Analisi Matematica 2 - Guida pratica alla risoluzione di esercizi concernenti Funzioni in due variabili, Esercizi di Analisi Matematica II

Massimi e minimi in 2 variabili

Ragionamento

1. Studio il dominio di f(x,y).
2. Studio f(x,y) in D⁰ con il metodo dell'Hessiano.

Nota: In un insieme compatto, quando trovo i max e min in D⁰, vanno scartati quelli che ∈ ∂D⁰.

3. Studio f(x,y) in ∂D applicando Weierstrass e utilizzo la parametrizzazione (se possibile) o Lagrange. Nel caso parametrizzassi f(x,y) *a* studiare la nuova funzione ad una sola variabile e sostituire successivamente i punti stazionari trovati in f(x,y) e stabilire il max o min (assoluti).

Nota: Se ci vengono assegnati dei punti ∈ ∂D, è possibile sostituirli direttamente in f(x,y) e valutare il max e min (assoluto).

Esempi di insiemi D compatti

Es. 1 D = D⁰ ∪ ∂D

1. Posso valutare i punti P₁, P₂, P₃, P₄ in f(x,y) e valutare max e min (assoluto).
2. Studio f(x,y) in x=x₀, y=0 y=y₀ y=k=0 con opportune parametrizzazioni; e trovo i max e min della funzione a una sola variabile parametrizzata, e li sostituisco in f(x,y).
3. Valuto tutti i punti trovati e dico quali sono quelli di max e min assoluti.

Es. 2 D = D⁰ ∪ ∂D

1. Parametrizzo direttamente (in questo caso con coordinate polari) e studio la nuova funzione ad una sola variabile come nel punto B dell'esempio 1.

Es. 3 D = D⁰ ∪ ∂D

1. Studio f(x,y) con il metodo dell'Hessiano per D⁰ e scarto i punti che ∈ ∂D⁰.
2. Studio f(x,y) in ∂D (nel nostro esempio è x+y+1=1) con il metodo del punto B dell'esempio 1.

Massimi e minimi in 2 variabili

Ragionamento

1. Studio il dominio di f(x,y).
2. Studio f(x,y) in D^o con il metodo dell'Hessiano.

Nota: In un insieme compatto, quando trovo i max e min in D^o, vanno a scartare quelli che ∈ D^o.

3. Studio f(x,y) in ∂D applicando Weierstrass e utilizzo la parametrizzazione (se possibile) o Lagrange. Nel caso parametrizzassi f(x,y) ≈ g(t), studiare la nuova funzione ad una sola variabile e sostituire successivamente i punti stazionari trovati in f(x,y) e stabile il max o min (assoluti).

Nota: Se ci vengono assegnati dei punti ∈ ∂D, è possibile sostituirli direttamente in f(x,y) e valutare il max e min (assoluto).

Esempi di insiemi D compatti

Es. 1

1. Posso valutare i punti P₁, P₂, P₃, P₄ in f(x,y) e valutare max e min (assoluto).
2. Studio f(x,y) in x=x_o, y=0, y=y_o, x=0 con opportune parametrizzazioni, e trovo i max e min della funzione ad una sola variabile parametrizzata, e li sostituisco in f(x,y).
3. Valuto tutti i punti trovati e dico quali sono quelli di max e min assoluti.

Es. 2

1. Parametrizzo direttamente (in questo caso con coordinate polari) e studio la nuova funzione ad una sola variabile come nel punto B) dell'esempio 1.

Es. 3

1. Studio f(x,y) con il metodo dell'Hessiano per D^o e scarto i punti che ∈ D^o∂D.
2. Studio f(x,y) in ∂D (nel nostro esempio è x²+y²=1) con il metodo del punto B) dell'esempio 1.

Massimi, minimi, sella

Nota: Questi metodi si utilizzano in D⁰ o D^C.

Metodo dell’Hessiano

1. Pongo ∇f(x,y) = 0 ⇒ [ 0 ⇒ Massimo - Per valori di f(x₀,y₀) ⇒ Valuto tutti i pt. di max. e min per f(x,y) e trovo gli unici e assoluti (per Weierstrass).

Note esercizi max e min

Massimi e minimi

Yf Ho funzioni del tipo³f_(lny)²ln(f_(lny)), sin(ln(f_(lny))), arcos(3_(lny)), atan(f_(lny)), ovvero funzioni monotone crescente, posso diret. fare lo studio dei punti critici a f_(lny). Avranno gli stessi. Occhio ai domini però.

Nota: Se f_(xny) è una funzione simmetrica rispetto ad no ad y o ad entrambi, (tenni conto di ciò nello studio dei max e min e studia le f_(xny)) solo in una parte del dominio, che ridurre senza rimature.

Ricorda

Quando ho funzioni che ad occhio posso interpretarle con le curve di livello, ad esempio: z=n⁴+y+2bn+⁴by.

Posso individuare i max e min con lo studio visivo delle curve di livello.

Nel particolare caso dei punti che giacciono sulla ad, possiamo parlare di punti estremanti solo se risultano essere assoluti.

Quando l'insieme di definizione è compatto (chiuso e limitato), una note tassi i punti con ∇f_(xny)=0,0 non sono assoluti a relazione con i f_(xny), ma ci basta andare a controlla nelle funzione di partenza f_(xny)).