Analisi Matematica 2

Analisi 2 in breve

Combinazione lineare

V S.V. su K

v₁, ..., v_m ∈ V

λ₁, ..., λ_m ∈ K

Si dice combinazione lineare di v₁, ..., v_m con coefficienti λ₁, ..., λ_m il vettore V = ∑_i=1^m λ_iv_i

Definizione linearità dipendente e indipendente

{v₁, ..., v_m} ⊆ V

{v₁, ..., v_m} si dicono linearmente dipendenti ⟺ ∃ λ₁, ..., λ_m con λ_i ∈ K, ∃ i ∈ {1, ..., m} : λ_i ≠ 0 _t.k. ∑_i=1^m λ_iv_i = 0

{v₁, ..., v_m} si dicono linearmente indipendenti ⟺ non sono linearmente dipendenti, in particolare ⟹ ∄ λ₁, λ₂, ..., λ_m ≠ 0

Definizione parte libera parte libera massimale

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è parte libera ⟺ v₁, ..., v_m sono linearmente indipendenti

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è parte libera massimale ⟺ ∄ U ⊆ V : {v₁, ..., v_m} ⊂ U parte libera

Definizione sistema di generatori, sistema di generatori minimale

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è sistema di generatori ⟺ ∀ v ∈ V ∃ λ₁, ..., λ_m : ∑_i=1^m λ_iv_i = v

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è sistema di generatori minimale ⟺ {v₁, ..., v_m} è sistema di generatori e ogni sottosistema non più sistema di generatori.

Definizione di base

{v₁, ..., v_m} ⊆ V è base ⟺ {v₁, ..., v_m} è sistema di generatori e parte libera

Analisi 2 in breve

Combinazione lineare

V S V su K

v₁,...,v_m ∈ V

λ₁,...,λ_m ∈ K

Si dice combinazione lineare di V₁,...,V_m con coefficienti λ₁,...,λ_m

Il vettore V = _i=1^m ∑ λ_i * v_i

Definizione linearità dipendente e indipendente

{v₁,...,v_m} ⊆ V

{v₁,...,v_m} si dicono linearmente dipendenti ⟺ ∃ λ₁,...,λ_m con ∃ i₀ ∈ [1,m] : λ_i ≠ 0 _i=1^m ∑ λ_i * v_i = 0

{v₁,...,v_m} si dicono linearmente indipendenti ⟺ non sono linearmente dipendenti, in particolare ⟺ ∀ i, λ₁ = λ₂ = ... = λ_m = 0

Definizione parte libera parte libera massimale

{vt₁,...,vt_m} ⊆ V è parte libera ⟺ vt₁,...,vt_m sono linearmente indipendenti.

{vt₁,...,vt_m} ⊆ V è parte libera massimale ⟺ ∄ v ∈ V : {vt₁,...,vt_m,v} parte libera

Definizione sistema di generatori, sistema di generatori mininale

{vt₁,...,vt_m} ⊆ V è sistema di generatori ⟺ ∀ v ∈ V ∃ λ₁,...,λ_m : _i=1^m ∑ λ_i * v_i = v

{vt₁,...,vt_m} ⊆ V è sistema di generatori minimale ⟺ ∄ v ∈ {v₁,...,v_m}, tale che {vt₁,...,vt_m,v} non più sistema di generatori

Definizione di base

{vt₁,...,vt_m} ⊆ V è base ⟺ {vt₁,...,vt_m} è sistema di generatori e parte libera.

Teorema

Parte libera massimale, base, sistema di generatori minimale sono equivalenti.

V S.V. K

• {v₁, ..., v_n} è parte libera massimale ⇔
• {v₁, ..., v_n} è base ⇔
• È sistema di generatori minimale

Dim.

1) → 2) {v₁, ..., v_n} è parte libera massimale; se v ∈ V \ {λ₁, ..., λ_n}:

v = ∑_i=1ⁿ λ_i v_i (vero altrimenti {v₁, ..., v_n} sarebbe parte libera) quindi {v₁, ..., v_n} è sistema di generatori, quindi è una base

2) → 3) {v₁, ..., v_n} è sistema di generatori minimale

Se ... fossero linearmente dipendenti sia n, v ∈ V \ 3 m ∈ K :

∑_j=1^j-1 λ_j v_j + λ_j m_i n_j = ∑_j=1^j+1 m_j v_j

Definizione di sottospazio vettoriale

V S.V. K

W si dice sottospazio vettoriale _def ⇔ W S.V. K

Definizione dimensione finita

V S.V. K

V si dice a dimensione finita _def ⇔ 3 {v₁, ..., v_n} base di V

Teorema della dimensione

V S.V. K di dimensione finita

{2u₁, ..., 3u_n} ∈ {w₁, ..., w_m} basi di V

Allora m = n

Somma

{v₁,..., vₘ} ⊆ {w₁,...,wₙ} base di V allora n ∃ vₕₐₜ_ₙ,...,vₘ: {v,...vₕₐₜ_₁,.