Analisi Matematica 2

2 311 Definizione di analisi matematica

Determinare il limite puntuale della seguente successione di 1 Siano fn funzioni definite su un insieme A. Si dice che la successione (fn) converge uniformemente su A ad g quando:

L'Analisi Matematica è quella disciplina che si interessa di funzioni e stabilire se la convergenza è uniforme: fn(x) = nx e−nx, x correlati strettamente Ɛ > 0 questioni matematiche in cui sono i [0, 1]:

a per ogni esiste N² > 0 tale che per n > N² si ha |fn(x) − g(x)|∈infiniti e i problemi di continuità < Ɛ² A – possibile doppione procedimenti a converge ma non uniformemente a f(x) = 0 ∀x ∈

b L'Analisi Matematica è quella disciplina che si interessa di b converge uniformemente a f(x) = 0 b per ogni Ɛ > 0 esiste N² > 0 tale che per n > N² si ha |fn(x) − g(x)| questioni matematiche in cui sono correlati strettamente i c converge ma non uniformemente a f(x) = 1 < Ɛ² A∀x ∈ procedimenti finiti e i problemi di continuità d converge uniformemente a f(x) = 1 c per ogni Ɛ < 0 esiste N² > 0 tale che per n > N² si ha |fn(x) − g(x)|

c L'Analisi Matematica è quella disciplina che si interessa di < Ɛ² A∀x ∈ questioni matematiche in cui sono correlati strettamente i 2 Sia data la successione di funzioni fn(x)= 1 se 0 < x < 1 f(x)=0 se 1 d per ogni Ɛ > 0 esiste N² > 0 tale che per n > N² si ha |fn(x) − g(x)| uniformemente procedimenti infiniti e i problemi di discontinuità n ≤ x ≤ 1 che converge ma non a f(x) = 0. > Ɛ² A∀x ∈

d L'Analisi Matematica è quella disciplina che si interessa di L'affermazione 'La funzione limite f è continua, mentre le funzioni questioni matematiche in cui si mantengono separati i fn sono discontinue su [0, 1]. Nonostante ciò non è possibile 2 La convergenza uniforme di successioni di funzioni continue ha uniforme. Riemann. procedimenti infiniti e i problemi di continuità concludere che la convergenza non è Infatti, si può legami molto stretti con l’integrale di Quale dei seguenti concludere che la convergenza non è uniforme solo quando le è il Teorema che rende valida la precedente affermazione: funzione limite.

Euclide e procedimenti infiniti

2 Euclide ha tutto nel suo spirito tranne la mentalità di analista, la funzioni fn sono continue e la f non lo è.' è:

a sia (fn) una successione di funzioni continue su un intervallo [a, antianalitica: sua parola d'ordine era a falsa b], che converge uniformemente a g. Allora vale lim ∫ba fn(t) dt =∫ba f(t) dt.

a Assolutamente Falso b vera Vero, b anche se pone le basi di ciò che è procedimento infinito o c vera solo in 0 e 1 b sia (fn) una successione di funzioni continue su un intervallo [a,b], che converge uniformemente a g. Allora vale lim ∫ba fn(t) dt > continuità d falsa solo in 0 e 1.

c Assolutamente falso. È Euclide che passa dall'aritmetica e dalla ∫ba g(t) dt kn = max{k 3 Per ogni n N, n ≥ 1 siano N : 2k − 1 ≤ n}, In = [n + 1 c sia (fn) una successione di funzioni continue su un intervallo [a, geometria alla definizione di Analisi Matematica ∈ ∈ funzione definita.

d Assolutamente Vero. Euclide, a conferma della sua pura classicità, b], che converge uniformemente a g. Allora vale lim ∫ba fn(t) dt < − 2 kn 2 kn, n + 2 − 2 kn 2 kn] e fn: [0, 1] → R la da ∫ba g(t) dt non vuol sentir parlare di ciò che è procedimento infinito o fn(x) = (1 se x In, 0 se x [0, 1]\In:∈ ∈ continuità a la successione (fn) converge puntualmente in 0 d sia (fn) una successione di funzioni continue su un intervallo [a, dt = b], che converge uniformemente a g. Allora vale lim ∫ba fn(t) b la successione (fn) converge puntualmente in 1 Platone non converge g(t).

Platone, continuità e funzioni periodiche

3 Per parlare di procedimenti infiniti, di continuità o di c la successione (fn) puntualmente in alcun punto di ∫ba dt strumenti che non fossero la riga e il compasso era a dir poco [0, 1] blasfemo...:

d la successione (fn) converge puntualmente in [0, 1] 3 Sia f(x) una funzione della variabile reale x. Si dice che f(x) è a Platone non utilizzava come strumento la riga periodica di periodo T quando:

b Platone non utilizzava come strumento il compasso 4 Sia data la successione di funzioni fn(x) = nx/ (1 + n2x 2) x a • la funzione f(x) è definita in x + T se e solo se è definita in x. È converge uniformemente c Falso appartenente a [-1, 1] che ma non a f(x) conseguenza di questo che per ogni numero naturale n, la funzione IIfn fkII d Vero = 0]. Si dimostra che limn – infinito = 1/2: è definita in x + nT se e solo se è definita in x.

• Per ogni x nel dominio della funzione, si ha f(x) = f(x + T) e quindi a vero.

4 Quando nel XIII secolo alcuni matematici si cimentano nello b falso anche f(x) = f(x + nT) per ogni numero naturale n. studio di equazioni di grado superiore al primo, si entra in un c il risultato esatto è 1/2n prodromi d il risultato esatto è 2 settore in cui si hanno di analisi, poiché si comincia b.

• La funzione f(x) è definita in x + T se e solo se è definita in x. È auspicare quanto meno ad l'esistenza di qualcosa che ancora conseguenza di questo che per ogni numero intero n, la funzione è mancava: R e C, quando la soluzione non esisteva neanche come 5 Una serie di potenze altro non è che una particolare serie di definita in x + nT se e solo se è definita in x.

Irrazionale...: si ha f(x) = f(x + T) numero funzioni:

• Per ogni x nel dominio della funzione, e quindi = f(x + nT) intero.

a Falso. Questo è avvenuto solo nell'epoca Moderna a falso anche f(x) per ogni numero n. b Falso b vero c.

• La funzione f(x) è definita in x + T solo se è definita in x. È c Vero c vero solo ponendo condizioni d R e C sono stati introdotti nel secolo decimo conseguenza di questo che per ogni numero intero n, la funzione è d falso in alcuni casi definita in x + nT se e solo se è definita in x. raggio di convergenza.
• Per ogni x nel dominio della funzione, si ha f(x) = f(x + T) e f(x) =.

Calcolo, serie di potenze e funzioni periodiche

5 Il calcolo che consente di determinare le tangenti a una curva, è: 6 Ogni serie di potenze con non nullo si Flussioni a Il calcolo delle di Isaac Newton deriva termine a termine, e il raggio di convergenza della serie f(x + nT) per ogni numero intero n.

b Il calcolo delle flessioni di Isaac Newton derivata è uguale a quello della serie data: c Il calcolo delle inversioni di Isaac Newton a falso d.

• La funzione f(x) è definita in x + T se è definita in x. È d Il calcolo delle flussioni di Leibniz b è un Teorema conseguenza di questo che per ogni numero intero n, la funzione è c è vero ma non è un Teorema, poiché è un Corollario definita in x + nT se è definita in x.

6 Comunque si separi la retta in due classi di punti, in modo tale d è vero anche nel caso di raggio di convergenza nullo.

• Per ogni x nel dominio della funzione, si ha f(x) = f(x + T) e quindi che ciascun punto della prima preceda ciascun punto della seconda anche f(x) = f(x + nT) per ogni numero intero n.

E tale che entrambe le classi esauriscano tutti i punti della retta, se 7 La somma di una serie di potenze di raggio di convergenza non Fourier in tale situazione c'è un elemento della retta maggiore di tutti gli nullo è una funzione di classe C: 4 Lo studio delle serie di invece va fatto nell’insieme delle Corollario elementi della prima classe e minore di tutti gli elementi della a è un funzioni: seconda classe, si dirà che la retta è continua, se così non è la retta b è semanticamente aleatorio a a quadrato integrabile non sarà continua, è:

b a cubo integrabile c la somma di una serie di potenze di raggio di convergenza non c a quadrato limitabile a La Congettura di Dedelkind nullo è una funzione di classe R∞ d a quadrato non integrabile b Il Corollario di Dedekind d la somma di una serie di potenze di raggio di convergenza non L'Assioma c di Dedekind nullo è una funzione di classe Q∞ d Il Teorema di Dedekind.

Funzioni ortogonali, misura e limiti

5 Diciamo che due funzioni f e g sono ortogonali in L2 (a, b) 8 Le Funzioni di successione e le Serie successive di Funzioni sono quando: videolezione: = 0.

7 Cantor ha dimostrato che: l'argomento di questa a <f,g> superiore a L'insieme delle parti di un insieme ha potenza a quella a falso b <f,g> < 0 dell'insieme stesso b falso perché non si trattano Serie successive di Funzioni c <f,g> > 0 b L'insieme delle parti di un insieme ha potenza uguale a quella c è argomento di un altro corso di Analisi Superiore d <f,g> = 10 dell'insieme stesso d vero.

c L'insieme delle parti di un insieme ha potenza minore a quella 6 L'energia totale ottenuta sommando le energie di tutte le dell'insieme stesso 9 Sia data la funzione f(x) di classe C∞ in un intorno di x0. La serie posizioni è uguale alla somma delle energie delle componenti di Taylor d Cantor non ha dimostrato alcuna asserzione di ad essa associata può non convergere e, se converge, può tutte le frequenze.:

Non convergere alla funzione f: a è falso 8 Lebesgue costruì un'intera teoria della misura, sulla base della a vero b è vero quale costruì: b falso c è vero per la moltiplicazione a Il piano affine di Lebesgue c vale per le successioni di Robert d è vero per la sottrazione b L'integrale di Lebesgue d vero se la funzione f è di classe Z∞ c La derivata curva di Lebesgue 7 Una serie convergente si dice permutabile (o che gode della d L'integrale di Russell 10 La serie di Taylor di centro 0 si chiama anche: proprietà commutativa) se:

a serie di MrLaren a ogni sua serie permutata converge, con la stessa somma 9 Il campo dei numeri iperreali: b serie di McCaffee b esiste una sua serie permutata che converge, con la stessa c serie di McLaren somma a Esiste b Non esiste d serie di McLaurin c ogni sua serie permutata converge, con la somma diversa c È costituito da numeri che possono essere sommati e traslati d esiste una sua serie permutata che converge, con somma diversa lungo tutta la retta reale d È costituito da numeri che possono essere sommati e traslati 8 Teorema: Ogni serie a termini positivi convergente è permutabile: lungo tutto il piano reale a vero per i numeri interi b vero per i termini razionali negativi.

10 Il concetto di limite: c vero sempre non euclidea Permise l'analisi più approfondita di geometrie e di d falso sempre maggiore di tre spazi a dimensione b Permise l'analisi più approfondita di geometrie non euclidee e di 9 La convergenza in C^0 ([a, b]), d∞) è la convergenza uniforme: spazi a dimensione minore di tre a Vero c Permise l'analisi più approfondita di geometrie euclidee e di spazi b Falso a dimensione diversa da tre c È la convergenza non uniforme d Permise l'analisi più approfondita di geometrie euclidee e di spazi d È vero che la convergenza in R0<([a, b]), d∞) è la convergenza a dimensione minori di tre uniforme.

10 Sia {xn} una successione convergente in (X, d). Allora: a Il limite non esiste b Il limite è unico c Il limite esiste ma non è unico d Nessuna delle risposte è corretta.

4 5 6 Serie di potenze, funzioni di due variabili e topologia

Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi Per rappresentare graficamente una funzione di due variabili 1 L'insieme B che ha per elementi tutti gli intorni sferici di Rn è una analoghi a quelli validi in campo reale: esistono le seguenti due possibilità: base per la topologia. Attraverso gli intorni sferici possiamo definire È vero.

c La regione di convergenza di una serie di potenze in C è un a1. Rappresentazione cartesiana e 2. Coniche di livello le nozioni topologiche fondamentali. Sia X incluso in Rn diremo che cerchio (centrato in z0), il cui raggio si dice raggio di convergenza b1. Rappresentazione cartesiana e 2. Linee di livello x X è interno a X:∈ uniformemente e della serie. All'interno di tale cerchio la serie è c1. Rappresentazione cartesiana e 2. Ellissi di livello a se esiste B(x)Ɛ incluso in X assolutamente convergente. All'esterno non converge mai. Sulla d1. Rappresentazione cartesiana e 2. Piani di livello b se esiste B(x)Ɛ che include X circonferenza può convergere o no, a seconda dei casi, e c'è c se esiste B(x)Ɛ che include strettamente X sempre almeno un punto singolare di f(z) 2 Si determini e si disegni l'insieme di definizione della funzione f(x, d se esiste B(x)Ɛ incluso strettamente in X.

y) = log(1 - x2 - y2): all'interno.

2 Esiste una completa equivalenza tra analiticità di una funzione in a x2 + y2 < 1, cioè (x, y) deve essere della circonferenza 2 Sia B l insieme che ha per elementi tutti gli intorni sferici di Rn Sia un punto e sua sviluppabilità in serie di Taylor in un suo intorno: centrata nell'origine di raggio 1 A incluso in Rn diremo che A è aperto se:

a sempre vero b x2 + y2 > 1, cioè (x, y) deve essere all'esterno della circonferenza a tutti i suoi punti sono interni b sempre falso centrata nell'origine di raggio 1 b tutti i suoi punti sono esterni c x2 + y2 < 1, cioè (x, y) deve essere all'esterno della circonferenza c tutti i suoi punti tranne 0 sono interni d falso sia nel campo complesso che nel campo reale centrata nell'origine di raggio 1 d tutti i suoi punti sono tranne 0 esterni d x2 + y2 > 1, cioè (x, y) deve essere all'interno della circonferenza.

3 Se un punto regolare z = z0 è uno zero di ordine n della funzione centrata nell'origine di raggio 1 3 Sia B l insieme che ha per elementi tutti gli intorni sferici di Rn Sia f(z), allora: X incluso in Rn diremo che X è limitato se:

a la funzione si annulla in z0, o ciò che è lo stesso, f(z0) = 0 se, e 3 Un'applicazione F: R2 → R2 è una legge che associa ad un punto a esiste BƐ(0) che incluso in X di R2 un altro punto di R2 ; quindi ad una coppia di coordinate (x1, soltanto se, z0 è diverso da zero b esiste BƐ(0) che incluso strettamente in X b la funzione si annulla in z0, o ciò che è lo stesso, f(z0) = 0 x2) corrisponde un'altra coppia (y1, y2) = F(x1, x2); tale scrittura sta c esiste BƐ(0) che include strettamente X c la derivata n-esima è uguale a zero in z0 a significare: d esiste BƐ(0) che include X.

a che la coordinata y1 cambierà in dipendenza da come cambiano d le prime n − 1 derivate sono diverse da zero in z0 x1 e x2 e la stessa cosa accadrà per y2, cioè ad ogni coppia (x1, x2) 4 Sia data una funzione f: X Rn → R L esistenza del limite di f ⊆ 4 Un punto singolare z0 si dice singolarità isolata della funzione f(z) corrisponderà uno e un solo valore y1 e uno e un solo valore y2, equivale all’esistenza del limite su tutte le infinite restrizioni di f I A accumulazione se esiste un suo intorno, privato di z0, in cui f(z) è analitica.: per ogni sottoinsieme A di X con x0 di per A: questo è equivalente a dire che esistono due funzioni f1, f2 : R2 →R per cui x1 = f1(y1, y2) e x2 = f2(y1,y2).

a è vero a Falso b è falso b che la coordinata y1 cambierà in dipendenza da come cambiano b Vero (1) x1 e x2 e la stessa cosa accadrà per y2, cioè ad ogni coppia (x1, x2) c falso se n è pari c deve essere anche vero in z0 stesso d la definizione di singolarità isolata non esiste nel campo corrisponderà uno e un solo valore y1 e uno e un solo valore y2, d vero solo se n è pari complesso questo è equivalente a dire che esistono un'unica funzione f : R2 →R per cui y1 = f1(x1, x2) e y2 = f2(x1, x2).

Rn, Laurent e Weierstrass

5 In Rn l'addizione gode delle stesse proprietà dell addizione di 5 Il punto singolare isolato z0 si definisce polo della funzione f(z) se: c che la coordinata y1 cambierà in dipendenza da come cambiano numeri reali: Laurent a lo sviluppo in serie di intorno a z0 possiede un numero x1 e x2 e la stessa cosa accadrà per y2, cioè ad ogni coppia (x1, x2) a 1 (VERO) finito n di potenze negative corrisponderà uno e un solo valore y1 e uno e un solo valore y2, b totalmente falso f1, f2 : R2 c falso perché non vale la proprietà commutativa b lo sviluppo in serie di Laurent intorno a z0 possiede un numero questo è equivalente a dire che esistono due funzioni → f1(x1, x2) e y2 = f2(x1, x2). d falso perché non vale la proprietà associativa R per cui y1 = infinito n di potenze negative.

d che la coordinata y1 cambierà in dipendenza da come cambiano c lo sviluppo in serie di Taylor intorno a z0 possiede un numero x1 e x2 e la stessa cosa accadrà per y2, cioè ad ogni coppia (x1, x2) 6 Lo spazio vettoriale Rn non è ordinato con: infinito n di potenze negative corrisponderà uno e un solo valore y1 e uno e un solo valore y2, a n ≥ 2 d lo sviluppo in serie di Cauchy-Hadamard intorno a z0 possiede un questo è equivalente a dire che esistono due funzioni f1, f2 : R2 → b n > 10 numero infinito n di potenze negative c è sempre ordinato R per cui y1 = f1(x1, x1) e y2 = f2(x2, x2). 6 Secondo Teorema di Weierstrass: d non è mai ordinato.

a una serie di potenze è, per ogni z interno al cerchio di 4 Per ogni z C possiamo considerare una funzione f : C → C come ∈ arbitrario) convergenza, derivabile termine a termine n volte (con n una funzione che a z associa w C. Ricordiamo che ad ogni z = x+iy 7 La funzione g(x, y) = x2 − y2 rappresenta: ∈ è analitica e, quindi, essa all'interno del cerchio di convergenza possiamo associare un punto di R 2 di coordinate (x, y), e se w = a un paraboloide iperbolico b una serie di potenze è, per ogni z interno al cerchio di a+ib gli possiamo associare il punto di R 2 di coordinate (a, b).