Analisi - Dimostrazione della derivata della funzione [math]{y}={\left[ f{{\left({x}\right)}}\right]}^{ g{{\left({x}\right)}}}[/math]

Ipotesi: y = [f(x)]^g(x) con f(x) > 0 e f(x) ≠ 1.

Tesi: y′ = [f(x)]^g(x) · [g′(x) ln f(x) + g(x) f′(x) / f(x)].

Dimostrazione:

Si chiama logaritmo di base a e di argomento b l’esponente c che si dà ad a per ottenere b.

In simboli: log_a b = c.

Quindi, per definizione di logaritmo, a^c = b, ovvero a^{log_a b} = b (proprietà fondamentale dei logaritmi).

Di conseguenza, se a = e = 2,718…, e^{ln b} = b.

Se b = [f(x)]^g(x), allora [f(x)]^g(x) = e^{g(x) ln[f(x)]}.

E poiché e^{ln k} = k (proprietà dei logaritmi), ne consegue che:

[f(x)]^g(x) = e^{g(x) ln[f(x)]}.

Per la proprietà transitiva dell’uguaglianza si può concludere che:

[f(x)]^g(x) = e^{g(x) ln[f(x)]}.

Se h(x) = g(x), allora e^{g(x) ln[f(x)]} = e^h(x).

Se y = e^h(x), allora y′ = e^h(x) h′(x) (regola di derivazione della derivata della funzione composta).

Operando la sostituzione h(x) = g(x), si ottiene:

y′ = e^{g(x) ln[f(x)]} D{g(x) ln[f(x)]}.

y′ = e^{g(x) ln[f(x)]} {g′(x) ln[f(x)] + g(x) f′(x) / f(x)} (regola di derivazione del prodotto).

D{g(x) ln[f(x)]} = g′(x) ln[f(x)] + g(x) f′(x) / f(x).

Quindi:

y′ = e^{g(x) ln[f(x)]} {g′(x) ln[f(x)] + g(x) f′(x) / f(x)}.

Poiché e^{g(x) ln[f(x)]} = [f(x)]^g(x), si può concludere che:

y′ = [f(x)]^g(x) [g′(x) ln f(x) + g(x) f′(x) / f(x)] · c.v.d.