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Teoremi sui limiti

Teorema di permanenza del segno

Se il lim di una funzione è positivo (negativo), allora la funzione è definitivamente positiva (negativa).

Dimostrazione

I caso: lim f(x) LIp:; con L > 0;  xTs: H (che non dipende solo da f) / x>H f(x)>0. (def. metrica) 

 f(x)>0 (def. topologica) U(+) / xU(+) 

Fissato L/2  = per Ip H() / L-L/2<f(x)<L+L/2, cioè L/2<f(x)<3L/2   x>H

Ho eliminato 3L/2 perché mi basta sapere che la funzione è maggiore L/2 e che quindi è positiva.

Pertanto f(x) è positiva c.v.d. x>H per Ip L-L/2<f(x)<L+L/2, cioè L/2<f(x)<3L/2.  U(+) / xU(+)

Pertanto f(x)>0 c.v.d. xU(+) H U(+)

II caso: lim f(x) LIp:; con L>0; x xoTs: (che dipende solo da f) /  xx e x - < x < x + f(x)>0; (def. metrica)    0 0 0

xx f(x)>0 (def. topologica) U(x )) / xU(+) e 0o

Fissato = L/2, per Ip  xx e x - < x < x + L-L/2<f(x)<L+L/2   () /  0 0 0

Pertanto xx e x - < x < x + f(x) è positiva c.v.d.  0 0 0

xx L-L/2<f(x)<L+L/2 U(x )) / xU(+) e 0o

Pertanto xx f(x) è positiva c.v.d. xU(+) e 0 U(+)

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
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