Analisi - Teorema di Rolle

Teorema di Rolle

Il teorema di Rolle afferma che se una f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso [a;b], derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto (a;b) e assume valori uguali agli estremi, allora esiste almeno un punto interno all'intervallo (a;b) la cui derivata è uguale a zero.

Ipotesi

• f(x) è continua in [a;b];
• f(x) è derivabile in (a;b);
• f(a) = f(b).

Tesi: ∃ c ∈ (a;b): f'(c) = 0

Dimostrazione

Per il teorema di Weierstrass, ogni funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b], è limitata in tale intervallo ed esiste in [a;b] almeno un punto in cui f(x) assume valore massimo ed almeno un punto in cui f(x) assume valore minimo.

Quindi, per ogni funzione che soddisfa le ipotesi di Rolle, vale il teorema di Weierstrass; in particolare:

∀ x ∈ (a;b) ∃ m e M: m ≤ f(x) ≤ M

Si distinguono quindi due casi:

1) m = M