Analisi III - Prima parte

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Appunti di analisi matematica III per l'esame della prof Filippucci su: successioni e serie di funzioni, serie di potenze, Serie di Fourier: serie trigonometriche, vari tipi di convergenza delle …

Esame Analisi matematica III

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Filippucci Roberta

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2014-2015

78 pagine

Appunto

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Somma su insieme di funzioni

DefX insieme e funzione distanza

DefX insiemed: X × X → R funzione distanza(X, d) si dice spazio metrico.

Obs Considerato R^m con d euclidea detta distanza o metrica euclidea, ovvero due diversi sotto-metrici come:

(R², d)

R², d_∞ euclidea

d: Rⁿ × Rⁿ → R n se:

|x - y| = (∑ (x_i - y_i)^1/2)ⁿ

con d = d

d(x, y) = √{∑_i=1ⁿ (x_i - y_i)²}

Esempi con n e m

Sa n = 3 considero B(y, r) = B(O, 1) = {x ∈ A⎢⎢x - o⎢⎢₃ ≤ ⎢⎢x⎢⎢₂}

Quindi definendo y=0 la bocca euclidea e il cerchio polare o _{{fontana ori no corroborante}}

Sa n = P=R³ = P(x₁, x₂) ∈ P(x, y) (dimostrazione qualunque)

B(o, 1) = {x ∈ R² | x² + y² d₁ Rⁿ × Rⁿ → R(x, y) ⟼ ∑_i=1ⁿ ⎢x_i-y_i⎢

sa m = 2 considero b(y, r) = B(o,l) ∈ ∑_i=1ⁿ ⎢x_i - o⎢ ≤ ⎢⅔ _n⎢⎢ x_i ⎢⎢³

Sa P ε R² → P = {x₁, x₂}, nt wp Px₁

B(o, 1) = {x ε R²⎢x⎢*1/y⎢ ≤ 1}

nel primo quadrante:

x + y ≤ 1 ⟷ x ⎥ y⎥ ≤ x + 1 barre diagonale parzialmente

Metrica d infinito

d_∞(x, y)⟼ max⎢x_i-y_i⎥i=1n

sa m=2 condiso B_o(y, r) = B_o(o,l)=⎥max⎢x⎥x_i⎠⎢min⎢ei⎢

Sa P ⊆ R P = (x_i, x₂)ǫP (x, y) (a grunaseda considerata a lassia corroborante di rinisekser mk ruest ase quop)

B_∞ (O, l) = {x ε⎢P²⎟ max⎢x⎤⎥x⎜y⎜x≤2}

2 Spazio metrico e funzioni

DefX insieme e distanza

DefX insiemed : X × X → ℝ funzie distana(X, d) si dice spozio metrico.

Obs Considerati ℝ^m ℝⁿ e scelga cela distana o metrica sleziaognu uno buversi soto metricu coe

con d di ℝ^m × ℝ^m → ℝ^m

Polgce di distnce deterne in qusto modo:

d : ℝ^m × ℝ^m → ℝ

|x-y| = [Σ_i=1^m (x_i - y_i)²]^1/2

si denone di distanza euclidea

Sa m = 3 considero B_d(y, r) = B_d(o, 1) = Σ |x-o| {Σx|x_i| ≤ 1} x|x_i| ≤ 1

B_{o, 2}(ε)

Metrica d1

d₁ ℝ^m × ℝ^m → ℝ

(x, y) → Σ |x_i-y_i = 1 σx|x_i| + 1

Sa m = 2 considero B_{y, r} = B_d(O, d₁) ε Σ |x_i - o_i|

B_{o, 1}(ε) ℝ² |x|+|y| ≤ 1

Nel primu quadrante

x + y ≤ 1 y ≤ x + 1

Metrica d infinito su Rm

d_∞ ℝ^m × ℝ^m → ℝ

(x, y) → max |x_i - y_i|, i=1...m

Sa m = 2 considero B_o(y, r) = B_o(O, d₁) = max |x_i i_j|

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