Anomalia gravimetrica

Anomalia gravimetrica

Il geofisico che desidera usare la gravità come mezzo di indagine di tipo strutturale è più interessato ai valori relativi dell’accelerazione di gravità che non a quelli assoluti.

Ciò che il geofisico vuole è di poter definire le inomogeneità di densità interne a quella parte della Terra su cui sta investigando; in altre parole, vuole descrivere le caratteristiche che si scostano dalla uniformità.

Sfortunatamente, la differenza fra la gravità misurata in punti differenti della superficie terrestre oltre che dalla presenza di inomogeneità di densità interne dipende da molti altri fattori, ad esempio la differente quota a cui i punti si trovano, la diversa latitudine, la situazione topografica (monte – mare). Quindi, e poterle utilizzare

Per poter confrontare fra di loro le misure della gravità

per analisi di tipo strutturale, è necessario correggere le misure per gli effetti dovuti a.

Fattori non legati alle inomogeneità di densità interne

Per fare questo, i valori misurati della gravità, g obs, vengono “ridotti” ad uno stesso livello di riferimento, ottenendo quelli che sarebbero stati i valori della gravità misurati sulla superficie di riferimento scelta che di solito è il geoide.

Una volta che le misure di gravità siano state ridotte, la differenza fra la gravità misurata (e corretta per le quantità δg) e la gravità di riferimento g ref, cioè il valore di gravità che avrei misurato sulla superficie di riferimento in una Terra priva di inomogeneità – definisce la anomalia gravimetrica.

Δg = ± (g obs + δg i − g ref)

Anomalia gravimetrica

Il segno ± dipende dal fatto che alcune correzioni danno contributo positivo, altre negativo.

Unità di misura

La anomalia gravimetrica si esprime in mGal, essendo 1 Gal = 10⁻² m/s² 1 mGal = 10⁻⁵ m/s².

Le correzioni più importanti sono:

• Correzione in Aria Libera
• Correzione di Bouguer o di piastra
• Correzione Topografica

Se i punti sono molto distanti in latitudine occorre effettuare anche la:

• Correzione per la Latitudine

Se si vuole conoscere la anomalia gravimetrica con una precisione maggiore di 0.1 mGal (10⁻⁶ m/s²), sulla gravità misurata si devono effettuare anche le ulteriori correzioni:

• Correzione per le maree luni-solari.
• Correzione per la deriva dello zero strumentale dei gravimetri con cui si fanno le misure.

Correzione per la latitudine

In generale quello che interessa è conoscere la variazione della gravità sul geoide al variare della distanza orizzontale lungo la superficie terrestre.

dg₀/ds = (dg₀/dφ) (dφ/ds) = (dg₀/dφ) (1/r) ≅ (dg₀/dφ) (1/r₀)

dove g₀(φ) è la gravità sul geoide, alla latitudine di osservazione.

Ricordiamo che la gravità in funzione della distanza radiale e della latitudine ha espressione:

g(r, φ) = GM/r² − 3GMa²J₂/r⁴(sin²φ − 1/3) − ω²r cos²φ.

Sostituendo l’espressione del geoide r = r₀(φ) si ottiene:

g₀(φ) = g_{0 equatore}(1 − β sin²φ).

dove g_{0 equatore} è il valore della gravità all’equatore (r = a, φ = 0).

Quindi, la quantità dg₀/dφ diventa pari a:

dg₀/dφ = −g_{0 equatore} β sin 2φ.

Sostituendo, si ottiene:

dg₀/ds = −(g_{0 equatore}/r₀) · β sin 2φ.

dg₀ = −g_{0 equatore} · β/r₀ · sin 2φ ds.

Correzione per la latitudine

Tale correzione è positiva muovendosi dai poli verso l’equatore essendo in questo caso ds < 0.

Correzione per la marea

L’attrazione luni-solare causa una perturbazione piccola e quasi periodica (con periodo di circa 12 ore) della gravità.

Una stima dell’ordine di grandezza del disturbo di marea sulla gravità di una Terra indisturbata si effettua confrontando la Forza Gravitazionale di Marea, per unità di massa, e la Accelerazione di Gravità di una Terra Sferica.

Perturbazione sul modulo

Δg = −Gma/r³(3 cos²ψ − 1), Forza Gravitazionale di Marea – componente radiale.

g = GM/a² = Accelerazione di Gravità Terra Sferica.

Δg/g = [Gma/r³(3 cos²ψ − 1)]/[GM/a²] = (m/M)(a/r)³(3 cos²ψ − 1).

Perturbazione sulla verticale

Δg = −3Gma/r³ sin 2ψ, Forza Gravitazionale di Marea – componente trasversa.

g = GM/a² = Accelerazione di Gravità Terra Sferica.

tan α = (Δg/g) = [(3Gma/r³) sin 2ψ]/(GM/a²) = 3(m/M)(a/r)³ sin 2ψ.

Considerando che:

Massa — Distanza Terra-Luna/Sole

Luna 73.5 × 10²¹ kg — 384 × 10³ km

Sole 1.9891 × 10³⁰ kg — 150 × 10⁶ km

(m/M_L)(a/R)³ ≅ 5.639 × 10⁻⁸ Aree lunari.

(m/M_S)(a/R)³ ≅ 0.45 × 5.639 × 10⁻⁸ = 2.560 × 10⁻⁸ Aree solari.

Si trova che la combinazione degli effetti delle attrazioni luni-solare possono dar luogo a:

Variazione massima nell’intensità della gravità

a. Equatore: punti sulla superficie della Terra lungo la congiungente Terra-Luna e Terra Sole, ψ ≡ 0°.

Δg_totale/g_equatore = Δg_luna/g_equatore + Δg_sole/g_equatore = 5.639 × 10⁻⁸ + 2.560 × 10⁻⁸ · (3 cos² 0° − 1) = 16.398 × 10⁻⁸.

Δg_totale/g_equatore = 16.398 × 10⁻⁸ · 9.78 m/s² = 1.60 × 10⁻⁶ m/s² = 0.160 mGal.

b. Poli: ψ ≡ 90°.

Δg_totale/g_poli = Δg_luna/g_poli + Δg_sole/g_poli = 5.638 × 10⁻⁸ + 2.560 × 10⁻⁸ · (3 cos² 90° − 1) = −8.198 × 10⁻⁸.

Δg_totale/g_poli = −8.198 × 10⁻⁸ · 9.832 m/s² = −0.81 × 10⁻⁶ m/s² = −0.081 mGal.

0.24 mGal e una deviazione massima della verticale di 50 millisecondi d’arco.

Correzione per la deriva dello zero strumentale

Come abbiamo visto nel paragrafo precedente analizzando la marea gravimetrica, il valore della gravità è in generale variabile nel tempo sostanzialmente a causa dell’attrazione luni-solare e dalla deformazione della crosta terrestre che ne consegue.

Se però escludiamo l’effetto della marea gravimetrica, la gravità è da pensarsi costante nel tempo.

Tuttavia, ripetendo la misura della gravità nello stesso punto si ottengono valori della gravità diversi. Ciò dipende dal fatto che, inevitabilmente, col passare del tempo, lo strumento di misura subisce uno spostamento dello zero – deriva dello zero – e i valori misurati ne sono influenzati.

Le cause della deriva sono varie:

• Variazioni di temperatura (cambiano la lunghezza delle molle ed il valore delle costanti elastiche).
• Variazioni di pressione (cambiano la spinta di Archimede e, in condizioni adiabatiche, provocano effetti termici).
• Eventuali sollecitazioni meccaniche.
• Invecchiamento.
• Isteresi delle molle.

La deriva è ineliminabile, ma per alcuni gravimetri è piccola e con andamento lineare. Quindi, al fine di correggere la misura della gravità per la deriva dello zero, solitamente si effettuano ripetute misure di gravità in una stazione-base o in più stazioni secondo una procedura chiamata “circuitazione”. Se la deriva è lineare nel tempo, essa risulterà distribuita fra le stazioni.

La correzione per la deriva è usualmente eseguita prima di ogni altra correzione.

Correzione in aria libera – anomalia di Eötvös e Fay

Lo scopo della correzione in Aria Libera è quello di compensare la diminuzione della gravità con il crescere dell’altezza al di sopra della superficie di riferimento o del livello medio del mare (Geoide).

Per questo motivo, per definire il valore della correzione in aria libera si prende in considerazione solo la quota, trascurando l’effetto delle masse interposte fra la superficie topografica e la superficie del livello di riferimento (geoide).

Riduzione al Geoide della gravità misurata nel punto stazione P.

Il valore della correzione va sommato al valore della gravità misurato prima che questo venga confrontato con la gravità di riferimento, per ottenere la cosiddetta Anomalia in Aria Libera:

Δg_FA ≡ g_obs + δg_FA − g_ref.

Anomalia in aria libera o di Fay

Determiniamo la espressione della Correzione in Aria Libera.

Modello Terra sferica

Supponiamo che si possa trascurare la componente verticale della forza centrifuga.

L’accelerazione di gravità nel punto P, sulla superficie topografica, alla quota h, può quindi esprimersi come:

g_P = GM/(r + h)².

Analogamente, l’accelerazione di gravità nel punto P’, corrispondente a P sulla superficie del geoide, può esprimersi come:

g_P’ = GM/r².

Dividendo membro a membro:

g_P/g_P’ = r²/(r + h)² = (1 + h/r)⁻² ≅ 1 − 2h/r.

Essendo r la distanza della superficie del geoide in P’ dal centro della Terra:

h << r → h/r << 1 → (1 + h/r)⁻² ≅ 1 − 2h/r + 2h²/r² − …

Segue che:

g_P/g_P’ = 1 − 2h/r, quindi g_P = g_P’ − 2g_P’h/r.

con g_P’ = GM/r².

In conclusione, per correggere il valore della gravità misurato in P, g_P, e ridurlo alla superficie del geoide, occorre sommare alla g_P la quantità:

δg_FA = g_P’ − g_P = GMh/r²r = GMh/r³.

δg_FA = GMh/r³.

Se si sostituiscono i valori dei parametri:

G = 6.6732 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²

M = 5.973 × 10²⁴ kg

r ≡ (a + c)/2 = (6378.139 + 6356.752)/2 = 6367.4455 km.

δg_FA = (6.6732 × 10⁻¹¹ × 5.973 × 10²⁴)/(6367.4455 × 10³)³ h = 0.3088 × 10⁻⁵ h.

δg_FA = 0.3088 × 10⁻⁵ h metri.

Ricordando che 1 mGal = 1 × 10⁻⁵ m/s², segue che:

δg_FA = 0.3088 h (mGal/m) (h metri).

Correzione in aria libera

Per ogni metro di topografia la correzione in aria libera è di 0.3088 mGal

Modello Terra ellissoidica

L’accelerazione di gravità nel punto P, sulla superficie topografica, alla quota h, può quindi esprimersi come:

g_P = GM/(r + h)² − 3GMa²J₂/(r + h)⁴(sin²φ − 1/3) − ω²(r + h) cos²φ.

Analogamente, l’accelerazione di gravità nel punto P’, corrispondente a P sulla superficie del geoide, può esprimersi come:

g_P’ = GM/r² − 3GMa²J₂/r⁴(sin²φ − 1/3) − ω²r cos²φ.

Dividendo membro a membro:

g_P/g_P’ = [GM/(r + h)² − 3GMa²J₂/(r + h)⁴(sin²φ − 1/3) − ω²(r + h) cos²φ]/[GM/r² − 3GMa²J₂/r⁴(sin²φ − 1/3) − ω²r cos²φ].

Sviluppando questo rapporto e trascurando i termini in h/r di ordine 2 o superiore, essendo h/r << 1, dopo alcuni passaggi matematici, si dimostra che:

δg_FA = 0.3088 h (1 + 0.00071 cos 2φ) (mGal/m).

Correzione in aria libera

Terra ellissoidica

Osservazioni

1. La correzione in aria Libera deve essere sempre sommata al valore della gravità misurato, indipendentemente dal tipo di topografia (monte o valle).

Il tipo di topografia viene specificato assegnando il segno alla variabile h:

2. Monte: h > 0 ⇒ δg_FA > 0.

Il valore della gravità aumenta quando si riduce la misura sulla superficie del geoide, perché la distanza dal centro della Terra diminuisce.

Valle: h < 0 ⇒ δg_FA < 0.

Il valore della gravità diminuisce quando si riduce la misura sulla superficie del geoide, perché la distanza dal centro della Terra cresce.

Correzione di Bouguer o di piastra

Cenni storici

Nel diciottesimo secolo la controversia sulla forma della Terra non era stata ancora risolta: alcuni scienziati sostenevano che la Terra somigliava ad un ellissoide oblato (schiacciamento ai poli) mentre altri scienziati sostenevano che la Terra somigliava più ad un ellissoide prolato (allungato ai poli). È facile verificare che nel caso di una Terra ellissoidica, allo stesso angolo compreso fra due verticali fisiche corrispondono sulla superficie terrestre archi di lunghezza differente. In particolare, nel caso di una Terra approssimabile ad un ellissoide oblato (vedi figura), la lunghezza dell’arco all’equatore risulta minore che ai poli.

Archi di superficie terrestre all’equatore e al polo, corrispondente allo stesso angolo θ, per un modello di Terra ad ellissoide Oblato.

Nel 1735 l’accademia delle Scienze francese decise di risolvere la controversia inviando due spedizioni, una vicino in Ecuador, vicino all’equatore, e una in Lapponia, vicino al polo nord, per misurare la lunghezza degli archi che sottendono ad uno stesso angolo di 1°.

Bouguer fu uno dei responsabili della spedizione in Equador. Egli osservò che le Ande producevano un’attrazione orizzontale sulla direzione del filo a piombo, causando una deviazione locale della verticale. Decise quindi di includere nei propri calcoli l’attrazione gravitazionale prodotta dell’intera massa della montagna.

Correzione proposta

Bouguer suggerì di considerare la montagna come una massa sovrapposta alla superficie di una Terra uniforme.

1. Considerare l’effetto gravitazionale di una montagna di altezza pari alla quota del punto stazione e di estensione infinita nella direzione orizzontale: piastra.
2. Calcolo per il calcolo della correzione di Bouguer (o di piastra) per una topografia positiva (a) e una topografia negativa (b).

Calcolando l’attrazione gravitazionale nel punto stazione di questa piastra, Bouguer ottenne la seguente relazione per la correzione di Bouguer:

δg_B = −2πGρh = −0.04185 × 10⁻⁸ (ρ kg/m³) (h metri) (mGal/m).

Correzione di Bouguer

La dimostrazione di questa relazione sarà fatta in seguito (vedi esercitazioni).

Con ρ è la densità delle rocce (in kg/m³) che costituiscono la montagna e h quota (in m).

Per rocce di densità pari a 2600 kg/m³ (valore medio delle rocce affioranti), si ottiene:

δg_B = 0.1 h (mGal/m) (h metri).

δg_B ≅ δg_FA/3.