Teoria per l'esame di Analisi matematica 1

Analisi

Funzioni (generali)

Sia A una relazione da X a Y, essa si dice funzione da X a Y se: X = dom(A) ∀x ∈ X ∃! y ∈ Y / A(x,y) è vera.

Immagine: f(X) = {y ∈ Y / ∃x ∈ X, y = f(x)}

Se f(X) = Y allora f: X → Y è suriettiva, cioè ogni elemento di Y è il corrispondente tramite f di almeno un elemento di X.

Diciamo che f: X → Y è iniettiva su X se ∀x,x¹ ∈ X, x ≠ x¹, si ha f(x) ≠ f(x¹).

Se f è iniettiva su X e suriettiva su Y si dice biettiva.

Funzione composta: siano f: X → Y, g: Y → Z, la funzione x ∈ X → g(f(x)) ∈ Z si dice funzione composta.

N.B.: La composizione di funzione non è commutativa.

Funzione inversa: se f: X → Y è biettiva, cioè ∀y ∈ Y ∃! x ∈ X / y = f(x), possiamo definire la funzione inversa g: Y → X con g(y) = x ∈ X ⇔ y = f(x).

Si dice funzione inversa di f, la funzione f^-1: Y → X, unica funzione a soddisfare le seguenti proprietà: ∀x ∈ X: f^-1(f(x)) = x, ∀y ∈ Y: f(f^-1(y)) = y.

Funzioni (limitate)

Funzioni (generali)

Sia A una relazione da X a Y, essa si dice funzione da X a Y se: X = dom(A) ∀x ∈ X ∃! y ∈ Y / A(x,y) è vera.

Immagine: f(X) = { y ∈ Y / ∃x ∈ X, y = f(x) }

Se f(X) = Y allora f: X → Y è suriettiva, cioè ogni elemento di Y è il corrispondente tramite f di almeno un elemento di X.

Diciamo che f: X → Y è iniettiva su X se ∀x,x^' ∈ X, x ≠ x^', si ha f(x) ≠ f(x^').

Se f è iniettiva su X e suriettiva su Y si dice biiettiva.

Funzione composta: siano f: X → Y, g: Y → Z, la funzione x ∈ X → g(f(x)) ∈ Z si dice funzione composta.

N.B.: La composizione di funzioni non è commutativa.

Funzione inversa: se f: X → Y è biiettiva, cioè ∀y ∈ Y ∃! x ∈ X / y = f(x), possiamo definire la funzione inversa g: Y → X con g(y) = x ∈ X ↔ y = f(x).

Si dice funzione inversa di f, la funzione f^-1: Y → X, unica funzione a soddisfare le seguenti proprietà: ∀x ∈ X: f^-1(f(x)) = x, ∀y ∈ Y: f(f^-1(y)) = y.

Funzioni (limitate)

Funzione inferiormente e superiormente limitata

Sia f: A → ℝ, essa è superiormente (inferiormente) limitata se ∃m ∈ ℝ t.c. f(x) < m (f(x) > m) ∀x ∈ A.

Dunque f: A → ℝ è limitata su A se e solo se ∃m > 0 t.c. |f(x)| < m ∀x ∈ A.

Massimo e minimo

f: A → ℝ ha massimo (minimo) su A se ∃y ∈ A t.c. f(x) < (≥) f(y) ∀x ∈ A.

f(y) = max_{x ∈ A} f(x) (min_{x ∈ A} f(x))

Estremo inferiore e superiore

Data f: A → ℝ, il suo estremo superiore (inferiore) si scrive: M = sup_{x ∈ A} f(x) (m = inf_{x ∈ A} f(x)).

Se M (m) ∈ ℝ si ha la seguente caratterizzazione: ∀ε > 0, ∀x ∈ A: f(x) ≤ M (≥ m).

∃y ∈ A: f(y) > M - ε (< m + ε)

Funzioni monotone

f: A → ℝ con A ⊂ ℝ è monotona crescente (strettamente crescente) se ∀x, y ∈ A x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) (f(x) < f(y)).

f: A → ℝ con A ⊂ ℝ è monotona decrescente (strettamente decrescente) se ∀x, y ∈ A x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) (f(x) > f(y)).

Proprietà delle funzioni monotone

f: A → ℝ strettamente monotona. Allora f è iniettiva, invertibile e f^-1: f(A) → A è strettamente monotona.

A, B, C ⊂ ℝ e f: A → B e g: B → C funzioni monotone. Allora g o f: A → C è monotona.

Se entrambe sono crescenti o decrescenti g o f è crescente; se f è crescente e g decrescente o viceversa allora g o f è decrescente.

Limiti

Intorno

L'intervallo aperto I = ]x₁, x₂[ ⊂ ℝ è un intorno di a ∈ ℝ se a ∈ I, cioè se x₁ < a < x₂.

In particolare ∀ ε > 0, ]a-ε, a+ε[ è un intorno di a.

Punto di accumulazione

Dato un insieme A ⊂ ℝ e un elemento a ∈ ℝ, a si dice punto di accumulazione per A se ∀ I di a si ha: I ∩ (A \ {a}) ≠ Ø.

N.B.: I deve contenere punti di A distinti da a.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Un insieme A ⊂ ℝ infinito e limitato ha almeno un punto di accumulazione.