [- e-x]Ra + e-1 - e-R - 0
lim R → +∞ 1e - 0 = 1e
Integrali di funzioni trigonometriche combinate
∫ tg x + 3 cotg x dx
∫ tg x dx + 3 ∫ cotg x dx + 3 ∫ cos/sin dx - ln|cos x| + 3 ln|sin x| + t.c
Convergenza su [a ; + ∞]
∫a+∞ f(x) dx
Avviene in posizione a>, poiché avviene ∫aR f(x) dx e & Lim ∫aR f(x) dx (converge) +∞ 0 / -∞ 0 (Diverge)
f(x) è pregat e∫a∞ e-x dx = Lim ∫a∞ e-x dx → [-e-x]R + e-1 - e-R - 0
Lim 1/e - 0 = 1/e
Confronto tra integrali impropri
∫1+∞ (1/x) dx = limR → +∞ ∫1R (1/x) dx
limR → +∞ ln R - D ln R = +∞
∫0+∞ cos x dx = limR → +∞ ∫0R cos x dx
limR → +∞ sin R (?!?!)
Criterio del confronto
Se g: [a, +∞] f(x) ≥ 0 e f(x) ≤ g(x) allora
La funzione piccola si comporta come quella grande
∫a+∞ f(x) diverge allora ∫a+∞ g(x) diverge
∫a+∞ g(x) converge allora ∫a+∞ f(x) converge
Esempio di confronto
- ∫0+∞ (2 + sin x2) e-x dx
0 ≤ sin x ≤ 1
(2 + sin x2) e-x ≤ 3e-x
∫0+∞ 3e-x = [-3e-x]0+∞ 0 + 3e0 = 3
Quindi converge se B allora converge oppure l'integrale diverge
Criterio confronto asintotico
[a+∞] f, g > 0
a∫a∞ f g hanno lo stesso carattere
( )x + sin x2
x2 + e-x
x + sin x2 = x2 - 5x3/25 x3/2
∫5∞ 1 1x3/2 cambia anche a limite inverso cambia
x2 = x2 - DR
∫∞ f(x) ↓ x converg anche ∫∞ f(x) converg ¬ vero il viceversa
∫ f(x) dx
∫-∞a f(x) dx + ∫a+∞ f(x) dx = limR → +∞ ∫-Ra f(x) dx + limR → +∞ ∫aR f(x) dx
Convergono - D converge
Divergono - D divergono
∫ab f(x) dx = limε → 0+ ∫ab-ε f(x) dx
∫ε1 ln x dx = limε → 0+ ∫ε1 ln x dx = [x ln x - x]ε1 = -1 - ε ln ε + ε
limε → 0+ (-1 - ε ln ε + ε) = -1
Allora ∫01 ln x dx converge ed è -1
∫ε1 1/x dx = limε → 0+ ∫ε1 1/x dx = -ln ε
limε → 0+ -ln ε - ln ε = +∞
Dunque diverge
∫01 xβ dx
β ≥ 1 converge
β > 1 diverge
NBe) se P(x) sono definite [a;b]-DR → o P(x) ≤ o g(x)
∫ab g(x) converge allora ∫ab P(x) converge
∫ac P(x) diverge allora ∫ac g(x) diverge
Ribalta ovunque il criterio del confronto asintotico
f, g [a, b]-DR
f, g → -∞ x → DB x → DB f, g
∫ab p
∫ac ges)
∫12 &frac;{sin x}{√Nx5} dx o asintoto verticale
x → DO+ &frac;{sinh}{√x3} ø x3/2 = &frac;{1}{x3} ∑(0, &frac;{1}{x3}) e k1<1 - š diverge
∫ab f(x) dx = ∫ac f(x)1 + ∫cb P x dx ∑ f(k) converge
Lim x → +∞ f(x) = 0
∫2+∞ 1/xa dx se a>1 converge se a≤
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