Analisi frattale degli indici di borsa: struttura irregolare e dimensioni frattali

Analisi frattale e valutazioni finanziarie R. IEMBO, M. SQUILLANTE, A. VENTRE

Analisi frattale e valutazioni finanziarie

Rosanna Iembo (*)

Massimo Squillante (**)

Aldo Ventre (***)

1. Sommario

In questo lavoro proponiamo un approccio frattale allo studio degli indici di borsa.

Esaminando alcuni grafici provenienti da fonti ufficiali (MF e Milano Finanza 2003), si evidenzia, a scale arbitrariamente piccole, che essi hanno, sia localmente che globalmente, una struttura decisamente irregolare per essere descritta nel linguaggio geometrico tradizionale; si calcolano, quindi, le dimensioni frattali dei grafici di tali oggetti e si indicano le caratteristiche di auto-affinità.

2. Volatilità

A. Kassam e T. Sharma [8] hanno recentemente analizzato e messo a confronto diversi indici di volatilità, quali il VDAX e il VIX, evidenziando, tra l’altro, l’entità dei cedimenti sul versamento indici per la volatilità implicita europea, spinta al ribasso dal graduale rialzo dei listini internazionali, la riduzione del gap tra volatilità implicita e realizzata, più rapida del calo della stessa volatilità implicita e il fatto che, recentemente, in tutti i mercati europei, volatilità implicita e strutture a termine si collocano nel quintile inferiore; di qui, cambiamenti repentini.

Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme” 52

Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003

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D’altro canto, come osservato da Mandelbrot [12], le fortune finanziarie si formano o si perdono con estrema rapidità quando il mercato diventa selvaggio e la variabilità aumenta vigorosamente.

I modelli finanziari maggiormente adoperati nel ventesimo secolo tendono a sottostimare o, addirittura, ad escludere, la possibilità di cambiamenti drastici; i grandi cambiamenti nel mercato vengono ritenuti altamente improbabili; si presume che le variazioni di prezzo siano distribuite normalmente, considerando gli eventi che cadono nelle estremità della curva a campana decisamente rari. In tal modo si può spiegare approssimativamente il 95% di ciò che accade nel mercato, lasciando praticamente scoperto un 5% di situazioni; per utilizzare un paragone già proposto, se si cerca di interpretare allo stesso modo i fenomeni climatici, i tifoni, eventi certamente poco probabili, sarebbero da considerare inesistenti.

La difficoltà nell’interpretare e predire le diverse situazioni, anche patologiche, dell’andamento dei mercati finanziari, suggerisce di individuare altri strumenti per la loro modellazione; l’analisi frattale può dare un contributo in tal senso, senza, ovviamente, avere la pretesa di fornire una previsione certa degli andamenti di borsa, ma con l’obiettivo di inquadrare il rischio di mercato in un quadro realistico.

2. Dimensione frattale

Proviamo pertanto a calcolare la dimensione frattale dei grafici di alcuni indici di borsa, quali ad esempio, il Mibtel e il Fib 30. A tale scopo, riprendendo le tecniche usate in altre situazioni, ad esempio per descrivere alcuni fenomeni idrogeologici [4], utilizziamo il metodo del box-counting, ossia riferiamo il grafico di tali indici ad una rete a quadrata di cui è fissata l’origine come in figura

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Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme” 53

Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003

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