Analisi matematica 1 - Appunti

Appunti di Analisi matematica 1

Poma Divo

Indice

• Gli insiemi numerici N, Z, Q
• L’insieme dei numeri reali e le sue proprietá di continuitá R
• Elementi di topologia
• Successioni
• Serie numeriche
• Funzioni: limiti e continuitá
• Derivate
• Primitive di una funzione
• Integrali definiti
• L’insieme dei numeri complessi C
• Integrali generalizzati
• Sviluppi di Taylor
• Equazioni differenziali
• Complementi

Capitolo 1

Gli insiemi numerici N, Z, Q

• Numeri naturali

{1} ∈ ∈ Si assume che e se n allora n + 1 N N N.

Sono definite due operazioni interne:

• Somma: + : N × N → N tale che (m, n) → m + n.
• Prodotto: · : N × N → N tale che (m, n) → m · n.

Entrambe le operazioni godono delle proprietá commutativa e associativa. Godono inoltre della proprietá distributiva del prodotto rispetto alla somma ed esiste l’elemento neutro del prodotto, il numero 1.

Principio di induzione: sia S ⊆ N tale che n₀ ∈ S e n ≥ n₀ ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S. Allora S = {n ∈ N : n ≥ n₀}.

• Numeri interi relativi

Valgono tutte le proprietá di N ed in piú esiste l’elemento neutro della somma, il numero 0, e ogni elemento ammette l’inverso rispetto alla somma (l’opposto). (Z, +) é quindi un gruppo commutativo.

• Numeri razionali

L’insieme dei numeri razionali é Q = {m/n, m, n ∈ Z ∧ n = 0}.

Valgono tutte le proprietá di Z ed in piú, per ogni numero razionale diverso da 0, esiste l’inverso rispetto al prodotto (il reciproco). (Q \ {0}, ·) é quindi un campo.

Capitolo 2

L’insieme dei numeri reali e le sue proprietá di continuitá

L’insieme dei numeri razionali non é completo. Si puó ad esempio dimostrare che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato é uguale a 2.

Teorema 2.0.1. q = 2. @ Q/q² = 2.

Dimostrazione. Per assurdo q = 2 quindi ∃ m, n ∈ Z con n = 0 tali che q = m/n. Si possono supporre, senza perdere di generalitá, m, n coprimi. Si ha quindi q² = 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n². Distinguiamo i casi:

• M, n pari non é possibile perché non sarebbero coprimi.
• M pari e n dispari allora ∃ h, k ∈ Z/m = 2h e k = 2k + 1 quindi 4h² = 2(4k² + 4k + 1) ⇒ 2h² = 4k² + 4k + 1 che é assurdo perché il primo membro é pari mentre il secondo é dispari e non possono essere uguali.
• M dispari e n pari, m² = 2n² quindi un numero dispari (m²) dovrebbe essere uguale ad un numero pari (2n²), assurdo.
• M, n dispari, si ha comunque l’uguaglianza, sempre assurda, tra un numero dispari e uno pari.

Si conclude che q : q² = 2 non é razionale.

L’insieme R é l’insieme in cui vale l’assioma di continuitá.

Assioma di continuitá di Dedekind: per ogni coppia A, B di sottoinsiemi di R tali che a ≤ b ∀ a ∈ A e b ∈ B esiste c ∈ R tale che a ≤ c ≤ b, ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B. Il numero c é detto elemento separatore tra A e B. Esso puó essere unico oppure esisterne infiniti, puó appartenere ad A, a B, ad entrambi o a nessuno dei due.

Teorema 2.0.2. In Q non vale l’assioma di Dedekind.

Dimostrazione. Si devono mostrare due insiemi A, B ⊆ Q⁺ tali che a ≤ b ∀ a ∈ A, b ∈ B ma tc a ≤ c ≤ b a ∈ A, b ∈ B. Definiamo A = {a ∈ Q⁺ tc a² < 2} e B = {b ∈ Q⁺ tc b² > 2}. a ≤ b ∀ a ∈ A, b ∈ B perché a² < 2 e b² > 2 ↔ a² < 2 < b² ↔ a < b ↔ (a - b)(a + b) < 0 ↔ a < b poiché a, b sono positivi quindi anche a + b. Per assurdo ∃ c ∈ Q elemento separatore. Sono possibili tre casi:

• C² = 2, impossibile per il teorema precedente.
• ∃ h ∈ Q c² < 2. Ció é impossibile poiché proviamo che tc (c + h)² < 2, che porta ad un assurdo poiché c + h ∈ A quindi c non sarebbe il maggiore di tutti gli elementi di A. Supponiamo h < 1, tanto basta trovarne uno, e quindi (c + h)² < 2 ↔ c² + h² + 2ch < 2 ← c² + h + 2ch < 2 (se esiste per questa seconda diseguaglianza, a fortiori esiste per quella precedente essendo 0 < h < 1 e quindi h² < h) ↔ c² + h(1 + 2c) < 2 ↔ h < (2 - c²)/(1 + 2c). Possiamo prendere h = min{(2 - c²)/(1 + 2c); 1} ∈ Q⁺ e c + h ∈ A, il che porta all’assurdo.
• ∃ h ∈ Q c² > 2. Ció é impossibile poiché proviamo che e 0 < h < c tc (c - h)² > 2, che porta ad un assurdo poiché c - h ∈ B quindi c non sarebbe il minore di tutti gli elementi di A. (c - h)² > 2 ↔ c² + h² - 2ch > 2 ← c² - 2ch > 2 (se esiste per questa seconda diseguaglianza, a fortiori esiste per quella precedente) → -2ch > 2 - c² ↔ h < (c² - 2)/(2c) > 0. Si nota che c² < 2. Posso prendere h = min{(c² - 2)/(2c); c} ∈ Q⁺ e c - h ∈ B, il che porta all’assurdo.

Definizione 2.1. Sia A un sottoinsieme di R. Si dice che A ammette massimo (minimo) se ∃ a ∈ A tale che a ≥ a (a ≤ a) ∀ a ∈ A.

Proposizione 2.0.3. Se il massimo (minimo) esiste, é unico.

Dimostrazione. Per assurdo ∃ a = a massimi di A. Allora a ≤ a e a ≤ a ∀ a ∈ A. Poiché la diseguaglianza deve valere anche per i due massimi, deve essere a ≤ a e a ≤ a da cui si trova che a = a, contro l’ipotesi che fossero diversi, quindi il massimo deve essere unico. Analoga dimostrazione per il minimo.

Osservazione 1. La diseguaglianza stretta nella definizione non avrebbe senso poiché essa deve valere per tutti gli elementi dell’insieme, quindi anche per il massimo e minimo stessi.

Definizione 2.2. Sia A un sottinsieme di R. Esso si dice limitato superiormente (inferiormente) se ∃ M ∈ R (∃ m ∈ R) tale che a ≤ M (a ≥ m) ∀ a ∈ A.

Definizione 2.3. Sia A limitato superiormente (inferiormente). Ogni M ∈ R (m ∈ R) tale che a ≤ M (a ≥ m) ∀ a ∈ A si dice maggiorante (minorante) di A.

Definizione 2.4. Sia A limitato superiormente (inferiormente). Si definisce estremo superiore (inferiore) di A il minimo (massimo) dei maggioranti (minoranti) di A. Esso si indica con supA (inf A).

Proposizione 2.0.4. Sia A limitato superiormente. Allora l’insieme dei maggioranti ammette minimo.

Dimostrazione. M ∈ Magg(A) ↔ a ≤ M ∀ a ∈ A. A e Magg(A) verificano le ipotesi dell’assioma di Dedekind, quindi ∃ c ∈ R tale che a ≤ c ≤ M ∀ a ∈ A e ∀ M ∈ Magg(A). Dalla diseguaglianza si deduce che c é un maggiorante di A ed é il minimo dei maggioranti, perció é l’estremo superiore di A. L’unicitá dell’estremo superiore deriva dall’unicitá del minimo di un insieme.

La dimostrazione é analoga per l’estremo inferiore.

Definizione 2.5. Se A non é limitato superiormente (inferiormente) si pone supA = +∞ (inf A = -∞).

Caratterizzazione degli estremi superiore e inferiore

• SupA = +∞ ⇔ ∀ M ∈ R ∃ a ∈ A tc a > M.
• SupA = ξ ∈ R ⇔ a ≤ ξ ∀ a ∈ A e ∀ > 0 ∃ a ∈ A tc a > ξ - .

Dimostrazione. ξ é un maggiorante di A, quindi vale la prima condizione. Fissato > 0 ∃ a ∈ A tc a > ξ - , cioé non é maggiorante, ovvero che é la seconda condizione.

Viceversa se ξ verifica le due condizioni, si ottiene che ξ é un maggiorante di A ed é il minimo dei maggioranti poiché se, per assurdo, supA < ξ allora a ≤ supA ∀ a ∈ A e, ponendo = ξ - supA nella seconda condizione, si avrebbe che ∃ a ∈ A tale che a > ξ - = supA, cioé che a > supA, il che é assurdo.

• Inf A = -∞ ⇔ ∀ m ∈ R ∃ a ∈ A tc a < m.
• Inf A = η ∈ R ⇔ a ≥ η ∀ a ∈ A e ∀ > 0 ∃ a ∈ A tc a < η + .

Le due dimostrazioni sono analoghe alle due precedenti.

Osservazione 2. Se A ammette massimo (minimo), questo coincide con l’estremo superiore (inferiore).

Teorema 2.0.5. Sia A limitato superiormente. A ammette massimo se e solo se supA ∈ A e in tal caso supA = maxA.

Dimostrazione. Supponiamo che A ammetta massimo a_b. Allora a ≤ a_b ∀ a ∈ A e a_b > a_b - > 0 e, per la caratterizzazione, a_b = supA. Viceversa supponiamo che supA = γ ∈ A, quindi a ≤ γ ∀ a ∈ A e γ ∈ A, cioé γ = maxA.

Lo stesso teorema vale per A limitato inferiormente, il quale ammette minimo se e solo se inf A ∈ A.

Teorema 2.0.6. supN = +∞.

Dimostrazione. Per assurdo supN = ξ ∈ R. Si ha quindi che n ≤ ξ ∀ n ∈ N e ∀ > 0 ∃ n ∈ N tc n > ξ - . Scelto = 1, avremmo che ∃ n ∈ N tc n > ξ - 1 → n + 1 > ξ, ma ció é assurdo perché avrei un numero naturale (n + 1) maggiore dell’estremo superiore. Deve quindi essere illimitato superiormente N.

Sia A ⊆ B. Allora supA ≤ supB e inf A ≥ inf B.

Dato A ⊆ R, -A = {-a, a ∈ A} ⇒ supA = -inf(-A) e inf A = -sup(-A).

Da queste tre osservazioni e dal teorema precedente si puó dedurre che supZ = supQ = supR = +∞ e, dal fatto che inf(-N) = -supN = -∞, infZ = infQ = infR = -∞.

Teorema 2.0.7. Sia A ⊆ Z limitato superiormente (inferiormente). Allora A ammette massimo (minimo).

Dimostrazione. Sia ξ = supA ∈ R. Fissato = 1/2 ∃ a ∈ A tc a > ξ - 1/2. Supponiamo per assurdo che a = ξ, allora a < ξ. Prendendo = ξ - a, si ha che ∃ a ∈ A tc a > ξ - = a, a distano meno di 1/2, il che é assurdo. Deve quindi essere a = ξ e ξ ∈ A → a é massimo. Stessa dimostrazione per l’esistenza del minimo.

Corollario 2.0.8. Ogni sottinsieme di N ammette minimo.

In base al teorema precedente hanno senso le seguenti:

Definizione 2.6. Dato x ∈ R si dice parte intera di x il piú grande intero minore o uguale di x. [x] = max{m ∈ Z tc m ≤ x}.

Definizione 2.7. Dato x ∈ R si dice parte frazionaria (o mantissa) di x il numero {x} ∈ [0, 1) definito da {x} = x - [x].

Teorema 2.0.9 (Principio di Archimede). Siano a, b > 0, allora ∃ n ∈ N tc na > b.

Dimostrazione. Principio di Archimede ⇒ N illimitato superiormente. ∀ M ∈ R ∃ n ∈ N tc n > M, ottenuto ponendo a = 1 e b = M.

N illimitato superiormente ⇒ Principio di Archimede. Fissati a, b > 0, siccome N é illimitato superiormente ∃ n ∈ N tc n > b/a → na > b.

Densitá di Q e in R

Teorema 2.0.10. ∀ a, b ∈ R tc a < b ∃ q ∈ Q tc q ∈ (a, b).

Dimostrazione. Fissiamo q₀ ∈ Q tc q₀ < a, il quale esiste poiché Q é illimitato inferiormente, e sia n ∈ N tc n > 1/(b - a). Sia A = {m ∈ N tc q₀ + m/n ≤ a} = {0} perché m=0 é contenuto per ipotesi. L’insieme A é limitato superiormente poiché se m ∈ A ↔ q₀ + m/n ≤ a ↔ m ≤ (a - q₀)n e quindi (a - q₀)n é un maggiorante di A. Essendo l’insieme contenuto in N, ammette massimo m = maxA. Deve essere q₀ + (m+1)/n > a perché se cosı́ non fosse m+1 ∈ A, contro l’ipotesi che m fosse il massimo. q₀ + (m+1)/n ≤ a + (b - a) = b. Si é quindi trovato che q₀ + (m+1)/n ∈ Q e a < q₀ + (m+1)/n < b, cioé i numeri razionali sono densi nei numeri reali poiché tra due reali qualsiasi si trova sempre un numero razionale.

In modo analogo si dimostra che anche i numeri irrazionali sono densi nei reali R.

Radici n-esime aritmetiche

Teorema 2.0.11. ∀ y > 0 ∀ n ∈ N ∃! x > 0 tc xⁿ = y e x := ⁿ√y.

Dimostrazione. Unicitá. Siano x₁, x₂ > 0 tc x₁ⁿ = x₂ⁿ = y. Per assurdo x₁ = x₂. x₁ < x₂ ∨ x₁ > x₂. Se x₁ < x₂ x₂ = x₁ + (x₂ - x₁) → x₂ⁿ = [x₁ + (x₂ - x₁)]ⁿ = x₁ⁿ + x₁^n-1(x₂ - x₁) + ... + (x₂ - x₁)ⁿ > x₁ⁿ, assurdo.

Assurdo é anche supporre la diseguaglianza opposta, deve quindi essere x₁ = x₂.

Esistenza: sia A = {x ∈ R⁺ tc xⁿ < y} e dimostriamo che supA e supA = ⁿ√y.

L’insieme A é non vuoto e limitato superiormente: infatti se y < 1 A poiché yⁿ < y e 1 é un maggiorante poiché se x ≥ 1 → y > xⁿ > 1, assurdo per ipotesi; se invece y ≥ 1 A poiché 1 < y e y é un maggiorante poiché se x > y → xⁿ > yⁿ = y · y^n-1 ≥ y · 1 = y → xⁿ > y e x ∈ A. y > 0, A é non vuoto e limitato superiormente. Chiamiamo ξ l’estremo superiore e dimostriamo che ξⁿ = y. Sono possibili tre casi:

• ξⁿ < y. Provo che non puó essere, cioé che ∃ h > 0 tc (ξ + h)ⁿ < y e quindi ξ non é un maggiorante. (ξ + h)ⁿ = ξⁿ + ∑ ξ^n-kh^k ≤ ξⁿ + h ∑ ξ^n-k < y ↔ h < (y - ξⁿ)/n. Si puó prendere h = min{(y - ξⁿ)/n; 1/2} e (ξ + h)ⁿ < y, assurdo.
• ξⁿ > y. Provo che non puó essere, cioé che ∃ h₀ ∈ (0, ξ) tc (ξ - h₀)ⁿ > y e quindi ξ non é un maggiorante. Suppongo di aver trovato h₀ ∈ (0, ξ). Fissato h ∈ (0, h₀) si ha (ξ-h)ⁿ > (ξ-h₀)ⁿ > y → ξ-h ∈ A h ∈ (0, h₀). ξ non puó essere estremo superiore perché non rispetterebbe la sua caratterizzazione (tra ξ e ξ - h non ci sono elementi di A). Determino h₀. (ξ - h)ⁿ = ξⁿ + ∑ ξ^n-k(-h)^k. |ξⁿ - (ξ - h)ⁿ| ≤ ∑ |ξ^n-k(-h)^k| ≤ h ∑ ξ^n-k = hE. Ho quindi h < (ξⁿ - y)/E → (ξ - h)ⁿ ≥ ξⁿ - hE > y. Posso prendere h = min{ξ; (ξⁿ - y)/E} ∈ (0, ξ).
• Non essendo possibili i primi due casi, deve essere ξⁿ = y e quindi ξ é l’estremo superiore dell’insieme.

Corollario 2.0.12. Se n é pari e y > 0, l’equazione xⁿ = y ha due soluzioni distinte, una opposta dell’altra.

Dimostrazione. Se x₀ é la radice positiva dell’equazione, allora (-x₀)ⁿ = x₀ⁿ = y e quindi -x₀ é radice. La radice positiva é unica per il teorema precedente. Se x₁ é un’altra radice negativa, lo sarebbe anche -x₁ = x₀, che é assurdo per l’unicitá.

Corollario 2.0.13. Se n é pari e y < 0, l’equazione xⁿ = y non ha soluzioni reali.

Dimostrazione. n = 2m, m ∈ N ∀ x ∈ R xⁿ = (x^m)² ≥ 0 quindi non puó mai essere uguale ad un numero negativo.

Corollario 2.0.14. Se y = 0, ∀ n ∈ N l’equazione xⁿ = 0 ha come unica soluzione x = 0.

Dimostrazione. Per induzione. x = 0 ha come soluzione banale x = 0. Suppongo che xⁿ abbia solo soluzione x = 0. xⁿ⁺¹ = xⁿ · x e, per l’annullamento del prodotto, xⁿ = 0 → x = 0 per hp induttiva, o x = 0. L’unica soluzione é quindi quella nulla.