Analisi Matematica - Temi d'Esame svolti

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Alcuni esercizi di 060037-Analisi matematica A, AA 2005-2006

Alessandro Alippi, Mauro Garavello, Marco Squassina.

Si raccolgono alcuni esercizi di Analisi Matematica A, in parte svolti a lezione e in parte lasciati agli studenti, relativi ad un corso annuale tenuto durante l’anno accademico 2005-2006, Facoltà VI, Leonardo, Politecnico di Milano.

Indice

• Relazioni 1
• Numeri complessi 3
• Insiemi 5
• Sup e Inf 7
• Successioni 10
• Funzioni 15
• Limiti 16
• Derivate 20
• L’Hopital 23
• Integrali I 25
• Integrali II 27
• Serie numeriche 29

1. Relazioni

Parte A: Esercizi di base

(1.1) Esercizio Sia l’insieme degli studenti di un liceo che studiano almeno una lingua straniera. Definiamo la seguente relazione: xRy significa che gli studenti x e y studiano almeno una stessa lingua straniera. Di quali proprietà gode tale relazione?

(1.2) Esercizio Verificare che le seguenti relazioni sono di equivalenza.

• Essere nato lo stesso anno.
• Abitare nella stessa regione.
• Parallelismo tra rette.

Date: 10 settembre 2006.

(1.3) Esercizio Si consideri l’insieme Z \ {0}. Definiamo la relazione: xRy significa xy > 0. Verificare che è una relazione di equivalenza. Cosa cambia se si considera l’insieme Z e la relazione: xRy significa xy ≥ 0?

(1.4) Esercizio Si consideri l’insieme dei numeri interi Z e si definisca la seguente relazione: xRy significa x − y è un multiplo di 6. Verificare che è una relazione di equivalenza. Quante e quali sono le classi di equivalenza?

(1.5) Esercizio Si consideri l’insieme dei numeri naturali privato dello 0, cioè N \ {0}, e si definisca la seguente relazione: xRy significa x è divisibile per y. Verificare che è una relazione d’ordine.

Parte B: Esercizi avanzati

(1.6) Esercizio Consideriamo il sottoinsieme E di R² così definito: E = (x, y) ∈ R² : x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ x. Su R² consideriamo la seguente relazione: (a, b)R(c, d) significa (a − c, b − d) ∈ E. Provare che R è una relazione d’ordine.

Parte C: Alcune soluzioni

(1.7) Soluzione esercizio (1.6).

Proprietà riflessiva. (a, b)R(a, b) è vera, dato che (a − a, b − b) = (0, 0) ∈ E.

Proprietà antisimmetrica. Supponiamo che valgano (a, b)R(c, d) e (c, d)R(a, b). Questo significa che (a − c, b − d) ∈ E e (c − a, d − b) ∈ E. Per prima cosa si deduce che a = c e quindi che (0, b − d) ∈ E e (0, d − b) ∈ E, da cui segue che b = d.

Proprietà transitiva. Supponiamo che valgano (a, b)R(c, d) e (c, d)R(e, f). Vogliamo provare che (a, b)R(e, f). Si ha: a − e = (a − c) + (c − e) ≥ 0 per le ipotesi. Inoltre b − f = (b − d) + (d − f) ≥ 0 e b − f = (b − d) + (d − f) ≤ (a − c) + (c − e) = a − e. Quindi (a − e, b − f) ∈ E e pertanto vale anche la proprietà transitiva.

2. Numeri complessi

Parte A: Numeri complessi in forma algebrica

(2.8) Esercizio Risolvere i seguenti prodotti di numeri complessi:

• −i(1 − i)
• −(1 + i)(1 − i)²
• −(1 + i) (1 − i)
• −(2 − 3i)(2 + i)

(2.9) Esercizio Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:

• 1/(1−i)
• 1/(1−i)
• 2(1+i)/(1+4i)
• (2−3i)/(2−3i)
• 2+i

(2.10) Esercizio Sia z un numero complesso avente parte immaginaria positiva. Dimostrare che: w = (z − 1)/(z + 1) ha parte immaginaria positiva.

(2.11) Esercizio Considerare il seguente numero complesso: w = (z − 1 + 4i)/(z − 3 − i).

• Determinare il luogo dei punti appartenenti al piano di Gauss per cui z w è reale.
• Determinare il luogo dei punti appartenenti al piano di Gauss per cui z w è immaginario.
• Rappresentare graficamente le due soluzioni.

Parte B: Numeri complessi in forma esponenziale e trigonometrica

(2.12) Esercizio Trasformare in forma trigonometrica ed esponenziale i seguenti numeri complessi:

• −2 + 2i
• −2 − 2i
• −1 + 3i
• 6 + 2i

(2.13) Esercizio Determinare la forma algebrica dei seguenti numeri complessi (può essere utile passare prima alla forma esponenziale e poi riconvertire il risultato in forma algebrica):

• (1 − i)
• (1 + i)
• −1 − i

(2.14) Esercizio Dimostrare che se z = 1/2 + 3i/2 allora z è il coniugato di z.

(2.15) Esercizio Ricordando la definizione di radici n-esime di un numero complesso determinare:

• Le radici seste dell’unità.
• Le radici quarte di z = −4.
• Le radici quarte di z = i.
• Le radici quinte di z = (1−i)/(1+i).

Parte C: Equazioni nel campo dei numeri complessi

(2.16) Esercizio Risolvere le seguenti equazioni:

• 2iz + 1 = 0
• −(2 + 3i)z − 3 + 2i = 0
• −2i(z − 1) = 2
• −5z⁴ − 4z² + 1 = 0
• −z + (1 − 2i)z − 2i

(2.17) Esercizio Risolvere la seguente equazione frazionaria: (3z + 1)/3 = 1/(z − 1 − i).

(2.18) Esercizio Risolvere le seguenti equazioni o disequazioni e rappresentare graficamente la soluzione:

• |z − |z1|| = |z + 1|
• −z cogn(z) = i/2
• z + cogn(z) ≤ |z|

3. Insiemi

Parte A: Esercizi di base

(3.19) Esercizio Semplificare le scritture usando le proprietà degli insiemi.

• [A ∪ (A ∩ B)] ∩ B;
• {[B ∩ A ∪ (A ∩ B)] ∪ [A ∩ (A ∩ B)]};
• A^c ∩ B ∩ (B ∪ C^c);
• {[(A ∩ A^c) ∩ E] ∩ A};
• (A ∩ B^c) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B^c).

(3.20) Esercizio Dati gli insiemi A = {1, 2}, B = {a}, C = {p, q, r}, verificare che:

• A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C);
• A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C);
• A × B = B × A.

Parte B: Esercizi avanzati

(3.21) Esercizio Sia, per ogni n ∈ N, A_n = {x ∈ R : x ≤ n²}. Mostrare che ∪_n≥1 A_n = R.

(3.22) Esercizio Sia, per ogni n ∈ N, A_n = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 − 1/n}. Calcolare ∪_n=3⁶ A_n.

(3.23) Esercizio Sia, per ogni n ∈ N, A_n = {(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 2, 1/n ≤ y ≤ 2 − 1/n}. Calcolare ∩_n≥1 A_n.

(3.24) Esercizio Sia α ∈ R e sia, per ogni n ∈ N, B_n^α = {x ∈ R : |x − α| ≤ 1/n}. Mostrare che ∩_n≥1 B_n^α = {α}, ∪_n≥1 B_n^α = B₁^α, ∩_α∈R ∪_n≥1 B_n^α = R.

Parte C: Alcune soluzioni

(3.25) Soluzione esercizio (3.21).

Primo passo. Dimostriamo che ∪_n≥1 A_n ⊆ R. Sia x ∈ ∪_n≥1 A_n. Allora per qualche ñ ≥ 1, x ∈ A_ñ, da cui si deduce che x ∈ R.

Secondo passo. Dimostriamo che R ⊆ ∪_n≥1 A_n. Sia x ∈ R. La proprietà di Archimede assicura che esiste un numero naturale ñ ≥ 1 tale che x < ñ². Dato che 2 ≤ ñ², si ha x < ñ²; quindi x ∈ A_ñ. Pertanto R ⊆ ∪_n≥1 A_n.

(3.26) Soluzione esercizio (3.23). La disequazione x² + y² ≤ 2 rappresenta un cerchio in R² centrato nell’origine (0, 0) e con raggio √2. L’insieme A_n è formato dai punti del cerchio con ordinata y compresa tra 1/n e 2 − 1/n. Consideriamo l’insieme B = {(x, y) ∈ R² : −√2 ≤ x ≤ √2, y = 0}. Si vede facilmente che per ogni n ∈ N, n ≥ 1, B ⊆ A_n; quindi B ⊆ ∩_n≥1 A_n.

Sia ora (x, y) ∈ ∩_n≥1 A_n. Se fosse y > 0, allora la proprietà di Archimede ci assicura che esiste ñ ≥ 1 tale che 1/y < ñ. Quindi 1/y > ñ. Pertanto (x, y) ∉ A_ñ e (x, y) ∉ ∩_n≥1 A_n. Si ragiona allo stesso modo se fosse y < 0. Pertanto l’unica possibilità è che y = 0. Di conseguenza −√2 ≤ x ≤ √2, dato che x² + y² ≤ 2. Quindi (x, y) ∈ B.

4. Sup e Inf

Parte A: Esercizi di base

(4.27) Esercizio Determinare estremo inferiore e superiore dei seguenti insiemi.

• E = {x : x = 1/(n+1), n ∈ N}.
• E = {x : x = (2n + 1)/(n+1), n ∈ N}.
• E = {x : x = (n−1)/(n+1), n ∈ N}.
• E = {x : x = 2 + (−1)ⁿ/n, n ∈ N, n ≥ 1}.
• E = {xy/(x+y) : x, y ∈ ]0, 1[}.

Trovare l’estremo inferiore e superiore di