Analisi e matematica 1

Esame Analisi I (I Parziale)

Simboli principali da ricordare:

• ∈ Appartiene

• ∉ Non appartiene

• ∃ Esiste

• ∃! Esiste ed è unico

• ⊂ Contenuto strettamente

• ⊆ Contenuto

• ⊃ Contiene strettamente

• ⊇ Contiene

• → Implica

• ← Se e solo se

• ≠ Diverso

• ∀ Per ogni

• ∃ Tale che

• ≤ Minore o uguale

• ≥ Maggiore o uguale

• α Alfa

• β Beta

• γ Gamma

• δ Δ Delta

• ε Epsilon

• σ Σ Sigma

• ρ Rho

Insiemi

Come rappresentare un insieme:

• Rappresentazione estensiva

  {0, 1, 2, 3, ...}

• Rappresentazione intensiva

  {x | x ∈ N e ...}

• Rappresentazione con diagrammi di Eulero-Venn

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4
  6. 5

ESAME ANALISI I

SIMBOLI PRINCIPALI DA RICORDARE:

• ∈ appartiene
• ∉ non appartiene
• ∃ esiste
• ∃! esiste ed è unico
• ⊂ contenuto strettamente
• ⊆ contenuto
• ⇒ implica
• ⇔ se e solo se
• ≠ diverso
• ∀ per ogni
• ∴ tale che
• ≤ minore o uguale
• ≥ maggiore o uguale
• α alfa
• β beta
• γ gamma
• δ, Δ delta
• ε epsilon
• σ, Σ sigma
• ρ rho

INSIEMI

Come rappresentare un insieme:

1. Rappresentazione estensiva
   • A = {0, 1, 2, 3, ...}
2. Rappresentazione intensiva
   • A = { x ∈ N e x≤3 }
3. Rappresentazione con diagrammi di Eulero-Venn

Operazioni tra insiemi

B è un sottoinsieme di A:

B ⊂ A

A ⊇ B

∅ insieme vuoto

Le operazioni sono

• Intersezione
• Unione
• Complementare
• Prodotto cartesiano

1. Si definisce intersezione di due insiemi A e B l'insieme formato degli elementi comuni ad A e B.

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Es.

A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6}

A ∩ B = {2, 4}

2) Unione

Si definisce unione di due insiemi A e B, l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi dati:

A ∪ B = { x ∈ X: x ∈ A ∨ x ∈ B }

Esempio:

A = { 1, 2, 3, 5 }B = { 2, 3, 4, 6 }

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

3) Complementare

Si definisce complementare di B rispetto all'insieme X, l'insieme degli elementi che sono in X ma non in B.

X \ B = { x ∈ X e x ∉ B }

Preniamo in considerazione [2,5] ⊂ ℝ tutti i numeri reali tra questi due.

Il complementare saranno tutti gli elementi del reale tranne l'asso accetto [2,5].

A^c = (-∞, 2) ∪ (5, +∞)

i) Prodotto cartesiano

Dati due insiemi non necessariamente distinti A e B, si definisce prodotto cartesiano il nuovo insieme costituito da tutte le coppie (a,b) con a∈A e b∈B.

A×B = { (a,b) : a∈A e b∈B }

Insiemi numerici

• Insieme N ➔

L'insieme dei numeri naturali: è cosí denominato poiché viene spontaneamente utilizzato per contare ogni oggetti e il concetto astratto di numero.

N = {0,1,2,3,...,100,...}

L'addizione e la moltiplicazione sono operazioni ben definite (interne) in N (il risultato è sempre un numero naturale). Non è il stesso caso per la sottrazione.

• Insieme Z ➔

Per permettere la sottrazione tra numeri naturali si introduce l'insieme dei numeri interi

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,10,1000,...}

L'addizione e sottrazione e la moltiplicazione sono operazioni ben definite (interne) in Z (ce risultato è sempre un numero intero relativo). La divisione non è ben definita: non sempre si può eseguire.

• Insieme Q ➔

La cosa una zapelda di questa divisione (con denominatore diverso da zero), si introduce l'insieme dei numeri razionali.

Q = { ^m⁄_n , m≠0, m,n∈Z } N⊂Z⊂Q

Tale insieme comprende:

• Interi relativi
• Decimali finiti relativi
• Decimali infiniti periodici relativi
• Decimali infiniti periodici misti relativi

L'addizione, la sottrazione, e moltiplicazione e la divisione sono operazioni ben definite in Q (ce risultato è sempre un numero razionale).

Non sempre possiamo però estrarre una radice, per esempio,