Anomalia di Bouguer

I Q B

NTERPRETAZIONE UANTITATIVA ANOMALIA DI OUGUER

La analisi quantitativa delle anomalie gravimetriche avviene attraversi metodi analitici e ha lo scopo

di determinare i parametri caratteristici della massa perturbatrice, cioè la densità, la forma e la

profondità. Essa consiste in:

a. determinare e rappresentare le anomalie generate da masse di forma note, aventi densità e

profondità variabili entro certi limiti;

b. confrontare la curva delle anomalie osservate con le curve ottenute teoricamente in fase a.

Questo rappresenta il di interpretazione.

METODO DIRETTO

Da un punto di vista teorico abbiamo visto che la anomalia di gravità prodotta da un corpo sepolto

di forma e densità arbitraria (vedi figura) può essere ottenuta effettuando il seguente integrale

 

 cos



 

g dV

2

m r

V

a

Nella maggior parte dei casi, tuttavia, è quasi impossibile eseguire tale integrazione in modo

rigoroso, a meno che il corpo anomalo non abbia una forma semplice ed una densità costante ed

uniforme. Il più delle volte si cerca una soluzione numerica.

Discuteremo di seguito alcuni esempi di entrambi i casi.

A D C

NOMALIA DI GRAVITÀ PRODOTTA DA UN ISCO IRCOLARE SEPOLTO

Consideriamo un osservatore posto ad una distanza b sopra un disco cilindrico, di raggio R e

altezza h. Supponiamo che l’osservatore sia lungo l’asse del cilindro e che la densità del cilindro

 

 



vari solo con la profondità, .

y

Per simmetria, l’attrazione gravitazionale netta nella posizione dell’osservatore, dovuta a una

massa a forma di anello di spessore verticale dy e spessore radiale dr è diretta verticalmente verso il

basso, lungo l’asse del cilindro. dm 

 cos

In base alla equazione generale dg G 2

y b

l’accelerazione gravitazionale in P risulta data da

 

 

2 r dr dy y b



dg G    

2

y  

2 2

 

2

r y b r y b

 

dove: volume dell’anello di raggio r e spessori dr e dy

2 r dr dy dV

 

2

 

2 distanza dell’anello dal punto P

r y b



y b 

 cos

  2

 

2

r y b

L’attrazione gravitazionale prodotta da tutto il disco nel punto P, posto all’altezza b sopra l’asse del

disco stesso, sarà quindi il risultato dell’integrale



h R h R

2 1

       

r dr r dr

   

  

      

2  

g G y b y dy G y b y dy

   

  3 / 2

2

y  

2 2

2  

  2

2

r y b r y b

r y b 0 0

0 0 R 







h h

1 1 1

       

 

    

    

    







2 2

   

G y b y dy G y b y dy  

    

1 / 2

1 / 2 





 2

2  

  y b

2

2 





 r y b R y b

0

0 0

 

 



h   y b



 

  

 

2 1  

y dy   1 / 2

 

2

 

2

 

R y b

0   

 

h   y b



 

   



2 1  

g y dy   1 / 2

y 

 2

 

2 

 R y b

0

Un risultato approssimativo si ottiene facendo tendere R ∞

  

 

h h

   

y b

 

   

lim  

   



2 1 2

 

g y dy G y dy

  1 / 2

y 

 2

 

2 



    R y b

r 0 0

h  

  massa per unità di area superficiale del disco circolare.

Ma y dy

0

La formula trovata è nota come Formula della Gravità di Bouguer

h  



 

 

2

g G y dy F G B

ORMULA DELLA RAVITÀ DI OUGUER

y 0

Ed è una formula che mette in relazione l’anomalia superficiale della gravità in un punto con

l’eccesso o il deficit di massa sotto il punto stesso.

Si noti che il risultato è indipendente dalla distanza verticale b fra l’osservatore e la massa

anomala.

La Formula della Gravità di Bouguer è particolarmente utile per effettuare la correzione di piastra.



Infatti, se la topografia ha una quota pari ad h e una densità costante , la correzione risultante sarà

c

pari a 

  2

g Gh C P

ORREZIONE DI IASTRA

B c

A NOMALIA DI GRAVITÀ PRODOTTA DA UN CORPO SFERICO SEPOLTO

Si consideri un corpo sepolto di forma sferica, di raggio R e di densità uniforme.





Si indichi con la differenza di densità fra il corpo anomalo e la roccia che lo circonda.

Sia b la distanza del centro del corpo sferico dalla superficie della Terra.

Al fine di determinare l’integrale  

 cos



 

g G dV

2

m r

V

a

la particolare simmetria del sistema fa si che risulti conveniente introdurre il sistema di riferimento

di coordinate sferiche indicato nella figura seguente

L’asse che unisce il centro della sfera con il punto P in cui valutare la anomalia coincide con l’asse

 

 

' , ,

principale del sistema, al quale riferire le variabili del sistema di coordinate sferiche.

r

Determiniamo innanzitutto il in P dovuto al corpo

CONTRIBUTO ALLA ANOMALIA DI GRAVITÀ

anomalo di forma sferica; cioè, determiniamo l’integrale

dm

 

  cos

g G 2

m r

V

sfera

Avendo assunto la densità del corpo anomalo uniforme, l’integrale può essere semplificato nella

forma 

cos





  

g G dV

2

m r

V

a

lasciando all’interno del segno di integrazione solo le quantità che variano al variare della posizione

del volume infinitesimo all’interno della sfera.

dV  

 

' , ,

Esprimendo il volume infinitesimo nelle coordinate :

r

   

     

    2

' sin ' ' ' ' sin

dV r d r d dr r dr d d

l’integrale può essere riscritto come:

       

2 2

' ' sin cos ' ' sin cos

 

r dr d d r dr d d

2

R

   

 

    

g G G

2 2

m 0 0 0

r r

V

a

dove R è il raggio della sfera anomala.

Applicando il teorema dei coseno al triangolo OPQ si ottiene:  

2 2 2

'

r a r



   

2 2 2 

' 2 cos  cos

r r a a r 2 a r

per cui l’integrale diventa     

 

2 2 2 2

' ' ' sin

  r a r r dr d d

2

R

 



  

g G 3

m 2

0 0 0 a r

Analogamente, sempre per il triangolo OPQ, il teorema del coseno stabilisce che:

 

2 2 2

'

a r r



   

2 2 2 

' 2 ' cos  cos

r a r a r 2 '

a r

Differenziando rispetto ad r questa ultima espressione

  

 

2 2 2  

' 2

 

d d a r r d r rdr

     

  

 

cos  

sin sin d

 

2 ' 2 ' '

 

dr dr a r dr a r a r

In conclusione, l’integrale diventa

   

  

 

    

2 2 2 2 2 2 2

' ' ' ' ' '

 

 

r a r r dr d rdr G r a r r dr d dr

' 2 ' 2

R a r R a r

    

  

   

g G  

3 2 2

m 2 ' 2

 

 

0 ' 0 0 ' 0

a r a r a r

a r a r

 in un integrale in i limiti di integrazione sono cambiati da

dove, passando da un integrale in dr,

d

  '

a r

 

in .



0 '

a r  

Tutte le quantità nell’integrale sono indipendenti da , per cui possiamo integrare in d ottenendo

   

 

    

2 2 2 2 2 2

2 ' ' ' ' ' '

 

G r a r r dr dr r a r r dr dr

' '

R a r R a r

  

 

   

g G

2 2 2 2

m 2  

0 ' 0 '

a r a r

a r a r

 

 

  

2 2 2

'

 r a r dr

G '

R a r

 

  ' '

dr

g r

2 2

m 

0 ' r

a a r  

 

  

2 2 2

'



G r a r dr

'

R a r

 

 ' '

r dr

2 2



0 '

a r

a r  

   

 

2 2

'



G a r

'

R a r

 

 

' ' 1

 

r dr dr

2 2

  

0 '

a r

a r  '

a r

  



  

 

1

G  R

   

2 2  

' ' ' 



r dr r a r

2   



0

a r  '

a r

  <