Analisi matematica 1

Indice

• 1 Introduzione 5
• 1.1 Teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.2 Sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.3 Campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 1.4 Estremo superiore, inferiore, massimo e minimo . . . . . . . . . . . 13
• 1.5 Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 1.6 Teoria della cardinalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 1.7 Principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 1.8 Radicali, potenze e logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 1.8.1 Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 1.8.2 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 1.8.3 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 1.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 2 Numeri complessi 23
• 2.1 Campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 2.2 Forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 2.3 Esponenziale e logaritmo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• 3 Successioni 39
• 3.1 Successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 3.2 Teoremi per il calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 3.3 Stime asintotiche e limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 3.4 Successioni di complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 3.5 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 4 Serie 61
• 4.1 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 4.2 Serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 4.3 Serie di numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
• 4.4 Serie a segno variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
• 4.5 Complementi sulle serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
• 4.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

12 Indice

• 5 Funzioni 83
• 5.1 Funzioni reali di variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 5.2 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 5.2.1 Funzioni potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 5.2.2 Funzioni polinomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
• 5.2.3 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
• 5.2.4 Funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• 5.2.5 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• 5.2.6 Funzioni parte intera e mantissa . . . . . . . . . . . . . . . . 93
• 5.2.7 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
• 5.3 Operazioni sui grafici di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
• 5.4 Funzione composta e funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 5.5 Funzioni elementari inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 5.5.1 Funzioni radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 5.5.2 Funzioni logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 5.5.3 Funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . 105
• 5.5.4 Funzioni iperboliche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
• 5.6 Limiti di funzioni e continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
• 5.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
• 6 Intervalli e intorni in R 125
• 7 Calcolo differenziale 131
• 7.1 Derivata prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
• 7.2 Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale . . . . . . . . . . 135
• 7.3 Altre proprietà delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
• 7.4 Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
• 7.5 Derivata seconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
• 7.6 Studio del grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
• 7.7 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
• 7.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
• 8 Calcolo integrale 179
• 8.1 Gli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
• 8.2 Altre applicazioni degli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
• 8.3 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
• 8.4 Funzioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
• 8.5 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
• 8.6 Integrale di funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
• 8.6.1 m < n, n = 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
• 8.6.2 m < n, n = 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
• 8.6.3 m < n, n > 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
• ≥8.6.4 m n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
• 8.7 Integrale di funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
• 8.8 Integrale di funzioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
• n /m n /m 8.9 Integrale di una funzione razionale di x, x , x ,... . . . . . . 209
• 1 1 2 2
• 8.10 Complementi sugli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Indice 3

• 8.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
• 9 Equazioni differenziali 215
• 9.1 Modelli differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
• 9.2 Equazioni del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
• ◦9.2.1 E.D.O. a variabili separabili del 1 ordine . . . . . . . . . . . 217
• ◦9.2.2 E.D.O. lineari del 1 ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
• 9.2.3 Teoremi di esistenza ed unicità . . . . . . . . . . . . . . . . 227
• 9.2.4 Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . 231
• 9.3 Equazioni del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
• ◦9.3.1 E.D.O. lineari del 2 ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
• 9.4 Equazioni lineari di ordine n a coefficienti costanti . . . . . . . . . . 246
• 9.5 Cenni ad altri metodi risolutivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
• 9.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
• 10 Funzioni reali di più variabili reali 253
• 10.1 Funzioni di più variabili reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
• 10.2 Limiti e continuità per funzioni di più variabili . . . . . . . . . . . . . 255
• n10.3 Proprietà topologiche di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260R
• 10.4 Calcolo differenziale in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
• 10.5 Derivate direzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
• 10.6 Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
• 10.7 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
• 10.8 Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
• 10.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
• 11 Funzioni di più variabili a valori vettoriali 295
• 11.1 Funzioni di più variabili a valori vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . 295
• 11.2 Limiti, continuità e differenziabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
• 11.3 Superfici regolari in forma parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . 297
• 11.4 Trasformazioni di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
• 11.5 Trasformazioni di coordinate e invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . 299
• 12 Calcolo Integrale per funzioni di più variabili 303
• 12.1 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
• 12.2 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
• 12.3 Integrali n-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
• 12.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

4 Indice

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Teoria degli insiemi

Definizione (Insieme): Un insieme è una collezione di oggetti (detti elementi dell’insieme) che sono distinguibili tra loro.

Gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto (A, B, C, ...), mentre i loro elementi vengono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto (a, b, c, ...). Gli insiemi possono essere definiti per:

Proposizione:

• Elencazione: vengono elencati gli elementi che compongono l’insieme
• Diagramma di Eulero Venn
• Proprietà caratteristica: si indica una proprietà che vale per tutti gli elementi appartenenti all’insieme

Esempio:

• Elencazione: {1,A = 2, 3, 4}
• Proprietà caratteristica: {t ≤ ≤A = : 1 t 4}
• Diagramma di Eulero Venn: 5

6 Capitolo 1. Introduzione

Simbologia degli insiemi:

• ∀ : per ogni
• ∃ : esiste
• : non esiste @
• ∃! : esiste ed è unico
• ∈ : appartiene
• ∈/ : non appartiene
• := : definizione
• ⇒, ⇐ : implica
• ⇔ : se e solo se
• : contraddizione
• ∅ : insieme vuoto
• ⊂ : sottoinsieme
• ⊆ : sottoinsieme o uguale all’insieme stesso
• : sottoinsieme strettamente diverso dall’insieme stesso (
• : : tale che
• : come volevasi dimostrare

Definizione (Cardinalità): Si definisce cardinalità di un insieme il numero di elementi dell’insieme stesso e si indica con:

• #A
• |A| |∅| = 0

Osservazione: P(A)

Definizione (Insieme delle parti): Sia un insieme A, si definisce come l’insieme delle parti di A, che corrisponde all’insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di A come elementi.

Esempio: {1,A = 2, 3}

P(A) {∅, {1}, {2}, {3}, {1, {1, {2, {1,= 2}, 3}, 3}, 2, 3}}

1.1. Teoria degli insiemi 7

⊂Osservazione: Se A B:

• P(A) ⊂ P(B)
• |A| ≤ |B|
• |P(A)| ≤ |P(B)|

Definizione (Insiemi numerici):

• : insieme dei numeri naturali N {1, 2, 3, 4, 5, ...}
• : insieme dei numeri naturali con lo 0 N0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
• : insieme dei numeri interi Z ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,0, ...
• : insieme dei numeri razionali Q n on ∈ 6: n, m m = 0Z,m
• : insieme dei numeri reali R {x, ∈ ∈ {0,a a a ... : x a ..., 9}∀i}Z,0 1 2 i
• : insieme dei numeri complessi C {z ∈= a + ib : a, b R}

Proposizione: N ( Z ( Q ( R ( C

Operazioni tra insiemi:

• ∪ {x ∈ ∈unione : A B := : x A o x B}

8 Capitolo 1. Introduzione

È l’insieme di elementi che appartengono al primo o al secondo insieme o ad entrambi.

• ∩ {x ∈ ∈intersezione : A B := : x A e x B}

È l’insieme di elementi che appartengono sia al primo che al secondo insieme.

• {x ∈ ∈differenza : A\B := : x A e x / B}

È l’insieme degli elementi che appartengono al primo ma non al secondo insieme.

• cC {x ∈ ∈ ⊆complementare : (A) (o A ) := : x X e x / A} per A XX

È l’insieme di elementi che non appartengono all’insieme stesso.

• × {(x, ∈ ∈prodotto cartesiano : A B := y) : x A e y B}

1.1. Teoria degli insiemi 9

È l’insieme delle coppie ordinate (x, y) in cui x appartiene al primo insieme e y al secondo insieme.

Esempio:

{1, × {3, {(1,2, 3} 4} = 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

|A × |A| · |B|

Osservazione: B| = ⊂Dati A, B X:

Proprietà delle operazioni tra insiemi:

• ∪∅A = A
• ∪A A = A
• ∪ ∪A B = B A
• ∪ ∪ ∪ ∪A (B C) = (A B) C
• ∩∅ ∅A =
• ∩A A = A
• ∩ ∩A B = B A
• ∩ ∩ ∩ ∩A (B C) = (A B) C
• ∩ ∪ ∩ ∪ ∩A (B C) = (A B) (A C)
• ∪ ∩ ∪ ∩ ∪A (B C) = (A B) (A C)
• c∅ = X
• c ∅X =
• c c c∪ ∩(A B) = A B
• c c c∩ ∪(A B) = A B
• c c(A ) = A

10 Capitolo 1. Introduzione

• ∩A X = A
• ∪A X = X
• 6A\B = B\A
• × 6 ×A B = B A
• n× × × ×A A A ... A = A

1.2 Sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali

Definizione (Sommatoria): Siano a , a , ..., a numeri reali, la loro somma si 1 2 n può indicare in forma compatta con il simbolo di sommatoria:

nXa + ... + a := a (1.1)1 n ii=1

che si legge: ”sommatoria da i ad n di a ”.i

Esempio: nX 2i = 1 + 4 + 9 + ...i=1 mnn 222 PPP 6 ij =i =

Osservazione: i=1i=1i=1

Proprietà delle sommatorie:

• nn PP · · a(c a ) = ck kk=1 k=1
• nP ·c = n ck=1
• n nn P PP (a + b )b =a +k k k kk=1 k=1k=1
• n n+mn+mP PPa = a + ak k kk=1 k=1 k=n+1
• n n+mP Pa = ak k−mk=1 k=1+m
• n n n−1P PPa = a = ak n−k+1 n−kk=1 k=1 k=0

Definizione (Progressione geometrica):

n+1− 1 qn 6se q = 1X k −q = (1.2)1 qn + 1 se q = 1k=0

1.2. Sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali 11

∈Definizione (Fattoriale): Il fattoriale di n indica il numero di possibili N ordinamenti di n oggetti dati ed il suo valore è pari a:

· · · · − ·n! = 1 2 3 ... (n 1) n (1.3)

Proprietà del fattoriale:

• − − −n! = n(n 1)! = n(n 1)(n 2)! = ...
• 0! = 1
• 1! = 1n!
• − − ≤ ≤= n(n 1)...(n k + 1) per 0 k n−(n k)!

∈Definizione (Coefficiente binomiale): Il coefficiente binomiale di n N ∈ su k rappresenta il numero di sottoinsiemi di k oggetti degli n oggetti dati ed N il suo valore è pari a:

n n! ≤ ≤, per 0 k n (1.4)= −k!(n k)!k

Proprietà del coefficiente binomiale:

• n n = −k n k
• n n 0 = = =10 n 0
• − −n n 1 n 1 = +−k k 1 k

Teorema (Formula di Newton):

n nXn k n−ka b (1.5)(a + b) = kk=0

Definizione (Triangolo di Tartaglia): Attraverso il triangolo di Tartaglia possiamo calcolare gli della formula di Newton: n k

00 1 10 1 2 2 20 1 2 3 3 3 30 1 2 3...

12 Capitolo 1. Introduzione

Esempio: 3(a + b)

Risolviamo mediante Triangolo di Tartaglia: n Prendiamo la riga in cui al posto i di n in compare 3.k

3 3 3 33 0 3 1 2 2 1 3 0(a + b) = a b + a b + a b + a b0 1 2 3

1.3 Campi ordinati

Proprietà degli insiemi numerici: Sia k insieme numerico (pari a o R C):

• ∃+ × →: k k k tale che:
• ∀a, ∈1) b k a + b = b + a proprietà commutativa
• ∀a, ∈2) b, c k (a + b) + c = a + (b + c) proprietà associativa
• ∃0 ∈ ∀a ∈3) k, k a +0= a =0+ a esistenza elemento neutro
• ∃(−a) ∈ ∀a ∈4) k, k a + (−a) = 0 esistenza elemento opposto
• ∃· × →: k k k tale che:
• ∀a, ∈ · ·1) b k a b = b a proprietà commutativa
• ∀a, ∈ · · · ·2) b, c k (a b) c = a (b c) proprietà associativa
• ∃1 ∈ ∀a ∈ · ·3) k, k a 1= a =1 a esistenza elemento neutro
• −1 −1∃(a ∈ ∀a ∈ 6 ·4) ) k, k, a = 0 a (a ) = 1 esistenza elemento inverso
• ∀a, ∈ · · ·5) b, c k (a + b) c = (a c) + (b c) proprietà distributiva

−10, (−a), 1, (a ) sono univocamente determinati

Osservazione: ·Definizione (Campo): Un insieme k dotato di due operazioni + e che soddisfano le precedenti 4 proprietà per ciascuna operazione, viene detto campo.

Osservazione:

• ·)(R, +, è un campo
• ·)(Q, +, è un campo
• −1·) ·(Z, +, non è un campo poiché non esiste l’elemento inverso di (z )

≤) ≤Definizione (Insieme ordinato): (X, è un insieme ordinato se è una relazione d’ordine, cioè soddisfa:

• ∀a ∈ ≤1) X a a proprietà riflessiva
• ∀a, ∈ ≤ ≤ ⇒2) b X a b, b a a = b proprietà antisimmetrica
• ∀a, ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤3) b, c X a b, b c a c proprietà transitiva

≤)Osservazione: (R, è un insieme ordinato.

1.4. Estremo superiore, inferiore, massimo e minimo 13

Definizione (Insieme totalmente ordinato): Un insieme X si dice totalmente ordinato se vale almeno una delle seguenti relazioni ∀a, ∈te ordinato se vale almeno una delle seguenti relazioni b X

• ≤a b
• ≤b a ·, ≤)(k, +, è un campo ordinato se:

Definizione (Campo ordinato): ·)1. (k, +, camp