Appunti Algebra Lineare e Geometria Analitica (formulario)

Vettori geometrici

Normalizzazione di un vettore

Normalizzazione di un vettore: _V / ||_V|| = _V versore

Moltiplicazione scalare

Moltiplicazione scalare: _u · _v = ||_u|| ||_v|| cosθ

_u · _v > 0 <=> θ ∈ [0, π/2]

_u · _{v u} · _v = 0 <=> _u ⊥ _v

• Formula: - cosθ = _u · _v / ||_u|| ||_v||
• Formula: |_u · _v| ≤ ||_u|| ||_v||
• Formula: _u · _v = _v · _u
• Formula: _u · _v = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z
• Formula: ||_u + _v||² = ||_u||² + 2_u · _v + ||_v||²
• Formula: ||_u - _v||² = ||_u||² - 2_u · _v + ||_v||²

Moltiplicazione vettoriale

Moltiplicazione vettoriale: _u × _v modulo = ||_u|| ||_v|| sinθ

_u ‖ _v => _u × _v = 0

_u × _v = -_v × _u

i j k

u_x u_y u_z

v_x v_y v_z

= i(u_yv_z - v_yu_z) - j(u_xv_z - v_xu_z) + k(u_xv_y - v_xu_y)

• Formula: _u × _u = 0

Modulo di un vettore

Modulo di un vettore: ||x|| = √(x_x x_x) = √((x₁)² + (x₂)² + (x₃)²)

Moltiplicazione mista

Moltiplicazione mista: <_u × _v, _w> volume tetraedro _u × _v × _w

• Formula: |<_u × _v, _w>|: volume del parallelepipedo dilat_u, _v, _w

Vettore alla retta passante per A e B

Vettore // alla retta passante per A e B

_Vx = x_B - x_A

_Vy = y_B - y_A

_Vz = z_B - z_A

Vettori geometrici

Normalizzazione di un vettore

Normalizzazione di un vettore: ↭𝑌/||𝑌|| = ↭ versore

Moltiplicazione scalari

Moltiplicazione scalari: 𝑌 · 𝑍 = ||𝑌|| ||𝑍|| cosΘ

𝑌 · 𝑍 > 0 ⇔ Θ ∈ [0,Π/2)

𝑌 · 𝑍 𝑌 · 𝑍 = 0 ⇔ 𝑌 ⊥ 𝑍

cosΘ = 𝑌 · 𝑍/||𝑌|| ||𝑍||

|𝑌 · 𝑍| ≤ ||𝑌|| ||𝑍||

𝑌 · 𝑍 = 𝑍 · 𝑌

||𝑌 + 𝑍||² = ||𝑌||² + 2 𝑌 · 𝑍 + ||𝑍||²

||𝑌 - 𝑍||² = ||𝑌||² - 2 𝑌 · 𝑍 + ||𝑍||²

Moltiplicazione vettoriale

Moltiplicazione vettoriale: 𝑌 x 𝑍  modulo = ||𝑌|| ||𝑍|| sinΘ

𝑌 //𝑍 ⇒ 𝑌 x 𝑍 = ⭩

𝑌 x 𝑍 = - 𝑍 x 𝑌

𝑌 x 𝑌 = ⭩

Modulo di un vettore

Modulo di un vettore: ||𝑎|| = √(x_x x_x) = √(x_x)² + (x_y)² + (x_z)²

Moltiplicazione mista

Moltiplicazione mista: 𝑌 x 𝑍 x 𝑎  volume tetraedro 𝑌 x 𝑍 / 6

|𝑌 x 𝑍 x 𝑎|  volume del parallelepipedo dallati 𝑌 x 𝑍 x 𝑎

Vettore alla retta passante per A e B

Vettore // alla retta passante per A e B

𝜆/_i = x_B - x_A

𝜇/_i = y_B - y_A

𝜈/_i = z_B - z_A

Geometria analitica

Punti