Analisi Matematica - Studio di funzione, Integrali, Limiti

Dominio, simmetrie, segno e asintoti

1) Dominio

Dominio R = ℝ - {...}

Esempi:

• √x ➔ R - {x
• Log x ➔ R - {x ≤ 0}
• 1/x ➔ R - {x = 0}

Simmetrie

Se f(-x) = f(x) è pari.

Riduco i valori dell'intervallo di x a solo quelli positivi [0, ...]

Se -f(-x) = f(x) è dispari.

Riduco i valori dell'intervallo di y = f(x) a solo quelli.

Esempio: f(-2π) = f(2π) ➔ e = e.

Disegno il grafico solo nell'intervallo [0, 2π].

2) Segno

Quando f(x) ≥ 0.

Esempio: f(x) = (x²+x-1)/(x²-4).

x ≤ -√5 / 2 V x ≥ √5 / 2.

x₃ +2.

3) Asintoti

Verticali: lim f(x) = ±∞.

Es: lim f(x) = -∞.

lim f(x) = +∞.

Orizzontali: lim f(x) = C.

Es: lim f(x) = 1.

Obliqui: m = lim f(x)/x.

q = lim (f(x) - m x).

Y = m x + q.

Esempio di asintoti nel grafico!

• V = Verticale
• O = Orizzontale
• I = Obliquo

d) Dominio

R = ℝ\

Esempi:

• √x → R - {x
• Log x → R - {x ≤ 0}
• ¹∕_x → R - {x = 0}

Simmetrie

1) Se ƒ(-x) = ƒ(x) è pari.

Riduco i valori dell'intervallo di x a solo quelli positivi [0, ...]

ES: e^cos(x), cos(x) x ∈ [-2π, 2π].

ƒ(-2π) = ƒ(2π) → e = e.

Disegno il grafico solo nell'intervallo [0, 2π].

2) Se -ƒ(-x) = ƒ(x) è dispari.

Riduco i valori dell'intervallo di y -ƒ(x) a solo quelli.

2) Segno

Quando ƒ(x) ≥ 0.

Esempio: ƒ(x) = ^{x² + x - 1}∕_{x² - 4}.

N = x² + x - 1 > 0.

D = x² - 4 > 0.

x₁ = ^{-1 - √5}∕₂ V x₂ = ^{-1 + √5}∕₂.

x₃ 4 > +2.

x_1,2 = ^{-b ± √b² - 4ac}∕_2a.

3) Asintoti

Verticali: lim_x→a⁺ ƒ(x) = ± ∞ lim_x→a^- ƒ(x) = ± ∞.

ES: lim_x→0⁺ ƒ(x) = -∞ lim_x→0^- ƒ(x) = +∞.

Orizzontali: lim_x→∞ ƒ(x) = c.

ES: lim_x→∞ ƒ(x) = 1 lim_x→-∞ ƒ(x) = -1.

Obliqui: m = lim_x→∞ ^ƒ(x)∕_x.

q = lim_x→∞ (ƒ(x) - mx).

y = mx + q.

Esempio di asintoti nel grafico:

• V = Verticale
• O = Orizzontale
• I = Obliquo

Punti di minimo e di massimo

f'(x) → 0 f''(x) → 0 f'(x) = 0.

Devo trovare i valori di x che fanno risultare 0 la derivata di f(x). I valori di x che soddisfano f'(x) = 0 sono punti di minimo e di massimo (avendo le coordinate di x, basta sostituire la/le x trovate, nella f(x) originale per trovare le coordinate di y).

Sostituendo x₁, x₂ nella f(x) trovo le coordinate dei punti di min o max (osservando i risultati dei passaggi 0,1,2,3 si determina se è un punto di min o max) (oppure lo si determina facendo f''(x) > 0 in questo modo si capisce dove la x "sale" e dove "scende").

Esempio: f'(x) > 0 considerando l'intervallo [1,3] ottengo x > 2 ₁ x > 1.

Dal grafico capisco che nell'intervallo [1,3] è presente un punto di minimo con coordinate: x=2 y=f(2) (senza considerare necessariamente i passi 0,1,2,3).

P.S. ho scelto l'intervallo [1,3] perché avevo questo grafico: potrebbe avere due forme diverse:

Punti di min e max

Se f'(x_o) = 0 e f''(x_o) > 0 → x_o è un punto di min. relativo.

f''(x_o) < 0 → x_o è un punto di massimo relativo.

x_o è un valore scelto da noi a seconda dei casi:

Es: 1) f(x) = x⁴ f'(x) = 4x³ f''(x) = 12 x² se x=0, il teorema precedente non è verificato.

Es: 2) f(x) = x² f'(x) = 2x f'' = 2.

Se x=0, il teorema precedente è verificato e ho trovato un: punto di minimo con coordinate x = 0, y = f(x).

Metodi vari

Divisione

∫(2x³ + 7x² + 2x - 9)/(x² + 3x) dx = 2x³ + 7x² + 2x - 9 - 2x³ - 6x² ---------------- x² + 2x - 9 - x² - 3x ---------------- - x - 9.

∫(2x + 1 - (x + 9)/(x² + 3x)) dx.

N(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x).

Denominatore di 2° grado

Δ = b² - 4ac.

Δ = ∅.

∫(1/x² - 9) dx = ∫(1/(x - 3)(x + 3)) dx.

Δ > 0.

∫(3/(3x² - x - 2)) dx.

3x² - x - 2 = 3x² - 3x + 2x - 2 = 3(x(x - 1)) + 2(x - 1) = (x - 1)(3x + 2).