Analisi matematica - Integrali

Integrali multipli

Il problema dell’integrazione di funzioni di più variabili reali è molto importante, ad esempio per il calcolo di volumi, di momenti di inerzia, ecc.

Noi ci limiteremo al caso di funzioni di due o tre variabili. La definizione dell’integrale doppio ci permetterà anche di definire integrali su superfici nello spazio.

6.4 - Integrale di Riemann

Vogliamo definire il concetto di funzione integrabile secondo Riemann nel caso di due variabili. Estendiamo a questo scopo le nozioni di partizioni, somma integrale, funzione integrale, ecc.

Siano I = [a,b] e J = [c,d] due intervalli limitati e sia f : I x J → ℝ una funzione limitata.

Consideriamo due partizioni I e J a = x₀ < x₁ < ... < x_k = b c = y₀ < y₁ < ... < y_k = d.

Chiamiamo partizione P dell’attenuato I x J l’insieme di tutti i rettangoli R_ij = [x_i, x_i+1] x [y_j, y_j+1] col variare di i, j.

Definiamo la misura elementare del rettangolo R_ij ponendo: m(R_ij) = (x_i+1 - x_i) x (y_j+1 - y_j) e poniamo M_ij = sup Ω(x_i) m_ij = inf Ω(x_i).

Indichiamo con il termine somma integrale superiore di f relativa alla partizione P, il numero:

Integrali multipli

Il problema dell'integrazione di funzioni di più variabili reali è molto importante, ad esempio per il calcolo di volumi, di momenti di inerzia, ecc.

Noi ci limiteremo al caso di funzioni di due o tre variabili. La definizione dell'integrale doppio ci permetterà anche di definire integrali su superfici nello spazio.

6.1 Integrale di Riemann

Vogliamo definire il concetto di funzione integrabile secondo Riemann nel caso di due variabili. Estenderemo a questo scopo le nozioni di partizione, somma integrale, funzione integrabile ecc.

Siano I = [a,b] e J = [c,d] gli intervalli limitati e sia f : I x J → ℝ una funzione limitata.

Consideriamo due partizioni L e S  a = x₀ < x₁ < ... < x_h = b  b = y₀ < y₁ < ... < y_k = d.

Chiamiamo partizione P del rettangolo I x J l'insieme di tutti i rettangoli: R_ij = [x_i, x_i+1] x [y_j, y_j+1] dove i è l'indice di i,j.

Definiamo la misura elementare del rettangolo R_ij ponendo m (R_ij) = (x_i+1 - x_i) x (y_j+1 - y_j) e poniamo M_ij = sup Ω(x,y) min_ij = inf ρ(x,y).

Indichiamo con il termine somma integrale superiore di f relativa alla partizione P, il numero: S(P, P) = ∑_i,j Π_ij m (R_ij).

Indichiamo con il termine somme integrali inferiore di f relativa alla partizione P il numero s(P, P) = ∑_i,j m_ij m (R_ij).

Def. 27 Diciamo che f è integrabile secondo Riemann su IxJ se risulta { sup s(P,P) = inf S(P,P) } al variare di tutte le possibili partizioni P.

Tal valore comune è l'integrale di f su IxJ e si indica con ∫∫_IxJ f dx dy.

Prop 28 caratterizzazione dell'integrabilità

Una funzione f: IxJ → ℝ limitata e integrabile ⇒∀ε ∃ 3 partizioni della R t.c. somma integrale sup-S(P,P) < ε Somma integrale inf di f relativa alla partizione P < ε Ix28 integrabilità delle funzioni continue.

Se la funzione f: IxD ⇒ ℝ è continua in IxS, allora f è integrabile in IxJ.

Dimostrazione

Per il teorema di Weierstrass fù circa ise f è limitata è per il teorema di Heine-Cantor ⇒ ∃δ≠t.c.|| x-y ||_D ↔ | f(x) - f(y) | < ε ^{∀ x,y ∈ ℝ}.

Se consideriamo partizioni t.c. _i=0ⁿ R_ij || ^sup_Rij ρ - ^inf_Rij ρ || Fissato ε > 0, scelto la partizione come sopra Σ(Ρ) = s(Σ, Ρ) = Σ( (M_ij - m_ij) ^vm(R_ij) ij) == εm(R)=> per l’arbitrarietà di ε, scelto la caratterizzazione dell'integrabile. Da cui segue la tesi.

Teor 30 proprietà dell'integrale

Supponiamo che le funzioni f, g: IxJ ➔ ℝ siano integrabili: ∀A⊂IxJ ∀∝,β∈ℝ.

• IxJ (∝f+βg)∘dx∘dy = ∝IxJ f∘dx∘dy + βIxJ g∘dx∘dy.
• Se ρ ≥ 0 ⟹ IxJ f∘dx∘dy ≥ 0.
• IxJ ρ∘dx∘dy ≤ sup ρ∘dx∘dy = sup(ρ) m(IxJ).

Teor 31 formula di riduzione

Sia R = [a,b]x[c,d] e sia ρ: R➔ℝ continua. Allora _R ρ(x,y)∘dx∘dy = _a^b _c^d ρ(x,y)∘dy dx == _c^d_a^b ρ(x,y)∘dx dy.

Esempio

∬_{{0,2} x {0,2}} x⁴ d x d y - ∫₀^x ( ∫₀^x x y² d y ) d x = ∫₀² x ( ∫₀² [ y³ / 3 ]₀^x ) d x = ∫₀² 8/3 x d x = [ 8/3 x² / 2 ]₀² = 8/3 . 1/x² = 8/3 = 8/3/3 = 6/3.

G.2. Integrali misurabili

Abitualmente si considerano domini di integrazione più generali dei rettangoli. Per considerare integrali di funzioni su insiemi contenuti propriamente nel loro dominio, introduciamo la seguente notazione.

Def 32. Chiamiamo funzione caratteristica dell'insieme E la funzione χ_E : ℝ^m → ℝ così definita χ_E(x) = {1 se x ∈ E, 0 altrimenti}.

Def 33. Diciamo che E è misurabile secondo Peano-Jordan se la sua funzione caratteristica è integrabile secondo Riemann su ℝ e definiamo m(E) = ∫_R χ_E(x) dx.

[ Non dipende dalla scelta di R, l'importante che R contenga E ] ( posso considerare sostanzialmente questo oppure questo, l'importante R ⊇ E e sia non miso ).

Def.34 Definiamo plurirettangolo di Rⁿ l’unione di un numero finito di minirettangoli a due a due a parti interne disgiunte.

Es: S = ⋃_i=1^N R_i, (minirettangoli) con R_i ∩ R_j = ∅.

Prop.35 caratterizzazione della misurabilità

Un insieme E ⊂ Rⁿ è limitato e misurabile secondo Peano - Jordan ⇔∀ε > 0 ∃S₁, S₂ plurirettangoli t.c. S₁ ⊂ E ⊂ S₂ t.c. 0 ≤ m(S₂) - m(S₁) ≤ ε e m_L(E) = sup m(S) S plurirettangolo, S ⊆ E = inf m(S) S plurirettangolo, E ⊆ S.

4.3. Insiemi normali

E ⊂ R² si dia normale rispetto all’asse delle x se esistono e funzioni continue α, β: [a,b] → R t.c. E = { (x,y) ∈ R² : x ∈ [a,b] e α(x) ≤ y ≤ β(x) ∀x ∈ [a,b] }.

Prop.36: Gli insiemi normali sono misurabili secondo Peano - Jordan. Se E è come sopra allora m(E) = ∫_a^b (β(x) - α(x)) dx.

Def. 37 Sia E misurabile e f : E → ℝ limitata. Sia R un m-intervallo t.c. E ⊂ R e sia f^* : ℝ → ℝ definita da f^*(x) = f(x) se x ∈ E f^*(x) = 0 altrimenti.

La funzione f si dice integrabile su E se f^* è integrabile su R e definiamo ∫_E f(x) dx = ∫_R f^*(x) dx.

Teo 38: formula di riduzione

Sia E un insieme normale rispetto all'asse y e f : E → ℝ continua. Allora ∬_E f(x,y) dx dy = ∫_a^b ( ∫_α(x)^β(x) f(x,y) dy ) dx.

Dimostrazione

Sia R un rettangolo t.c. E ⊂ R. Allora ∬_E f(x,y) dx dy = ∫_R f^*(x,y) dx dy = ∫_π( ∫_E f^*(x,y) dy ) dx == ∫_a^b ( ∫_S f^*(x,y) dy ) dx = ∫_a^b ( ∫_α(x)^β(x) f^*(x,y) dy ) dx = ∫_a^b ( ∫_α(x)^β(x) f(x,y) dy ) dx = ∫_a^b ( ∫_α(x)^β(x) f(x,y) dy dx ).

F ⊂ ℝ² è normale rispetto all'asse y se esistono 2 funzioni α, β : [c,d] → ℝ continue con α(t) ≤ β(t) ∀ t ∈ [c,d] e F = { (x,y) ∈ : α(x) ≤ s ≤ β(x) ∀ y ∈ [c,d]} ∬_F f(x,y) dx dy = ∫_(α,β)( ∫_α(y)^β(y) f(x) dx ) dy = ∫_c^d ( ∫_α(y)^β(y) f(x,y) dx ) dy = ∫_c^d dy ∫_α(y)^β(y) f(x,y) dx.

6.4. Cambiamento di parametro

Teorema: Siano E, F ⊆ ℝ² due insiemi regolari. Sia Φ : E → F biettiva di classe C¹ con det JΦ ≠ 0. Sia f : F → ℝ una funzione integrabile, allora: ∫_E f(x) dx = ∫_E' f(Φ(ω)) |det JΦ(ω)| dω.

6.5. Insiemi normali in ℝ³

Sia G un insieme normale in ℝ².

Definizione: Un insieme G è normale rispetto al piano x = 0. Se esistono α, β : E → ℝ continue con α(x,y) ≤ β(x,y) t.c. G = { (x,y,z) : (x,z) ∈ E' , α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y) }.

Teorema 1. Formula di riduzione per gli integrali tripli

Sia f : G → ℝ una funzione integrabile, allora: ∫∫∫_G f(x,y,z) dx dy dz = ∬_G' (∫_α(x,y)^β(x,y) f(x,y,z) dz ) dx dy.

Teorema 2. Formula di riduzione per gli integrali tripli

Sia G ⊆ ℝ³ insieme misurabile G = { (x,y,z) : a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ G_z = insiemi normali in ℝ² } ∫∫∫_G f(x,y,z) dx dy dz = ∫_a^b ( ∬_Gz f(x,y,z) dx dy ) dz.

Misura di Peano-Jordan di insiemi limitati

Def Sia E ⊂ Rⁿ. Diciamo che E è misurabile secondo Peano-Jordan se ∀ r > 0 E ⊂ B_r(0) e è misurabile.

E definiamo m(E) = lim_{r → ∞} m(E ∩ B_r(0)) ∈ [0,+∞] intorno sferico di raggio r.

Esempio

E = {(x,y), x ∈ R, 0 ≤ ^y/_1+x² ≤ 1} ∈ è un insieme illimitato m(E) = lim_{r → ∞} m(E ∩ E_-yr,r³-x) == lim_{r → ∞} ∫_-r^r \(\frac{1}{1+x^2}\) |_x = lim_{r → ∞} \(\text{arcctg}[\) ^y/_r + ¹/_r]= π.

Integrali di superficie

Def: Sia A ⊂ ℝ² aperto connesso per poligoni e sia ϵ: A → ℝ³ un'applicazione.

Diciamo che ϵ è una superficie regolare in ℝ³ se ϵ ∈ C¹(A), ϵ'è iniettiva in A e Dϵ è una matrice di rango due in ogni punto.

Notiamo che la superficie è un'applicazione mentre chiamiamo sostegno di ϵ l'insieme delle immagini di ϵ.

La richiesta di iniettività di ϵ è piuttosto esitiva. Sono superfici regolari per esempio i piani, i cilindri, ma non le sfere.

Def: Sia K ⊂ ℝ² un insieme compatto e sia ϵ: K → ℝ³ una applicazione. Diciamo che ϵ è una superficie regolare contatta in ℝ³ se K è la chiusura della sua parte interna e la restrizione di ϵ alla parte interna di K è una superficie regolare.

Può accadere che il sostegno di una superficie compatta racchiuda una porzione limitata dello spazio.

Ricordiamo che la matrice Dϵ = Dϵ(u,v) è data da Dϵ(u,v) =(∂e₁/∂u, ∂e₁/∂v)(∂e₂/∂u, ∂e₂/∂v)(∂e₃/∂u, ∂e₃/∂v).

Dunque per cioè la condizione di rango che verte che i vettori _uv sono linearmente indipendenti, questo mi assicura che essi generano un piano, detto piano tangente al sostegno della superficie in ogni punto del sostegno di e.

Indichiamo con _A,B,C = _u ⋀ _v il loro prodotto vettoriale.

Sia (u₀,v₀) un punto interno al dominio di e e sia (x₀,y₀,z₀) = e(u₀,v₀) Posto A₀ = A(u₀,v₀) B₀ = B(u₀,v₀) C₀ = C(u₀,v₀).

L’equazione del piano tangente al sostegno e nel punto (x₀,y₀,z₀) è dato da A₀(x-x₀) + B₀ (y - y₀) + C₀ (z - z₀) = 0.

Def: Definiamo area della superficie e il numero A(e) = ∬_e√A²(u,v)+B²(u,v)+C²(u,v) du ⋅ dv == ∬_e ‖ _u ⋀ _v ‖ du ⋅ dv.

Def: Sia e una superficie regolare compatta, i supponiamo che f sia una funzione reale continua sul sostegno e.

Definiamo integrale superficiale di f su e il numero: ∬ _e φ d σ = ∬_kφ(e(u,v)) √A²(u,v) + B²(u,v) + C²(u,v) du ⋅ dv.

Def. Sia Σ una superficie regolare compatta ed F un campo vettoriale continuo su E sostegno di Σ. Definiamo flusso di F attraverso Σ il numero ∫ _Σ F · dσ = ∫_X F(t(u,v)) · (tv ∧ tu) dudv.

5°: Teorema della divergenza e formula di Stokes

Teorema 5: teorema della divergenza in R² Sia D un dominio regolare di ^R². Se F : D → R² è un campo vettoriale di classe C¹, si ha ∫_D div F dxdy = ∫_{∂ D} F · γ ds dove ∫_{∂ D} denota la curva avente la frontiera di D come F il vettore normale a ∫_{∂ D} orientato verso l'esterno di D.

La divergenza div F. di F = (F₁, F₂) è data da div F = ∂ F₁/∂ x + ∂ F₂/ ∂ y.

Dimostrazione

(Nel caso di un insieme A normale rispetto di R²) A = {(x,y) ; α (x) ≤ x ≤ β (x), ∀ x ∈ [a,b] } α, β ∈ C¹ ([a,b]).

Dobbiamo provare che:

• ∫ _A ∂ p/∂ x dx dy = ∫_{∂ Ax} p γ_x ds.
• ∫ _A ∂ f/∂ y dx dy = ∫_{∂ Ay} f γ_y ds.

(Proviamo e) ∬_{A ∂f}/_∂y dxdy = ∫_a^b dx ∫_α(x)^β(x) _∂f/_∂y dy = ∫_a^b (f(x,β(x)) - f(x,α(x))) dx == ∫_a^b (f(x,β(x)) ∫_x¹ dx - f(x,α(x)) ∫_x¹ dx) == ∫_γβ∇γ ds - ∫_γα∇γ ds = ∫_γ∇γ ds.

L'integrale curvilineo non dipende dall'orientamento della curva.

(Proviamo l) ∬_{A ∂f}/_∂x dxdy = ∫_a^b dx ∫_α(x)^β(x) _∂f/_∂x dy == ∫_a^b (f(x,y) dy - f(x,β(x))β'(x)+ f(x,α(x))α'(x)) α(x)′) dx == ∫₀¹ (f(β) dy + ∫₀¹ (f(α,y) dy ∫_a^b f(x,α(x))α(x) dy ∫_a^b f(x₁,β(x))β(x).-+ ∫_a^b _f,(x,β(x)) β(x) ∫_1+x'(x)²)= ∫_a^b f(x−α(x))α'(x) ∫_{√1+(α'(x))}²+ ∫_xb^a f_x∇x ds + ∫_{γ conceptual}∇x ds + _∇x(x conceputal + -1) is the sign of the preceding statement swapped.