Appunti Algebra lineare

A. ⑤Épée ☒ Èlinee insiemi

Insiemi Collezione di oggetti per cui sia definito un criterio di appartenenza non ambiguo }} {{* aA * oI # o = ☐☐ ☐= , ,,,,,◦☐ elementinoinsiemiI J alloraSe sono :e ripetuti, {}{{ }}UJ 0,1#0,1I #1• 1= ☐= u ☐ ☐☐ , , ,, ,, ,{ }JIn 1• = }{ #JI• = ☐- ,

Il gruppo è un insieme con un’operazione che deve soddisfare 4 proprietà: chiusura dell’operazione, associatività, esistenza dell’elemento neutro ed esistenzadegli inversi (opposti) di ogni elemento.

Prodotto cartesiano

{ } Def insiemidueAsiano B EBEAA- B ix. ): e y := y✗✗, ,

Funzioni

Funzioni f-èA fdidetto detto diB è

• Dominio•
• Codominio•

L' sottoinsiemef il definitoè codominiodel• immagine di come{ } { }Tom (f) A)f- 'f-B ( 'EA C-E ) ✗( =y: :y ✗ ×=×= , èfYEB immagine disia adLa contro• rispettoy.{' }f- f-A )() y( ✗ E : =×=y

Il funzionedigrafico una disia sottoinsiemeIlf èdi f-funzione graficoA → B un: una . { }) Adefinito ( ( Fcxf) BgrafB AE ✗ E:A- )come ✗×=✗ ,, C- B

Spazi vettoriali

Definizione ( )insieme RKsia V: e campounun g.e.è✓ spazio vettoriale possiede struttureuno 2se :" "⑨ addizioneuna .+ ✓V✓ >✗ )( V2>V2 Va -1va ,② " "scalarimoltiplicazioneuna per• ✓VK >✗(X ) dv>v, proprietàvarieoperazionile disoddisfanoOsservazione + e: .compatibilità)( darda dada -1 V OkV Ov• -1 V•=• =.)( Ava✗d d- OvVava OvVa1- •+• ' ==

Èn " "IR strutturaIR Diamo adIRSia /✗×es una. . =.. .K "dotare IR diDobbiamoVettorialedi IRsu :op . . "" """"④ IR RIRaddizione >:una ✗ IR( ) )(( ( )( >) XnZi ✗×= -142Yi ) Zn YiXi ✗ Yn Yn1-YzXz 2- 1-an ,2 ,-, ,.. .,. . ,. ,, .,, .... ,,,, dàQuesta didefinizione struttura dimi-1 gruppouna? )Per (IR Opiesempiocommutativa 0a 0,0= ,. .. ,,l' )è l(diopposto ) ✗✗ ✗Xz× ✗ --- nn =a ,. ., , ..,. .., ,,

② Rn" "" IRmoltiplicazione IRscalare >una per : ✗( ) > ( )X ✗✗ DX( ) ✗XaXnXi ✗ n≥ ,, .a, . .,, ,. . ., "l'Questa IRaddizione dimoltiplicazione dotanoe unastruttura IRvettorialedi spazio su . insiemi" gruppiosservazione IR IRnoiper: -, campivettorialisp ."indi vettoriRappresentazione IRgeometrica -42,3n -☐ITL 4 •> . . .. .. Z^ apì ?---- - 1123l I> >y ✗>>° ( )44,2×( )y× / , y, delleRappresentazione operazionigeometrica + e •Y0 ×/PL { •> eo • •i -- . .. .✗ y+^ " ""ppf " Ya+< -9-- - --> )(( ) )(× Xy ya YaY✗ +-1×2+Yz =,, ,<| ,, ,-9 ,- - p ,f- I| |y ITP, --. , È >✗0 X ✗+2 , z^2' l >IR ✗>/y

Sottospazi vettoriali

Definizione WCV sottoinsiemevettoriale✓sia spazio euno: ,Né Vdisottospazioallora vettoriale seiun ↳Ì è spaziose sua voltaaWt④ E W EV2Wa WaWa vettoriale rispetto ak, ,XÌZEW② OVEWdekZEW, , èSi che ②④dimostra spazio vettorialeWvalgonose e uno,la stessa di Vstrutturaper ." % " '' ↑F W ( )(ls 112 0,1• -s -•• .-- - =. ^0 A divettorialesottospazioè IRunnonWc-w.tw ,a1122 < > •↳ P -1Pa,• 1122divettorialeW sottospazioè unnonp . ,' IRAA r Z-172W z , •ZzW• Z, •, •• W , >> • f- ( )✗, • '0 f biettivo9 tn*" ☒t ••[ • •/ )917 9 Za) giz )) -191 -22, ,

Combinazioni lineari

Combinazioni lineari insiemecombinazione lineareDefinizione diuna: un{ }finito di CVvettori vehvi un sp-. .. . ., ,È di didel tipo EIRè vettore viun - ,,insiemi strutturacon{ }Teorema VS allorasia Unvi c.=: , , ,.. .È È{ } Vdi ERdi << > vis . ,, vettorialisottospazi✓ {. }dall' insiemegenerato sSvettoriale sparispazio È È

Dimostrazione di divi W;•: - ,, ,È È è inComb linearedi Sdi vettorivi 4-+ W;- ., ,ÈÈd- /dirti d- di ) Vi• = ,, %È {}{{ } }dw.de/Rdiesempi dirviS EIR< >w s =• =: = ,,' chiusura ✗ ( ✗ a)-142 X ISWa 1- )WEµrisp addizioneall' = ,. )( Aw ud( )µ E ><W s= .:{{ }} Xiv :X daS dava( > ERva 1-v. s=• = ,,, ,V2assumiamo V1A= da )(dirti )davaallora Xvi ddirti (1- tv1- >V edaa-1= ± ,,,}{{ >} (<quindi va > vv = ,, , }{{ } dava diXiv EIRS < -14 Vs>V3Va• -1Vi s= := >,,,assumiamo V3 davaXiv += , Istinti✗ )dirtidava davaIN ✗ V2allora SV 1--11-1-1- ✗= =} a✗( ?) ( V2di ✗ daVi -11-sai+ 392= i1 1{ }} { >( VaV3va< viquindi vi > = ,, ,( )

Dipendenza lineare

Dipendenza lineare IN }definizione { insiemeSia CV diSéUnv.S: un= ., . . ., indipendentivettori linearmente sen diÈ divi ogni' >0 0==,5 dipendentilinearmenteè diinsieme vettoriun indipendentise sononon .Osservazione Èi di diIvidip1invettori >' vivis: sono =:. . ,ÈÈ >)/ <di vn(È Vidivi È ditidi < Un>Èdivi Vi)+ PitiVi-1ivi✗ == = . . /= .- . ,.. , ., .,,_ ,,,,,

Basi di spazi vettoriali

Basi spazi vettoriali Motivazioni : insiemeWsupponiamo W < SCVVche >s< e per= un ,linearmenteinsieme Wcioè che S di generatoriè indipendentiper .un .insiemeUn di generatori WSesisteWS sempre :per - ,Winfatti Wn0t01- -1E WaW -10Z=L -12- .= - .- ., .,è modo WQuesto rappresentareinefficientemoltoun per .Quindi vorremmo : insieme Wdideterminare⑨ generatoriminimaleun per ,{ } Wcioè ≤W < > < >s s vima= -, È!ltz W② diviJ linearecombinazione Ze =, , ②④di W soddisfa soddisfaS insieme generatori < >per ,, ilDefinizione teorema 4 : equivalentiLe affermazioniseguenti :sono generatorifinitovettorialeSCV insieme disia che ammettesp un- -{ }④ è V5 basev. va un per= una,...,, È③ Vtv linearecombinazione di IRc- iviV ✗ c-=, ,I i diè vettorisistema ss sonoun indipendentilinearmentedi generatori⑥ VdidiS insiemeè minimale generatoriun④ insieme di Vindipendentiè vettori linearmentedimassimaleS un V sistema

Corollario generatoriammette di finitose un: ,di sp.velt.ve insiemebase( una uno un )baseallora V Vgeneratori indipendenti didi linearmenteammette una . "" "In cosiddettaesisteIR base canonicaes :una. , ))( ()( li 4 004 0la 0 E 1 00 i -'0 == '= i -. .. .. . .. ,.,2, ,,, ,,, ,,,{ } "è RS dibaseci una= i. .a n.. . ,.Veri fichi :che sonoamo (⑨ " trovare)generatori vogliamodi IR sia Xi Xn unaV ✗=: 2 ,., .., ,combinazione siachedeglilineare uguale Vei a .Èdegli scalariDeterminiamo ER✗ V liai:i = -1- a= )()) ) (( 4✗( 0-10✗ 0-1✗-1Xi 0✗ 0✗ 0 0,94== n n, ., 2 ,.. ,.. . .,,, . .. . ., ,, . ,.., , )( ()()( ) 01- ✗t✗ 00✗ ✗ -100X 0✗ 0= n1 . . . ,n = . ,.= . .. _ ,. ,, ,.. , ..,.,, ,, ,, ( )✗✗ ✗ { ✗ ✗a n =2 ,.. ., ,, ,¥ ✗ ✗= aa- _\✗ ✗ i i=i ✗ ✗=n n?⃝ ⑤ { }gli ?indipendentilinearmenteci sonoi. na . . ,.. ÈVerifichi di dicii EIRquali 9amo :sono = ., )Inda (di ) ) /)( -1 41-( -109,0 00 00 0 4 0 0= .. .. -. .. ,. ,., .. ,. ,. ,, . , ,)( {✗ An ✗da O>< == n ,. . ,., , c' un'èse solaltra✗ O .=2 ✗parte alloraa 0= ,i indipendenti1insononon .mio( )

Teorema di estensione a una base

Teorema baseestensione ad2 :una} CV{ linearmentesia I di indipendentiinsiemeV2V. vettoriUn= .., . , .,{ } VdiG generatoriinsiemeSia WK diWi Wa= .,.. ., , 'ÌÒCG V.è diallora Gtu baseuna: %È È )Iva di WidiDimostrazione -Wi Jj W;di #Un o =: :• = ,,, { }io V< >Gasia GaVa WieWa= =-, ,.., ., . ,. . ¥È )E( partv2Bivi PintiWaEa:p Wi-1 i -• -1-0paVa -== : }ÌvjÌva{ WK62 Wasia VaVa- ...,. . ... ,.,, , situazioniverificarsiAndando dueavanti possono :}{ {④ }④ h GrK6h UnWu > Va KWunVn ≤va = <per= r= .. , , .. ., .., .,. ,, IMPOSSIBILEindipendentelinearmentesarebbenonTeorema 3 diinsiemediil elementidi' unnumerohNella diinferiorenotazione è alteoremadel vettoriK 1in ind numero≤ sempre2 . di insiemeelementi generatoridi. un, .stesso dilobaseCorollario haV elementidiogni numero: .{ }BaDimostrazione chesupponiamo esistano Unv. va: = . . ., ,,{ }Ba Vdibasi Dal teorema cheWKWi 3 sappiamoWa=e .,., . ., Ba generatoriindipendentih perchéK linearmenteB e Sono≤ sono, .hindipMa generatorihKche Bnanche Baperché 1in ti=≤ esono ..✓

Dimensione di uno spazio vettoriale

Definizione finitovettoriale sistemasia ammettache unsp: . ildimensione èdila definitaVAlloradi generatori numerocome. qualsiasidi elementi di basesuauna .dimensione VCorollario Allorachesupponiamo la n: = .⑨ Vgeneratori diindipendentilinearmentevettori anche ;sonon③ ✓ indipendentidigeneratori linearmenteanchesonon .{ ?(( (Ii )) ) ÈWnConsideriamo inWa Wes = ; = =; >. .O >}{ Rdièdomandiamo baseci S Nsse waW una= , ., ,Nel di ottenererisposta danegativa base essocaso una ., È Q èERMi Wichiedo ✗ verificatatiquali iper = ., (24+0+2×3) ( )-1×2+3×3° §(E) ( )al "§?/ ))? >× =+ +✗✗ =>a ✗0 2×3-- 2{ {{" ◦ ??✗✗ {+ È ° 0=0-120^-34=0✗+ " "" • a2 ° aa2×9 a.✗✗1- 0 = =2 ✗ 2-= .3a solho 00 .✗✗ 0 ✗✗2 -== 33-- a2 }{ ( Rsoluzioni ) ✗ 24 da✗✗e✗Xi As : == = -3a= ,, ,,, , ( a)✗ >4 4,2= -=a ,}{ perchéQuindi indipendentivoi linearmenteWsuh sononon ,, , combinazione lineare )(V3esempio 2W 0-1W banaleper - = non≥,," "Il problema dipendenza lineare risolveredella lo• non posso }{aggiungendo di