Teoremi sui limiti
Teorema di permanenza del segno
Se il lim di una funzione è positivo (negativo), allora la funzione è definitivamente positiva (negativa).
Dimostrazione
I caso: lim f(x) LIp:; con L > 0; xTs: H (che non dipende solo da f) / x>H f(x)>0. (def. metrica)
f(x)>0 (def. topologica) U(+) / xU(+)
Fissato L/2 = per Ip H() / L-L/2<f(x)<L+L/2, cioè L/2<f(x)<3L/2 x>H
Ho eliminato 3L/2 perché mi basta sapere che la funzione è maggiore L/2 e che quindi è positiva.
Pertanto f(x) è positiva c.v.d. x>H per Ip L-L/2<f(x)<L+L/2, cioè L/2<f(x)<3L/2. U(+) / xU(+)
Pertanto f(x)>0 c.v.d. xU(+) H U(+)
II caso: lim f(x) LIp:; con L>0; x xoTs: (che dipende solo da f) / xx e x - < x < x + f(x)>0; (def. metrica) 0 0 0
xx f(x)>0 (def. topologica) U(x )) / xU(+) e 0o
Fissato = L/2, per Ip xx e x - < x < x + L-L/2<f(x)<L+L/2 () / 0 0 0
Pertanto xx e x - < x < x + f(x) è positiva c.v.d. 0 0 0
xx L-L/2<f(x)<L+L/2 U(x )) / xU(+) e 0o
Pertanto xx f(x) è positiva c.v.d. xU(+) e 0 U(+)
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