Analisi matematica 1 - Appunti

Quesiti di matematica

Probabilità

(1) In una confezione di 10 cioccolatini ve ne sono 7 ripieni; scegliendo 4 cioccolatini, qual è la probabilità che tutti siano ripieni?

• (A) 1/6.
• (B) 1/420.
• (C) 1/210.
• (D) 1/3.

Casi favorevoli = ₇C₄
Casi possibili = ₁₀C₄
^{P = ( ₇C₄ ) / ( ₁₀C₄ ) = 7! / 3! 4!} = ¹/₅ ²/₈ = 1/6

Secondo modo
P = ⁷/₁₀ * ⁶/₉ * ⁵/₈ * ⁴/₇ = 1/6

Campo di esistenza

(2) Sia A il campo di esistenza della funzione f(x) = ln(3 - √(x² - 4x + 4)). Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• (A) A =] -1, 5[.
• (B) A =] -5, -1[.
• (C) A =] -5, 1[.
• (D) Nessuna delle altre risposte è vera.

(1) (x² - 4x + 4) > 0
(x - 2)² Ok manca radici
3 - √(x - 2)² > 0
3 > √(x - 2)² = (x - 2)

Correzione esame AN 1 10 gennaio 2012

Probabilità

(1) In una confezione di 10 cioccolatini ve ne sono 7 ripieni; scegliendo 4 cioccolatini, quale è la probabilità che tutti siano ripieni?

• (A) 1/6.
• (B) 1/420.
• (C) 1/210.
• (D) 1/3.

Casi favorevoli = (7 sopra 4)
Casi possibili = (10 sopra 4)
P = (7 sopra 4) / (10 sopra 4) = 7/10 * 6/9 * 5/8 * 4/7 = 1/6
(secondo modo)
P = 7/10 * 6/9 * 5/8 * 4/7 = 1/6

Campo di esistenza

(2) Sia A il campo di esistenza della funzione f(x) = ln(3 - √x² - 4x + 4). Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• (A) A =] -1, 5[.
• (B) A =] -5, -1[.
• (C) A =] -5, 1[.
• (D) Nessuna delle altre risposte è vera.

x² - 4x + 4 > 0
3 - √(x - 2) > 0
(1) - 3x _[ -2 ^] (=>) {

Serie

(3) Data la serie ∑ a_n, dove a_n = ^{3α - 2} / _{4 - α}, sia A = {α | ∑ a_n converge}. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• (A) Nessuna delle altre risposte è vera.
• (B) A _⊂ ] -1, 2[.
• (C) A è illimitato.
• (D) A _⊂ ] -2, 1[.

-1 ^{≤ 3α - 2} / _{α - α}
^{3α - 2 - 4 + α} / _{4 - α}
^{3α - 2 + 4 - α} / _{4 - α}
{ ^{4α - 6} / _{4 - α}
{ ^{2α + 2} / _{4 - α} > 0
x _∈ ]-∞, ³/₂ [ ∪ ]4, +∞ [ ∩ ] -1, 4 [.
x _∈ ] -1, ³/₂ [

Derivabilità

(4) Sia data la funzione f(x) = ^⎧ e^2x−6+x,   se x > 3 _⎩ ^(2x)−2ax+b,   se x ≤ 3. Per quali valori dei parametri a, b ∈ ℝ la funzione f(x) è derivabile su tutto ℝ?

• (A) A qualsiasi, b = 7a − 6.
• (B) A = 5, b = −1.
• (C) Nessuna delle altre risposte è vera.
• (D) A = 2, b = 8.

Numeri complessi

(5) Sia w = ^{⎧(z+i) −_(z)2⎫}. Se z = 1 − 2i, quale tra le seguenti risposte è vera?

• (A) ℜw > 3ℑw.
• (B) Nessuna delle altre risposte è vera.
• (C) ℜw < 0.
• (D) 3ℑw = 0.

Integrale improprio

(6) Si consideri l'integrale improprio I = ∫₀^∞ (√x² + arctan x) / (x^α+1(3x + 1)^5/2) dx. Quale tra le seguenti risposte è vera?

• (A) Nessuna delle altre risposte è vera.
• (B) I converge se α
• (C) I converge se α
• (D) I converge se α > 0.

f(x) = √x + arctg x / x^α+1 (1 + o(1))^5/2 ~ √x / x^α+1/2
∫₀¹ dx / x^α+1/2 converge se α

Insiemi illimitati

(7) Sia A ⊂ ℝ un insieme illimitato superiormente. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• (A) Esiste x ∈ ℝ tale che a
• (B) Esiste x ∈ ℝ tale che x
• (C) Per ogni successione {x_n}_n di punti di A si ha x_n → +∞.
• (D) Per ogni n ∈ ℕ esiste x ∈ A tale che x > n.

Equazione nei numeri complessi

1) Determinate le soluzioni z ∈ ℂ dell'equazione (z + i) / (z − i))² = 16.

Risposta:
z + i = z − i dunque, posso
y = z + i (l'equazione diventa)
(y/y)² = 16
Ma questo è impossibile poiché |y/y| = |y/y| = 1 ≠ 6 (=16)

Altrimenti
C.E. z ≠ −i ovvero |z ≠ −i|
z = a + ib^{[z + i (b+1)]}₂^{[z - i (b+1)]}₂ = 16
a² - (b+1)² + 2ia(b+1) = 16a² - 16(b+1)² - 32ia(b+1)
{a² - (b+1)² = 16a² - 16(b+1)²
2a(b+1) = 32a(b+1)
{15a² = -15(b+1)²
30a(b+1) = 0
-15(b+1) = 0 { b = -1
{ a = 0
a = 0
15a² = 0 { a = 0
b + 1 = 0 { b = -1

L'unico valore è z = 0 - i = -i
Ma questo non è accettabile ⇒ Z soluz.

Studio del grafico della funzione

2) Studiare il grafico della funzione f(x) = (2x + 4)e^1/x, determinando in particolare campo di esistenza, limiti agli estremi del campo di esistenza.

Risposta:
C.E., x≠0
f > 0, x > -2
f < 0, x < -2
lim_x→+∞ (2x+4) e^1/x = +∞
lim_x→0⁺ (2x+4) e^1/x = +∞
lim_x→-∞ f(x) = -∞
lim_x→0^- (2x+4) e^1/x = 0

f' = 2 e^1/x - (2x+4)·1/x² e^1/x = 2·e^1/x [ x² - x -2 ] / x²
f' = 0 per x = 1 o x = 2
{ > 0, x < -1
f' { < 0, -1 < x < 0
f { < 0, 0 < x < 2
{ > 0, 2 < x
(-1, 2/e) p.to di max
(2, 8/e) p.to di min

2 e^1/x x² [ x² - x -2 ] / x² = 2 e^1/x ( 1 - 1/x - 2/x²) = f'
f'' = 2 e^1/x·(-1/x²)(1 - 1/x - 2/x²) + 2e^1/x(1/x² + 4/x³)
= 2 e^x/4 ₁/_x⁴ (-x² + x + 2 + x² + 4x) - 2 e^x/4 / x⁴ (5x + 2)
f''(x)=0 → x=-2/5
f''(x) < 0 x=_...
f''(x) > 0 x=^...
e quindi c'è dove f è conv∙_convessa
x=-1 è pos.di max relativo f(-1)=e/e
x=2 min relativo f(2)=8√e
y=8x+4o􏀵ontoso obliquo
f(x) > k
k < 0 f < k 1 ord.
e/e < x < β
f < k 2 ord.
k=√e 1 ord.
f > e < k
f(x) < k
f < k 2 ord.

Calcolo del limite

3) Calcolare il limite ^{ex2 - 1}_x² lim_x→0⁺ ─────────────── sin(x²) - x²cosx

Calcolare poi, al variare dell’esponente α > 0, il limite ^{exα - 1}_x^α lim_x→0⁺ ──────────────── sin(x²) - x²cosx

Risposta:
e^x2 = 1 + x² + ^x4/₂ + ^x6/₆ + o(x⁵)
^ch (x²) = x² - ^(x2)3/₆ + ^(x2)5/_5! + o(x¹⁰)
x²cos x = x^{2(1 - x2/₂ + x4/_4!)}

e^x2 - 1 ───────────── ^{(1 - x2)} = ^{(1 - x2) ex2 - 1} / ^{ch x2cos x} = ¹/ ^{(1 - x2)} = ¹/_{(1 - x²)} · (1 + x² + ^x4/₂ + o(x⁴)) - 1 ───────────── = ^{1 + x2 + x4/₂ + o(x4)} - x²(1 + ^x2/₂ + ^x4/_4! + o(x⁴)) = ^x4/₂ + o(x⁴) lim^x→0+ - 1

b)e^x2-1________________________ + ⁴1 - ² / 2e^-x2-1 x²-/_~o(⁴)x⁴________________________ + ⁴_~(⁴)1 - ²________________________ + ⁴1 - ²________________________ + ⁴1 - ²________________________o(⁴) - ⁴x⁴-x(x⁴)1 - ²o(⁴)1 - ²________________________1x ()=1- x⁴________________________1 - ² → 0^-→ 01 - ²- x⁴________________________- → 0^-→ 1

Primitive e convergenza della serie

4) Trovate tutte le primitive della funzione f(x) = ¹/_2√x (-1 + ln√x).

Posto a_n = ∫[¹/_n^2][¹/_n] f(x) dx, studiare la convergenza della serie ∑_n a_n al variare di α > 0.

Risposta:
= ∫ [- ¹/_2√x + ¹/_2√x . ln√x] dx = ∫ - dx/_2√x + ∫ ln√x dx/_2√x
= - √x¹/₁ + ∫ ¹/_2√x . ln√x dx
= - √x + √x . ln√x - ∫ √x/_u' . ¹/_√x ¹/_2√x dx
= -2√x + √x ln√x + C

C ⊂ ℝ
Qm = ∫1/m2α1/mα f(x) dx = [ x√x + √x ln√x ]α;x = 1/m2αα;x = 1/mα ≅ -2/mα + 1/mα ln(1/mα) + 2/m2 - 1/m2 ln(1/m2) = -2/mα - α log m/mα + 2/m2 + log m/m2

Noting 1/m^α = o(log m/m^α), 1/m² = o(log m/m²).
And so
α < 2 ⇒ log m/m² = o(log m/m^α)
⇒ Q_m ≁ -α log m/m^α, m → ∞
And therefore ∑_m Q_m behaves like ∑_m -α log m/m^α
And this latter converges if α > 1

α > 2 ⇒ log m/m^α = o(log m/m²)
⇒ Q_m ≁ log m/m²
Thus ∑_m Q_m behaves like ∑_m log m/m²
E quest'ultima converge

Teorema

∑_n log_m/m^α converge ∀α > 1
diverge α = 1
dimα < 1 􏀙 m^α ≤ m 􏀙 1/m^α ≥ 1/m 􏀙log m /m^α ≥ 1/m ma ∑_n 1/m diverge
⇒ ∑_n log_m/m^α diverge ∀α ≤ 1

α > 1 ⇒ α-1 > 0 ⇒ α-1/2 > 0
⇒ log_m/m^α = log_m/m^α-1-α-1/2 == log_m/m^α/2 = (1/m)^α/2 log_m
= (1/m)^α/2 log 1/m 􏀖 0
m 􏀖 ∞
(Ricordax log x 􏀖 ∞ ∀α > 0 !)