Analisi matematica 1

Cianalisi esame e parziale

Simboli da ricordare

Simboli da ricordare principali Perk ogni E appartiene non 7 appartiene tale che 7 E minore E esiste uguale I è unico O esiste ed Navale maggiore a C alta correvo strettamente a E Bera Carenno 1,8 corriere strettamente Gamma S D2 Corriere Dezza E Epsilon implica Ese 6 Solo E se Siria E Rito P Diverso.

Insiemi

Insiemi Come insieme un rappresentare di di dotati una caratteristiche semplice comuni frutto elencazione oppure Rappresentazione estensiva elementi degli dell'insieme A 0,123 aggiunge afxlxene.es Rappresentazione con Eulero di diagrammi ven e235 4.

Tra insiemi operazioni A 0B1 BCA3 vuol dire che la linea BA con coincidere potrebbe 0 insieme vuoto che fare operazioni Mersezione Unione carcere mare caresiano prodotto.

Si 1 ed l'insieme B di due definisce intersezione insiemi A B A elementi comuni e degli e formato BA ambi Ae EBEÈ B 4400,143,444 ARBE.

Unione 2 Si l'insieme che almeno addi definisce dei due B che insiemi A elementi unione uno insiemi e degli appartengono dati A B AUB ex Ao BE EXEs B443,5 43,46 AUB 443,9363 carcere.

Mare l'insieme che Si B all'insieme B elementi di stanno in X definisce degli in non aspetto complementare HB BE BEX exa TITTIE Prendiamo tutti quei due trare alii considerazione numeri in Il tutti dell'asse reale gli saranno eccetto 2,5 elementi complementare TTT i ATEO 2 Ge4.

Prodoto carte Dati distinti due il B cartesiano tutte insiemi da A insieme nuovo non costituito necessariamente si definisce e prodotto ble Bfa Eb aeacon ecoppie Axe aerebeb Lab.

Insiemi numerici

Insiemi numerici N Insieme dei L'insieme è naturali così denominato numeri utilizzato viene spontaneamente perché associare per di il astratto agli concetto numero oggetti N 09143,4.

L'addizione la ben N è interne moltiplicazione sono risultato e il definite sempre un in operazioni numero la Non per la è naturale stessa cosa sottrazione la insieme z l'insieme tra dei sottrazione interi naturali introduce numeri numeri si permettere per o 3Z 2 NCE31,0 12te 10.

L'addizione la la ben è sottrazione risultato il sono z interne e indefinite moltiplicazione operazioni è La è ben divisione intero relativo numero non un si può non sempre definita sempre eseguire.

Per dare a insieme divisione dei da con denominatore diversa una a si qualsiasi zero introduce insieme risposta razionali numeri I neoa mine Nazca Tale insieme naturali comprende Merirelativi relativi finiti decimali relativi semplici Periodici infiniti decimali infiniti periodici misti relativi decimali.

L'addizione la la sottrazione ben divisione a e la il risultato sono moltiplicazione indefinite operazioni è razionale un numero sempre Non radice una estrarre sempre per possiamo possiamo esempio F TE di si ma Per.

Insieme numeri irrazionali l'insieme dei dare radicale si radicando introduce una qualsiasi con risposta positivo a numeri irrazionali l'insieme R insieme dell dei è razionali e numeri irrazionali costituito unione numeri con i R QUZ irrazionali n irrazionali.

L'addizione la la la la sottrazione radicando divisione ennesima radice moltiplicazione con e positivo Il è risultato reale IR sono un numero interne operazioni in sempre ben L'estrazione di cioè radice si è IR definita si non non ancora non in può eseguire sempre tutte le risolvere equazioni possono.

La radice di IR pari numero in sì un può non negativo eseguire V7Faxke ha R soluzioni nono in l'unità i l'insieme allora insieme c si dei e definisce si introduce numeri immaginaria complessi I zatib numeri nella forma essere algebrica complessi espressi possono eb ia unità numeri reali e immaginaria il E Petee ti.

Un nulla è della il numero reale un numero parte con immaginaria complesso puro coefficiente ibi bioaat IRCC RZ NEtero ha C soluzioni in i2 in soluzioni Aco c irrazionali di Sono le di le b R tra addizioni reali G con moltiplicando definite e e numeri Ca proprietà seguenti operazioni coppie maniera proprietà distributiva corrosiva proprietà associativa Gabeca baabbia abes btc ataba a c.

Esistenza degli elementi esistenza degli neutri inversi 70 fa7ER erIERaaaa IRZà via a ato Ea ea a aKaer fato agger at.

È la di di le tra reali minore con relazione definita Eo g numeri proprietà coppie Dicoronia di ha reali ab numeri si ogni coppia per acb ab oppure proprietà asimmetrica ha bacb ab si allora se a contemporaneamente e ab anche allora se atceb.ec vale oh cabosa se allora e osatodi assioma completezza DEBGb GEASIR vuoti la B sono A non con proprietà Allora aacsb Deb reale esiste almeno siano EAcun a numero qualunque di.

Cenni di topologia

Cenni di topologia di Un R sotto insiemi è di tra due detti reali intervallo intervalli valori insieme numeri un estremi dell'intervallo compresi Dati acbacb due reali numeri si definisce E b ab Inervale ER chiuso a baib inervano aperto ER al Jatt balaaib che Gil è b anche destra dire chiuso si a sinistra può a ee chiuso viceversa e me aperto aperto mefer per Eh anch abab bb a8 Giuso.

Intervalco illimitato superiormente per b bbito e X intervallo illimitato aperto superiormente PER bbio Interviene intervallo causo illimitato feriva Era 0 a intervallo illimitato interamente aperto per Eoal o ac intervallo illimitato fer Goito ioos Rania.

E intorno dicendo Xo Ifo des8 SH Ssoera cioè toes sinistro intorno di xo Intorno destro di Xo cioè cioè ER sos GEIR aops scavo xocxaxots ssa o l'intorno di dei nel l'insieme che è un stanno punti punto piano all interno di 8 della circonferenza raggio y teatdPlo Paaka syo affinché stiayo yoya dentro dintorno del un intervallo.

Intorno tipo ai co qualunque fa ferina ferisce Ew cioè no è a ao Un 16,2 lo che I intervallo ACIR limitato dice contiene si se 1 1KEIR è A minerarie se maggiorame per D K è KxEA relazione stabilire con una confrontabile ovvero 4EK2 KEA AKI del tipo fu b nella b Ecob intervalli di b semiretta stanno maggiorenti b to I bb ed tutti da è il di tutti risulta che i numeri detto più piccolo sono sui maggiorenti quei maggiorenti sua.

Estremo superiore Se b di all'intervallo della allora intervallo di estremo non si massimo ma appartiene parla Si di il supa dei minimo indica A si A estremo di se esiste definisce con superiore maggiorenti Si di infa dei indica il si di estremo minorati A massimo A esiste inferiore con se definisce e SPA unici INEA esistono sono e se Se EA dia supa massimo me supra se Ea di minimo me ainga inga limitato A è se se superiormente limitato e inferiormente I Kx 7eIR e HEIRE KEA AHEX di Ek A minorante maggiorana A è limitato limitato che è sia se superiormente inferiormente.

Intervalli sotto dell'asse reale Consideriamo sottoinsiemi perché reale un prendo numero e associo µ muro che Rea sulla HA un Quell'ascissa corrispondenza e di retta punto biunivoca era insieme delle un numero una dei A ad A interni punti insieme della retta considerino sottoinsiemi che insiemi sono tale Consideriamo ad che A EA cui A dice insieme interno se six un punto xo e per un fa in AII 8 icon oo cioè interno vi sarà è se del un interno completamente nell'insieme punto A interno quindi riesco trovare una contenuto completamente d bde ad A dei insieme A interni punti.

Nel dell metà tuto nell metri intervallo sarà Lab caso l'intorno degli estremi contenuto intervallo non on e altri Tutti interni gli si sono di da Xo dice AA si al interno è A se complementare esterno UEA 0,0 tutto ovvero tranne ewc1i EDo 1 gli Per E all estremi intervallo interni esterni mane1 non ne però sono x ero questi me appartengono anan aaaaan.

Piano nel ay È I di detti l'insieme delimitanti a punti punti frontiera sono il contorno ovvero osservazioni ÀX Ese Ea À E Esterno seo A 4AEA per V1E da se Xo io Xo e in caso essere frontiera ogni può oppure.

Prendiamo l'intervallo 8,1i i a definizione tutti i dice punti interni insieme aperto a suoi insieme si se un punti sono aperto TunKea cioè se interno AA punto In chiuso è E caso non ma questo aperto e di A definizione è insieme insieme chiuso un il è se A in complementare aperto i 1 ATEO 011 00 o 6.

L'Unione è Di aperti Due insiemi un insieme utiuso E Nel di 6,1 intervallo caso un è 0 non interni tutti suoi i non aperto punti sono perché Gli che unici che Rep chiusi insiemi sia sono sono aperti di.

Dato di in fa AKIa esiste almeno punto si sun se no punto un iii un punto accumulazione per definisce È A di di da e all'intervallo diverso accumulazione intorno cioè di 7 per Xo Xo elementi infiniti qualunque ogni in A è di A da e dall'intervallo 140,5 trovo diversi appartiene poiche accumulazione infiniti punto punto un che intervallo 0 all appartengono anche all'interello stessa non cosa se appartiene.

Tutti i il di loro contiene dell'intervallo interni poiché interno punti accumulazione punti sono punti a dire Dalle le molti vuol che cui parole vicino in stessa accumulano punti Accumulazione un punto funzione ed è esiste calcolabile E Atto e di dei è l'insieme derivato DA A punti A per accumulazione Frontiera A Aà è chiuso ÉEA 6,3 allora da HEA se Xo E Xo aversi E può O A3 AÀ AYDASE XoE EXoE dice allora se Dala Xo si isolato xo A0 dice discreto dai a si se 1,213,4.

Teorema di Weierstrass

Teorema di Weierstrass CIR di Un limitato chiuso Ogni A limitato irammette almeno un e accumulazione e insieme infinito in punto possiede minimo massimo assoluto e.

Funzioni di una variabile

Funzioni una di variabile due Dati R ad ogni è che Bina B di una E insiemi A di elemento A relazione o una legge funzione e ad di associa solo elemento uno B un y A Se f indichiamo tale con funzione scriveremo Fefa B oppure ce che intendendo ad elemento EA ogni x corrisponde B tramite fla FG l'elemento funzione Bey A dominio f insieme di definizione di o Be f codominio di F.

G4 di immagine FGfa tale è l'insieme f di tale che Ix e che tramite Ba L'immagine a e degli y di immagine contro Y La FGf EBEdame l'insieme è di B f B attraverso controimmagine di f è f l'insieme forma di il Dominio dominio a di elemento degli un sottoinsieme Esso cui Ea bassocia a un dunque Comf F Conte.

Scriviamo A B infatti Se dome f che è fA diremo sua X y semplicemente e scriveremo più definita è l'insieme le codominio in cui la tale della è funzione Quando coincide contenute funzione sono insieme con quello immagini suriettiva delle immagini.

La da f dei il di del fa si di visualizza ossia l'insieme x dipendenza coordinate grafico efficacemente piano punti disegnando y e FGM di f che La nel ad ogni che variabile fa con x dominio è e d una fondamentale funzione proprietà Il di che del sola f è è di ER una grafico curva una insieme sottoinsieme generalmente un una e corrisponda punti piano y del BAx da G fa fate prodotto cartesiano costituito Ea B con e es Rf R FGf yxex A Bf1o FGyon.

Una funzione fa almeno che fab punti del Tutti tale si dice i esiste suriettiva a suriettiva un e se codey funzione e per ogni y minio di dominio almeno del elemento sono immagini un FaHyeb Exb fissato EA se e yyf.

Funzione Una iniettiva A A distinti hanno immagini B dice iniettiva si elementi funzione è se distinte ogni immagine associata Non sola elementi gli nella contro una per forza tutti coinvolti sono immagine relazione FEN FG.

Se Fa de dice f si B biunivoca Una che biettiva A suriettiva sia e iniettiva Betina Funzione o funzione contemporaneamente F le controimmagine ad y associa alleruzione immagine associa inversa R Rf I in hanno caso mica sarebbe negativi non suriettiva Fazi questo immagine quindi IIaa petto scrivere Igese I HERFel è fer all'asse simmetrico per rispetto pori se y FCE del di FG Her è simmetrica Schispori sistema all'origine riferimento se rispetto per Xy4 a ha.

Una KEATso flat dice f di fasiateasi A periodica funzione B ee periodo se Sono le trigonometriche periodiche funzioni Sinty Massimo EeIR 1 brivino EHI 7 27 limitata inferiorreere Funzione Ed superiormente Data Fla BA funzione Retrò ANM retta la MeIR limitata f f di il sotto 7 si a dice fa orizzontale EM grafico yen Keasi se superiormente f limitato dice Isi fameir la inferiormente Ym retta orizzontale il Kea di fam se sta sopra grafico f è limi.