Analisi matematica I - appunti ed esercizi

Analisi

! MarcoP DeMarcellini G-Rudin ! Sbordonec.W .. ., I1 'Principles analisimatematica 1of 1analisiiMathematicalamolysislo vediamo natocom' ècome problemaenunciato tt dimostrazionedimostrazione tiannettere applicare Assiomi reali numerisuiin naturali= numeriinsiemeti }{ 2,31= . .., . }No { 2,30,1= .. .,{ }Z ± interi±10 2= =, ,Q razionali=↳ 0quoziente è nondove y razionalel [ }{ Z BENc-±= a: ,☐ realiIR =ti dipunti rettailetti= una

Assiomi sui numeri reali

Assiomi reali numerisuioperazionisulle- : ( seguenti)operazioni che isoddisfano assiomiIR +2definite esu .sono proprietàA1 associativa' :( b)b) (( () )btcat C(01 a. b+ + 01= c= - --ERI CFRYfa bCbquestovale a ,, , ,AZ commutativo'Proprietab. bta=at b.b = aa 'te Rb. C-,1-3 Proprietà distributiva'c)( abb = + aca- +fa ERb c,,1- 4 neutriesistenza elementi 7tale0] l'lo che unità tale chenumero numero- -,, taek,EIR 1-ato = a a-a a_ 0=11inoltre51- 3- OPPOSTIdegli : " di 'b àoppostodiceb- sifa IRJBEIR O tale+c- ①: - indicasie a-AG 7 degli inversi b-10Ha tale diceEIR sinumeroa, "è" %dia"7 indicaIRb C- =L siab invaso oe:sull' ordinamento isoddisfadefinita "IR " assiomidiè che seguentiEIn reazione ordineuna7A- dicotomia¥ hadi EbBEIR bcoppia Esia a o a, bea81- BEH bEb a-ase a -, ,,9A- IR )FREb atc btc lase c-c b@b Ee , ,,,[ disuguaglianzaquando ho una leentrambeadse (aggiungo ]cambia l'ordineparti non 0<-0 bEatb0lbAIO oosase -e ,11 "1- esistenzadi elementocompletezza separatoreoA diB due lareali proprietàinsiemisiano conn ., bBEBAche se =c- aaI. , te A7allora AECEBER TTBEBC c-tac ,. .Diciamo tale Bseparatoreè elemento di 1-cche un eREGOLERI atbsemplificare se b.: C=etc=rispetto sommaalla detto ""-15=>7 diatbatc opposto a

Dimostrazione su somma e opposto

Dimostrazione asupp che -,. fatta fata )b)considero +la b+sono facette ) b) +OtbÉASÈ bd'altra parte ,ipotesib)la (a)C- a) f- )= +1- ate-ti= ' i, , D=c= C. ☐bRZ D= caa-se :c--70a d'b.suff Qche altraa. partec=DIMOSTRAZIONE e'. ,6A- 3- diinversol' ipotesia, , ) ((1101 ) c)(" " b)Ila Ilaconsidero /detto il a.=a.. -, F- (( )c)Ya( ) a Horaprodotto C- .È ( fa)a.ftp.al.b( cb)Ya( ) a .- ¥6I 1 c.È ( fa) b AIa. . bc :c¥ b1. ☐AI b Quando#l' « è»ipotesi 'ATTENZIONE ° semplicionevoglionecessariaainfatti daro' dxcapitarea fattore-0 siunpuòse e e,ab #siabche sicuro= ac essere:c 0chema i, 1 2-( 1) possonose =7 e✗1) y( × -=t y ,- qualsiasiessere-1--10=>4--7se × cosa123 fa IR si 0=0hac- a. -7" 1+considero la aaDIMOSTRAZIONE a. oo +somma a. .È 10+11a.Èh a. 1È" aTE +0adimostrato Otaho Otaa. =che 0*-0+9 a- 0=01applico a.la neg . ☐124 legge di annullamento del Prodotto0D= bioa =se 0 oppurea. ,almenocioè uno, ètra eb =0aDIMOSTRAZIONE oabsia = finitohoose a = . dimostrare b =Dchevogliamo# èose invece a 7 )Ha / AG=/poiché dil' inverso° cioèa a, ,b--0ipotesiper a .fa1 Oab =, .a . ( regolafa 3)fa bb1- mentre=Da 0=0poi = .. , ☐inversi significato175 %haO cioè hanonnon , ,significato0-1 hacioè non . 70-1inversoabbia R0che cioè c-DIMOSTRAZIONE suff . ., 0-1.0=1di "def "Dalla cioèinverso di numeroun. ,§0-1*0=0dalla FALSO3regola 0=1ma ,www.aaeeiiwaso-L?:::eTI:?ressJQUESTOUN ASSURDO0 esistedi non . ☐ SBAGLIATEFOSSERORG l' èrealediopposto uniconumeroun .§ QERsia l' unicooppostoDIMOSTRAZIONE : siadichesuqq e a non. ,=/ bta7 CEIR ob =b. 0chetaci' C Ctacioe =e , ,, Ebfcb-b. ipotesia c① C perse +=+ - , ☐l'177 inverso =/ è unicodi numero oun§DIMOSTRAZIONE ] CERbR cioèsia unicosiasull di① inversoc-: l'che a connone ,,. ,=/ 1 01=1b C tale b-a c.che -- , ., È Eb ipotesib #b=La. perse a. c= c. ☐, dell'dato 'opposto dioppostoR l'RS stessoc-a a e a, ,( a)cioè a=-- É fa )a) ( a)( ×a->DIMOSTRAZIONE >a =Per aipotesi a= = -- - -- - a)1- q=-fa Iab ☐fa179 BER )) b = -, ., ]regola41-È 1- a) bDIMOSTRAZIONE 01- a) btab 0bla =+ =considero asomma - .4dunque b opposto dil') èfa ob. . ☐laNOTAZIONE bC- b) scrivesi anche' asomma + -a 1-prodotto b-il 1lb anche /ba.= aservesia.la Infattida =/A +4lbproprietà Oyb}• Cib a+ . ,c) 1g@%§ E§f- +c-++ e == =.. bbRIO c-atb ac ==se ÈÈDIMOSTRAZIONE b)(b->bb. c. Cc-c- c oipotesi c- c-bper =+c-a == -È ☐=/ bb) bsiccome aqtb c- > c-+ =tto1311 ) 1- b) bfa ERab=. , Ib-7s -7s-79 ]( ]( ( ) )[a) ([) b abbDIMOSTRAZIONE a --_- -- ☐{EX lab) b)a) C-1- +-+ = -111 ( )b- aba- =.

Definizioni e disuguaglianze

Definizione significa b Eaazb1 . b significa atbatto2 e < che ,, b <3. a significa> b aECEcatb b1212 >= a -DIMOSTRAZIONE transitiva" è"E1713 b.cc ECcioè b >es ase =: ,, 12naso . () a)( G- b)bAtoipotesi OEB OE +EbDIMOSTRAZIONE c-- qa =per -e % 12CÌ Megipotesi Ec b quindiDE OEC > EC=a- ☐per a-1714 bcEb CIaabbiamose a.czo,o±DIMOSTRAZIONE d- bcEb aca # -a) eo - È. Ebayac0 EC =)asb (< Ibcso E diventato1215 ac èse , È 0c)C-cioèDIMOSTRAZIONE ==•ipotesi cCEO =ctcco cper --- È{ C-EEE (c) c)dunque bcb.Io ce-= •a. - .ectbcAggiungo sx dia eÈeci-b-f-bcbc.ee# be - cioè bcC >ac, ☐b{RIG a-ase btd←>= QtcEdC ][ AJ 13DIMOSTRAZIONE usare mege .taek1717 -20aa., ¥3DIMOSTRAZIONE se cosa <ato aa.oE a0 OEOI OE qinvecese aco --7110£Ato a) )) fafa fa )} 0<-1OE a- .- • cazo←• = a- aa a - casoogniin ☐1718 è 070#>o 012=01.01 01 oE :ODIMOSTRAZIONE of con>sull 9=00>01.01sia .o>• ... .E> ooa. oa {0170sia >0 oq a.se > a> =• ¥19.0. Età (a) > oa) a.( a - ☐?dimostrare EattbEzabfa BEIR )( aztbzche si ha -, BIOSiano lEIR 0170b.Q e, { BIO0,2{ -020QZO +ase >= bb. ?BIO O ( )1219 assurdob perb 0>se > +o> oa ☐,DIMEXRZO bsiano >00>a DIMEX, ]2 eallora : 012=62 b. 0,2=62<b.1. 2 >⇐qza = .62QZb⇐3. >>>a b2)DIMOSTRAZIONE >sia =D1 =aa. à=b)⇐ dimdobbiamosia =DChe a.012 ' 0,2 b- O=D sipoichè =ha _, ( tblb)(>OF b O'poi = a- - .=Db)(la b)quindi +a- . (01+5)=0la b)124dalla tra eunoalmeno -, .-70 atb ob =Supp a-Che.D= bio da0=-01 cui 0=0a se_Quindi falso=D① .,b-to-ieote.si b>b o > o} '0120 atb > ob falso>oe _ =/ 0 poichéb abbiamo dimostratoa- non può essere ,arrivaogni contraddizioneadin casoche unasi .=Db=o aa ☐-ATTENZIONE 20la bzo: regola 0120vale solo se ,{ 'b -4 quindi01=1 b a sarà>es →: a= non,. 'a- b '< piu b-dimaggiore bRZI <Se o<2 > abb >0a =oab1 Se >> > o0 =>a o ,.,. bzoblo oibzoSeab 4 >> 0> #3 = =0Se < aa , . ,. BIO alzo>6BIO =0<-0se5 IOSe > ab01>-0 = ,.. ,DIM facoltativoEX1222 1/01>0 -0<0se o>a ,0=>1,al < >se a o0a -,1223 b Hab 1lb>siano > < >seoa a0 ,

Intervalli

Intervalli gliledefinizione disuguaglianze di definire di numeriintervallipermettonoreali limitatib intervalliIRdati bC- si diconocon <aa ,,, -insiemiseguentii b)[}{ [b[[ HR QE Ebb) =a a.✗:= ✗a. , tI }{ bIR alc-chiuso= intervallo ✗✗ <:=t chiusointervallo sx] :{ } a( =b •✗ ±EIR✗ •b <a. : aperto ax; a¥ cuius esx aperto ×edeintervallo adxchiuso{ }b) b( EIR✗ <= ✗• <a si: bse haa-, - , -3=01L (}[ {]a ea. a= , ¢intervallo §aperto a)[ a)la= = =a ,,illimitatidicono intervallisidefinizioni insiemi :gli } ) {{ }a) ([ 201 EIR a✗ ✗EIR= ✗ = :✗afro:+a , t tintervallointervallo apertochiuso == ,illimitato illimitatosuperiormente superiore{] {} }C- EaIR a)✗ afa ER• :-<c- ,=a ✗ : = ✗, ,L /chiusointervallo < apertointervallo=, ,illimitato ing ingillimitato. .fa a) R=+, ¢ATTENZIONE IRnumeri+ o a non realisono-, .,

Modulo

Il modulo "" [" "" "" " " "" "" "° °o°" ""° "" { ose ⇐a/la = < oa se a- 1-1121=1/2101=0141=4es :. ,, *-2=0se{ -2×2✗ = 7=2cioè- ) -2<0( -2 ×× se- 22cioè2- ✗✗=lai-distanzaveaiepmtoaeiepmtoo-la.to) puntoiltradistanza il bpunto= a aIiii4-51=1 Piti/es . ,15-41=1 5+31=8/ -3-51=81-1+31=21×-21=5 punti"significa itrovaanche ✗ chedistano 5 puntoi -2dalpassi_Ì←_1×-1-213=5 =3✗g-< -5 ✗ -7=1×-101<2ex 57soluzione )18,12C-8 12< ✗ < ✗È1×+1-1>4ex - , puntisoluzionile: ✗i chesono 1 )distano -1dadi+ passi4 ." ( a)5)✗ >-5v fa< ✗U +3 +uC-✗ - ,,ÈÈ11×-21<-4 a- 1-03<1%61-2 E ✗ < oppure'cioe ( ]1) 3,6EEZ u✗ ,04×1<-1ex v10)E- )+1ioC-✗ , { }[ )]-1,1 ooppure I insinuati comeno/1×1=1×+1ex " distanzatrovare tali trapunti chetutti la✗i punto è allapuntoil 0 ugualeil× e 1-distanza tra ilil 1)punto punto✗ e .itf-- Trigore metodocol classicoex ? io1×-11=1×1-1×+31in+entrambi Vmodii nessunasoluzioneproprietà /' taek/ alzo la1 2 0<=301--0=..olll bklatlbl=//metodo altala3 la KAEREIR 4-. . 111011 -1-0I5 IR/=/ aEIRb-la I c-ab. =faa .- ,} 10"{lakmax6 ae -. tal, 8. / C-allatal7 Etat a-Ea ,-. "=• ••{}fa bdefiniamoDEFINIZIONE behdati Max =a > a,, b, Seb Eb} se{ { •ebmindefiniamo a. = < a↳sebDIMOSTRAZIONE tata>azo invece=se casose, la / ao =>a -/ >alzo oa_ tal o>letto tuttiini casi ☐{lfltcigeiol E >a2 # o. sueetal -0 >sia :O o =..oceanografiche aao-al §/ 19170ognio&g