Analisi matematica 1

Nozioni preliminari

Definizione di massimo e minimo

Sia A ⊆ R, si dice che A ha elemento massimo se ∃ x̄∈A t.c. x ≤ x̄ ∀x∈A. (A ha massimo se esiste un elemento che è più grande di tutti quelli altri)

Sia A ⊆ R, si dice che A ha elemento minimo se ∃ x̄∈A t.c. x ≥ x̄ ∀x∈A. (A ha minimo se esiste un elemento che è più piccolo di tutti quelli altri)

Sottoinsiemi superiormente e inferiormente limitati e illimitati

Un insieme A ⊆ R si dice superiormente limitato se ∃ M∈R t.c. M ≥ x ∀x∈A. M si dice maggiorante di A. A si dice superiormente illimitato se non è superiormente limitato.

Un insieme A ⊆ R si dice inferiormente limitato se ∃ m∈R t.c. m ≤ x ∀x∈A. m si dice minorante di A. A si dice inferiormente illimitato se non è inferiormente limitato.

Definizione di estremo superiore e inferiore per sottoinsiemi di numeri reali

Un sottoinsieme A ⊆ R superiormente limitato si pone sup A = +∞ se A è superiormente limitato e se ∃ M∈R | M è un maggiorante di A, allora l'insieme A ammette elemento minimo m quindi si pone m = estremo superiore di A quando l'estremo superiore di un insieme superiormente limitato è il più piccolo dei suoi maggioranti.

Se A sottoinsieme A ⊆ R inferiormente limitato si pone inf A = -∞ se A è inferiormente limitato e se ∃ m∈R | m è un minorante di A, allora l'insieme A ammette elemento massimo m quindi si pone m = estremo inferiore di A quando il parte inferiore di un insieme inferiormente limitato è il più grande dei suoi minoranti.

Nozione di funzione

Siano A e B insiemi qualunque, una funzione f : A→B è una corrispondenza che associa a ciascun elemento a∈A uno e un solo elemento di B, indicato con f(a). A è il dominio di f; B è il codominio di f.

Dominio, codominio, immagine di una funzione

Siano A e B insiemi della funzione f : A→B, si dice dominio l'insieme su cui è definita la funzione, ossia l'insieme di partenza, e si dice codominio su cui convertono le immagini di f; ossia l'insieme di arrivo. Se f : A→B è una funzione, si dice immagine di f, l'insieme dei valori che assume: Img f = {b∈B|∃a∈A, b=f(a)}⊆B e l'insieme è contenuto nel codominio ma è detto sua immagine.

Funzione suriettiva, iniettiva, biunivoca

Se una funzione con la propria immagine esaurisce tutto il codominio cioè Img f = B allora si dice f suriettiva. Una funzione si dice propria immagine esaurisce tutto e in e solo se esiste un elemento primo associato a ciascun elemento immagine. Esistono associazioni diversi elementi altri con corrispondenza univoca, cioè A→B si dice una corrispondenza biunivoca se iniettiva e suriettiva.

Valore assoluto

|x| = x se x ≥ 0

|x| = -x se x < 0