Appunti/Formulario Geometria: algebra lineare

Matrici

A + B = (a_ij + b_ij) somma.

cA = (c ⋅ a_ij) prodotto per c.

tA = a_ji trasposta.

t(A ± B) = tA ± tB proprietà trasposta.

t(cA) = c ⋅ tA.

A ⋅ B = n x p prodotto matrici.

AB ≠ BA.

A(BC) = (AB)C associativa.

t(A ⋅ B) = B ⋅ tA proprietà trasposta.

(tA)^-1 = t(A^-1).

(A ⋅ B)^-1 = B^-1 ⋅ A^-1.

A^-k = (A^-1)^k proprietà inversa.

Tipi di matrici

Matrice simmetrica: tA = A ovvero a_ij = a_ji.

Antisimmetrica: tA = -A ovvero a_ij = -a_ij.

Idempotente: A² = A.

Nilpotente: se ∃ k → A^k = 0.

Identità: A ⋅ Id = A = Id ⋅ A.

Invertibile: se ∃ B, A ⋅ B = I_m.

Inversa: A^-1.

Determinante

A^ij sottomatrice ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna.

Sviluppo 1a riga: a_j1 (-1)¹⁺¹ det A^j1 + a_j2 (-1)¹⁺² det A^j2 + ... + a_jn (-1)¹⁺ⁿ det A^jn.

Cofattore di A^ij = (-1)^i+j det A^ij.

Per Laplace posso sviluppare secondo una riga o una colonna a scelta.

Metodo di Gauss

Moltiplicando una riga × numero ed una riga in multiplo di un'altra si trasforma in m. triang. sup.

Così det = il prodotto degli elementi sulla diagonale.

Teorema di Binet

det (A ⋅ B) = det A ⋅ det B.

Corollario: se A è invert. → det (A^-1) = 1 / det A.

A^-1 = 1 / det A ⋅ t ( (-1)^i+j det A^ij ).

Proprietà

• Det I = n = d.
• Se una riga o colonna ha tutti 0 → det A = 0.
• Se A è triangolare sup./inf. → det A = prodotto elem. diagonale.
• Det A = det tA.
• Se A' = c ⋅ (una riga o colonna di A) → det A' = c ⋅ det A.
• Scambiando due righe (colonne) il det cambia segno.
• Se due righe o colonne sono uguali → det = 0.
• Se due righe o colonne sono proporzionali → det = 0.
• Sommando ad una riga un multiplo di un'altra riga il det non cambia.
• Se una riga è compl. lineare di altre righe → det = 0.

Una matrice è invertibile se il suo det ≠ 0.

Matrici

A + B = (a_ij + b_ij) somma.

C·A = (c·a_ij) prodotto per c.

tA = a_ji trasposta.

t(A + B) = tA + tB proprietà trasposte.

t(c·A) = c·tA.

A·B = Σ p[ ] prodotto matrici.

A·B ≠ B·A Ab^-1 commutativa.

t(A · B) = B^T · A^T proprietà trasposta.

(tA)^-1 = t(A^-1).

(A·B)^-1 = B^-1 · A^-1.

A^-k = (A^-1)^k proprietà inversa.

Tipi di matrici

Matrice simmetrica: tA = A ovvero a_ij = a_ji.

Antisimmetrica: tA = -A ovvero a_ij = -a_ji.

Idempotente: A² = A.

Nilpotente: se ∃ k, A^k = 0.

Identità: A · Id = A.

Invertibile: se ∃ B, A·B = I_m.

Inversa: A^-1.

Determinante

A^ij submatrice ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna.

Sviluppo 1^a riga: a₁₁ (-1)¹⁺¹ det A¹¹ + a₁₂ (-1)¹⁺² det A¹² + ... + a_1n (-1)¹⁺ⁿ det A¹ⁿ.

Cofattore di A^ij = (-1)^i+j det A^ij.

Per Laplace posso sviluppare secondo una riga o una colonna a scelta.

Metodo di Gauss

Moltiplicando sommando una riga, o sommare ad una riga un'altra in cui un elemento si trasforma in un m. triang. sup. con det: è il prodotto degli elementi sulla diagonale.

Teorema di Binet

Consulenza z = A invert. → det(A^-1) = ¹/_{det A}.

A^-1 = ¹/_{det A} · [(c(-1)^ij, i^N, j^S, det A^ij)]

Proprietà

• Det 1_n = d = 1.
• Se una riga o colonna ha tutti 0 → det A = 0.
• Se A è triangolare sup./inf. → det A è prodotto elem. diagonale.
• Det A = det A^T.
• Se A¹ = c·(una riga o colonna d'A) → det A¹ = c·det A.
• Scambiando due righe (o colonne) il det cambia segno.
• Se due righe o sono proporzionali → det = 0.
• Somando ad un