Analisi Matematica 1 - Teoria

Analisi di matematica I

Teoria degli insiemi

• a ∈ A
• a ∉ A non appartiene

Per indicare un insieme si usano le parentesi graffe A: {a; b; c}

• A ∩ B indica l'insieme di elementi che sta sia in A che in B (intersezione)
• A ∪ B indica l'insieme di elementi che sta in almeno uno dei 2 insiemi (unione)

È possibile che l'intersezione generi un insieme vuoto A ∩ B = ∅ e che quindi non vi siano elementi comuni ad A e B. Si parla quindi di insiemi disgiunti se la loro intersezione genera un insieme vuoto.

Abbiamo un sottoinsieme quando x ∈ A ⇒ x ∈ B (A sottoinsieme di B) implica

Abbiamo un sottoinsieme proprio quando A ⊂ B, ma A ≠ B.

Il complementare di A rispetto ad un insieme X assegnato è l'insieme degli x ∈ X | x ∉ A e si indica come A^c

Formule di De Morgan

• (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c
• (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Analisi di matematica I

Teoria degli insiemi

• a ∈ A
• a ∉ A non appartiene

Per indicare un insieme si usano le parentesi graffe: A = {a; b; c}

• A ∩ B indica l'insieme degli elementi che stanno sia in A che in B (intersezione)
• A ∪ B indica l'insieme degli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi (unione)

È possibile che l'intersezione generi un insieme vuoto A ∩ B = ∅ e che quindi non vi siano elementi comuni ad A e B. Si parla quindi di insiemi disgiunti se la loro intersezione genera un insieme vuoto.

Abbiamo un sottoinsieme quando x ∈ A ⇒ x ∈ B (A sottoinsieme di B)

Abbiamo un sottoinsieme proprio quando A sottoinsieme di B, ma A ≠ B.

Il complementare di A rispetto ad un insieme X assegnato è l'insieme degli x ∈ X | x ∉ A e si indica come A^c

Formule di De Morgan

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Condizioni necessarie e sufficienti

Poniamo che se a > 10 → a > z quindi:

a > 10 è condizione sufficiente affinché a sia maggiore di z

a > z è invece condizione necessaria affinché a sia maggiore di 10

In generale il numero che sta a sinistra della freccia è sempre la condizione sufficiente.

a > z → a > 10

In più a > z non è condizione sufficiente poiché a può essere anche 8 o 9 che sono minori di 10.

Negazioni

Il simbolo ∀ si nega con “∃ esiste almeno un...” ad esempio.

∀x > 0 → ∃n ∈ &naturals; n < x

Per ogni x maggiore di 0 esiste un numero n appartenente ai numeri naturali tale che n sia maggiore di x.

∃x > 0 → ∀n ∈ &naturals; n < x

“...Esiste almeno un x maggiore di 0 per ogni n appartenente ai numeri naturali tale che n sia minore o uguale ad x.

Tipi di numeri

• &naturals;: Numeri naturali interi positivi
• &integers;: Numeri relativi interi positivi e negativi {0 ±1 ±2}
• &rationals;: Numeri razionali ^p⁄_q p, q ∈ &integers; q ≠ 0 Numeri periodici o numeri decimali con un numero limitato di cifre.

In &rationals; sono definite le 2 operazioni binarie → somma, prodotto.

Entrambe le 2 operazioni godono di 3 proprietà:

• Commutativo
• Associativa
• Distributiva

Sottrazione divisione sono esprimibili attraverso somma e prodotto

a + (-b) sommo l'opposto

a : 1/b moltiplo il reciproco

Introduzione di numeri reali

Teorema ➔ Non esiste x ∈ ℚ tale che x² = 2

Dimostrazione ➔ Per assurdo supponiamo che esista y ∈ ℚ | y² = 2

y = p/q con p, q ∈ ℕ e primi fra loro

Si può scrivere che p²/q² = 2 ➔ p² = 2q²

dove p è un numero pari poiché multiplo di 2. Definiamo p: 2r r ∈ ℕ e quindi

ar² = 2q² ➔ 2r² = q², anche q è pari.

Se p e q sono pari non possono essere primi fra loro e quindi abbiamo dimostrato che

Sezione

Def. ➔ Se ho una coppia di sottoinsiemi A, B non vuoti di numeri reali, si dice sezione di ℝ se

i) A ∩ B = ∅ e A ∪ B = ℝ (es i numeri x < 0 e x > 0)

ii) ∀ a ∈ A e b ∈ B si ha a ≤ b

Assiomi di completezza

(assiomi di Dedekind)

Ogni sezione A, B di _R ammette un elemento separatore cioè

∃ s &in; _R | a ≤ s ≤ b

∀ a &in; A b &