Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti su Successioni e serie numeriche

Capitolo 2

Successioni e serie numeriche

2.1 Successioni numeriche

2.1.1 Limiti notevoli

Diamo un elenco dei principali limiti notevoli di successioni.

√ a = 1, a ∈ R, a > 0. (2.1)

lim nⁿ → +∞  0 0 < |a| < 1 1 a =1n

lim aⁿ = (2.2)n → +∞  +∞ a > 1 @ a ≤ −1

√n^α lim n = 1, α ∈ R. (2.3)

n → +∞  +∞ 0 < a ≤ 1n @ −1 ≤ a < 0

= lim (2.4)naⁿ → +∞  0 |a| > 1

 0 −1 ≤ a ≤ 1n^a +∞ a > 1

= lim (2.5)αⁿn → +∞  @ a < −1

n^a = 0, a ∈ R. lim (2.6)

n! n → +∞ 25

√n lim n! = +∞. (2.7)

n → +∞ n!

lim (2.8) = 0.

nⁿ n → +∞ β

(log n) = 0, α, β ∈ R. lim (2.9)

αⁿ n → +∞ α β

n^{(log n)} lim (2.10) = 0, a > 1, α, β ∈ R.

naⁿ n → +∞

2.1.2 Tabella operativa dei limiti

Indichiamo con a > 0, b > 0 due numeri reali positivi. Nel calcolo dei limiti, si presentano spesso operazioni da svolgere utilizzando valori finiti e valori infiniti. Sebbene non sia effettivamente possibile definire i concetti di somma e prodotto (e altre operazioni elementari) tra tali grandezze, è comunque possibile darne una definizione “ad hoc” in relazione ai teoremi sui limiti. Valgono allora le seguenti regole (I indica che ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata):

Addizione

+ a −a 0 +∞ −∞

b a + b −a + b b +∞ −∞

−b a − b −a − b −b +∞ −∞ (2.11)

0 a −a 0 +∞ −∞

+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ I

−∞ −∞ −∞ −∞ I −∞

Moltiplicazione

+ −· a −a 0 0 +∞ −∞

+ −b ab −ab 0 0 +∞ −∞

− +−b −ab ab 0 0 −∞ +∞ (2.12)

+ + − + −

0 0 0 0 0 I I

− − + − +

0 0 0 0 0 I I

+∞ +∞ −∞ I I +∞ −∞

−∞ −∞ +∞ I I −∞ +∞

26

Quoziente

Sulla prima riga i numeratori, sulla prima colonna i denominatori.

+ −÷ a −a 0 0 +∞ −∞

+ −b a/b −a/b 0 0 +∞ −∞

− +−b −a/b a/b 0 0 −∞ +∞ (2.13)

+0 +∞ −∞ I I +∞ −∞

−0 −∞ +∞ I I −∞ +∞

+ − + −

+∞ 0 0 0 0 I I

− + − +

−∞ 0 0 0 0 I I

Potenze

Sulla prima riga le basi, sulla prima colonna gli esponenti.

+a> 1 0 <a< 1 1 0 +∞

b b +b a^a 1 0 +∞

b b +−b 1/a 1/a 1 +∞ 0 (2.14)

0 1 1 1 I I

+ + +∞ +∞ 0 I 0 +∞

+ +−∞ 0 +∞ I +∞ 0

2.1.3 Esercizi

Esercizio 5 Si dimostri, usando la definizione, che

1 lim = 0.

n! n → +∞

Soluzione. Vogliamo dimostrare che 1 ∀ ² > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n₀ =⇒ 1/n! < ².

Osserviamo che n! = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1 ≥ n · n · . . . · n · n · n = nⁿ,

| {z } n−volte

per cui 1/n! ≤ 1/nⁿ < ².

Se 0 < ² < 1, prendendo i logaritmi ad ambo i membri ed osservando che a = log ² < 0, si ha

1/nⁿ < log ² = a =⇒ −n · log n < a =⇒ n log n > −a > 0.

log n n log da cui

Ma si ha pure n > √n² > n · log n > −a =⇒ n > √−a > −a.

27 √ Prendendo allora come n₀ il numero naturale immediatamente maggiore di −a si ottiene la tesi. 2

Esercizio 6 Determinare i limiti delle seguenti successioni:

µ ¶ √2n n n 21 2 − 3 n − n + n (1) 1 + , (2) ,, (3) n 2 3/2 3n 1+3 2n − n + 1

µ ¶ hn 1 + log n kn n √ (4) , (6) 1+ , ∀ k, h ∈ R,, (5) (−1) 2n +1 n n − log n

µ ¶ µ ¶ 2n n √ n +3 n − 1n n n (7) 2 + 3 , (8) , (9) , n +1 n 7log(n + 1) n + sin n n − 1

(10) , (11) , (12) , 6log n log n + cos n n + 1

n n 2 24 − 2 n sin n + 3n n 2 (13) , (14) , (15) [1 + (−1) ]n , n n 34 + 2 1 + ns

√ √ 3(3 − n)( n + 2) n(n + 2) n3 (16) , (17) − , 28n − 2 n +1 n +1

23n − 5n n n 2 3 n 2 (18) n · 2 + cos(n ), (19) , (20) n + (−1) n , 25n + 2n − 6

µ ¶ p42n − 3 2n + n − n. (21) , (22) 3n + 7

Soluzione.

¶ ¶µ µ 32n ·2n1 1 3

(1) lim = lim =1+ 1+3n 3n

n → +∞ n → +∞

#"µ ¶ 2/33n √1 2/3 3 2

= lim 1+ = e = e .

3n n → +∞

µ ¶ µ ¶n n2 2n3 − 1 − 1n n n2 − 3 3 3

µ ¶

= lim = −1.

(2) lim = lim 1n 11 + 3

n → +∞ n → +∞ n → +∞

n + 13 +1 n3n3

√ 2 2n − n + n 1n = .

(3) lim = lim 22 3/2 2n 22n − n + 1

n → +∞ n → +∞

µ ¶1log n +11 + log n log n

µ ¶ √ √

= lim =

(4) lim n − log n n

n → +∞ n → +∞ log n − 1log n

28

µ ¶1 +1 1log n

µ ¶

= lim = = 0,

1 ∞ n → +∞ − 1−1/2n log n

Abbiamo usato la regola ½ ∞ a> 0b

alim n log n = ∀ b ∈ R.

0 a < 0, n → +∞ nⁿ n

(−1)ⁿ n

(5) lim (−1) = lim (−1) = lim = 0.

2 2n + 1 n n

n → +∞ n → +∞ n → +∞

(6) Abbiamo

µ ¶ ¶µhn hnk 1

lim 1+ = lim =1+ −1

n k n n → +∞ n → +∞

#"µ¶ ¶µ kh−1 −1k n·kh k n11 kh

= e .= lim= lim 1+1+ −1 −1

k n k n n → +∞ n → +∞ n

(7) Raccogliendo 2 si ha

sµ ¶ n √ √√ 2n n n n n n

lim + 1 = 3 lim2 + 3 = lim 3 · 1 = 3.

3n n → +∞ n → +∞ n → +∞

(8) Abbiamo da (6)

µ ¶ ¶ ¶µ µn n nn +3 n +1+2 2

lim = lim = lim =1+

n + 1 n +1 n +1

n → +∞ n → +∞ n → +∞

#"µ ¶ nn+1 n+12 2 1 2

= lim = (e ) = e .

1+ n +1

n → +∞

(9) Sempre mediante (6) troviamo

¶ µ ¶µ 2 2n n1n − 1 = lim 1 − =lim n n

n → +∞ n → +∞

·µ ¶ ¸ 2nn−1 n −1 +∞ −∞

= lim 1+ = (e ) = e = 0.

n n → +∞ 29

(10) Si osservi che, per n tendente all’infinito, l’andamento delle due successioni è lo stesso. Ne segue

log(n + 1) lim = 1.

log n n → +∞

(11) Le successioni sin n, cos n sono entrambe limitate e non ammettono limite per n tendente all’infinito. Tuttavia

n n + sin n = lim = +∞,

lim log n + cos n log n

n → +∞ n → +∞

in quanto n cresce più velocemente del logaritmo.

(12) Abbiamo

7 7n − 1 n

lim = lim = lim n = +∞

6 6n + 1 n

n → +∞ n → +∞ n → +∞

(13) Abbiamo

n n 2n n 2n n4 − 2 2 − 2 2 (1 − 1/2 )

lim = lim = lim = 1.

n n 2n n 2n n4 + 2 2 + 2 2 (1 + 1/2 )

x → +∞ x → +∞ x → +∞

2 2n sin n+3n

(14) Osserviamo che, posto a =

n 31+n2 2 2 2 2

|n sin n + 3n | = n · | sin n + 3| = n (| sin n| + 3) ≤ 4n ,

e quindi

2 2 2 24n n sin n + 3n 4n

− ≤ .

3 3≤ 1+ n 1 + n

Dal momento che

24n 4n 4

lim = lim = lim = 0,

3 31 + n n n

n → +∞ n → +∞ n → +∞

segue, dal teorema del confronto, che

2 2n sin n + 3n

lim = 0.

31 + n

n → +∞ n 2

(15) Indichiamo con a_n = [1 + (−1)ⁿ]ⁿ : allora

n = 2h =⇒ a_2h = [1 + (−1)^2h](2h) = [1 + 1] · 4h = 8h ≥ 0,

2h 2h+1 2 2

n = 2h + 1 =⇒ a_2h+1 = [1 + (−1)^2h+1](2h + 1) = [1 − 1](2h + 1) = 0.

2h+1

Ma allora lim a_2h = +∞, lim a_2h+1 = 0,

h → +∞ h → +∞

30 e quindi il limite non esiste.

(16) Abbiamo

s s√ √ √(3 − n)( n + 2) 6+ n − n3 3

lim = lim =

8n − 2 8n − 2

n → +∞ n → +∞

rr −n −1 133

= lim = = − .

8n 8 2

n → +∞

(17) Abbiamo

µ ¶3 2 3n(n + 2) n n

lim − = lim − lim = ∞ − ∞,

2n +1 n +1 n n

n → +∞ n → +∞ n → +∞

che è una forma indeterminata. Si osservi tuttavia che

¶µ 3 2 2 3n n(n + 2) (n + 2n)(n + 1) − n (n + 1)

lim − = lim =

2 2n +1 n +1 (n + 1)(n + 1)

n → +∞ n → +∞

4 3 2 4 3 3n + 2n + n + 2n − n − n n

= lim = lim = 1.

2 3(n + 1)(n + 1) n n

n → +∞ n → +∞

n 2

(18) Poniamo a_n = n · 2 + cos(n ). Allora, essendo cos(α) ≥ −1,

n n 2 n

a_n = n · 2 + cos(n ) ≥ n · 2 − 1 → +∞,

n

per n → +∞. Segue che lim a_n = +∞,

n → +∞

per confronto.

(19) Abbiamo

22 3n 33n − 5n = lim = .

lim 2 25n + 2n − 6 5n 5

n → +∞ n → +∞

(20) Abbiamo

µ ¶n(−1)3 n 2 3 3

lim (n + (−1) n ) = lim n 1 + = lim n = +∞.

n n → +∞ n → +∞ n → +∞

(21) Abbiamo

µ ¶ µ ¶4 42n − 3 2n 16

lim = lim = .

3n + 7 3n 81

n → +∞ n → +∞

31

(22) Abbiamo

√³p ´ ³p ´ 2n + n + n2 2 √

lim n + n − n = lim n + n − n · 2n + n + n

n → +∞ n → +∞ 2 2 2

2n + n − n n + n − n n 1p

√= lim = lim = lim = .

2n 22n + n + n n 1 + 1/n + n

n → +∞ n → +∞ n → +∞

2.2 Serie numeriche

2.2.1 Esercizi

Esercizio 7 Determinare se convergono ed, in caso affermativo, calcolare la somma delle seguenti serie:

∞ ∞ ∞ X X Xn 1 2n + 1 (1) , (2) , (3) , 2 2(n + 1)! n(n + 3) n (n + 1) n=1 n=1 n=1

µ ¶∞ ∞ ∞ X X X1 1 1 1 √ √ (4) , (5) − , (6) . 24n − 1 n(n + 1)(n + 2)n n +1 n=1 n=1 n=1

Soluzione. (1) Sia a_n = n/(n + 1)! il termine generale della serie. Allora

n n 1

lim = lim = lim = 0.

(n + 1)! (n + 1)n(n − 1)! (n + 1)(n − 1)!

n → +∞ n → +∞ n → +∞

Inoltre

a (n + 1)!n + 1

n+1

lim = lim · =

a (n + 2)! n

n → +∞ n → +∞

n n +1(n + 1)(n + 1)! = lim = 0,

= lim (n + 2)(n + 1)! · n n(n + 2)

n → +∞ n → +∞

per cui la serie converge per il criterio del rapporto. Possiamo scrivere

n n +1 − 1 n +1 1 1 1

= = − = − ,

(n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! n! (n + 1)!

per cui la serie è telescopica. Ne segue che

¶µN NX X 1n 1

S_N = = −

(n + 1)! n! (n + 1)!

n=1 n=1

µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 1 1 1 1

= 1 − + − + − + ...

2! 2! 3! 3! 4!

µ ¶ µ ¶

1 1 1 1

... + − + −

(N − 1)! N ! N ! (N + 1)!

1

=1 − (N + 1)!

e quindi

∞X n

lim S_N = 1 =⇒ = 1.

N (n + 1)!

N → +∞ n=1

32

(2) Sia a_n = 1/[n(n + 3)] il termine generale della serie. Allora

1 = 0.

lim n(n + 3)

n → +∞

Inoltre 1 1∼ ,