Analisi Dimensionale: teoria

Idraulica e analisi dimensionale

Idraulica è la scienza che studia il comportamento dei liquidi, in particolare dell'acqua.

Idrostatica → spinte e galleggianti.

Idrodinamica → correnti in pressione, correnti a pelo libero.

Analisi dimensionale

Campi scalari e vettoriali

Campo scalare: b(x,y,z,t) = b(x,t) = ...

Campo vettoriale: b(x,t) = b_x(x,t)x_x + b_y(x,t)y_y + b_z(x,t)z_z

b = |b_x b_y b_z| (es. campo d'acqua nel fabbricato)

Componente normale del campo: b_m(x,t) = M_xb_x(x,t) + M_yb_y(x,t) + M_zb_z(x,t)

M = M_xx_x + M_yy_y + M_zz_z → vettore normale.

Tensori e matrici

Tensore B = [ B_xx B_xy B_xz ][ B_yx B_yy B_yz ][ B_zx B_zy B_zz ]

Quando risulta B_ik = c Ȝ_ik, il tensore è isotropo.

Tensore isotropo = tensore le cui componenti restano invariate per una rotazione del sistema.

Matrice identità: I = [ 1 0 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ]

Modulo o norma: |b| = b = √³/√_k-4k_k = √(b_x² + b_y² + b_z²)

Idraulica e analisi dimensionale

Idraulica è la scienza che studia il comportamento dei liquidi, in particolare dell'acqua.

Idrostatica → spinte e galleggianti.

Idrodinamica → correnti in pressione, correnti a pelo libero.

Analisi dimensionale

Campo scalare: b(x,y,z,t) = b(x,t)

Campo vettoriale: b(x,t) = b_x(x,t)x_x + b_y(x,t)y_y + b_z(x,t)z_z

Componente normale del campo: bm(x,t) = M_xb_x(x,t) + M_yb_y(x,t) + M_zb_z(x,t)

M = M_xî_x + M_yŷ_y + M_zẑ_z → versore normale.

Tensore B = B_xxB_xyB_xzB_yxB_yyB_yzB_zxB_zyB_zz

Quando risulta B_ik = c ĝ_ik, il tensore è isotropo.

Tensore isotropo: tensore le cui componenti restano invariate per una rotazione del S.R.

Matrice identità: 100010001

Modulo o norma: |b| = b = √( ^{b_x2 + b_y2 + b_z2}/_{k1 + k2 + k3} )

Operazioni vettoriali

Prodotto scalare

Prodotto scalare di vettori: b · c = _k=1³∑ bk ck = bx cx + by cy + bz cz (prodotto componente a componente) = || || cosθ

cos 90° = 0, sin 90° = 1

cos 0° = 1, sin 0° = 0

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale x = vettore → modulo || = || || sinθ

Direzione ⟂ al piano di verso: regole della mano dx x = (ax î + ay ĵ + az k̂) × (bx î + by ĵ + bz k̂) = det || = ay bz î - az by î + az bx ĵ - ax bz ĵ + ax by k̂ - ay bx k̂ = (ay bz - az by) î + (az bx - ax bz) ĵ + (ax by - ay bx) k̂ = cx î + cy ĵ + cz k̂

Operatore nabla

Operatore "Nabla": = î + ĵ + k̂

Gradiente: grad b = _k=1³∑ î = î + ĵ + k̂ = ∇b

Divergenza: div b = _k=1³∑ î bx + by + bz → = b(n.r. reale)

Rotore: rot b = | î ĵ k̂ | = î || + ĵ || + k̂ || = ∇ x b

Gradiente

Gradiente: ∇f(x,y) = (f_x(x,y); f_y(x,y))

Vettore che ha per componenti le derivate parziali nel punto considerato (x,y).

Il gradiente di f in un pt fornisce direzione e verso in cui cresce la funzione, cresce più rapidamente.

∇ funzione operatore che trasforma un campo vettoriale in un campo vettoriale.

Divergenza

Divergenza: scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o convergere verso un punto dello spazio.

È un operatore che trasforma un campo vettoriale in una funzione.

Mi dice quanto varia, ma non in che direzione.

Rotore

Rotore: il rotore del campo vettoriale è un campo vettoriale le cui componenti sono: * ∇ × Il rotore è un operatore che trasforma un campo vettoriale in un altro campo vettoriale.

(div B)_x (div B)_y (div B)_z = [ ∂ ∂ ∂ ] [ B_x B_xy B_xz ] __________________________ ∂x ∂y ∂z B_yx B_yy B_yz B_zx B_zy B_zz

Relazioni tra operatori

Nel caso dei campi siano di classe c⁴, valgono le relazioni:

grad (cb) = c grad b + (grad c)b

div (cb) = c div b + (grad c) . b

rot (cb) = c rot b + (grad c) ∧ b

Ossia:

∇(cb) = c ∇b + (∇c)b

∇ · (cb) = c ∇ · b + (∇c) . b

∇ ∧ (cb) = c ∇ ∧ b + (∇c) ∧ b

E poi, se i campi sono di classe c², si ha:

rot grad b = ∇ ∧ ∇b = ∅

div rot b = ∇ . (∇ ∧ b) = ∅

E si può impiegare il laplaciano definito come:

∇²b = ∑_k=1^{3 ∂2b}/_∂xk² = ^∂2b/_∂x² + ^∂2b/_∂y² + ^∂2b/_∂z²

∇²b = ∑_k=1³ b_,kk = ix ∇²bx + iy ∇²by + iz ∇²bz

Si vede subito che:

∇²b = div grad b = ∇·∇b

∇²b = grad div b - rot rot b = ∇(∇·b) - ∇∧(∇∧b)

Teoremi integrali

Teorema di Gauss: ∫_V ^∂b_i/_∂xi dv = ∫_A b_ni dA

Teorema del gradiente: ∫_V grad b dv = ∫_A bm dA

Teorema della divergenza: ∫_V div b dv = ∫_A b_i·n dA

Formula di Kelvin: ∫_A m·rot b dA = ∫_V b dℓ

Determinanti di matrici

Determinante matrice 2x2:

A = (_{a₁ b₁}/^{a₂ b₂})

det. A = a₁·b₂ - b₁·a₂

Determinante matrice 3x3:

A = (_{a₁ b₁ c₁}/^{a₂ b₂ c₂}/_{a₃ b₃ c₃})

det. A = a₁ (_{b₂ c₂}/^{b₃ c₃}) + (-b₁) (_{a₂ c₂}/^{a₃ c₃}) + c₁ (_{a₂ b₂}/^{a₃ b₃})

Grandezze e unità di misura

Grandezze fondamentali → Grandezze derivate.

• L lunghezza
• T tempo
• M massa
• Θ temperatura

Meccanica dei continui - fluidi.

Analisi dimensionale

[G] = L^α T^β M^γ

Eq fondamentale della dinamica F = ma = m dv/dt

[F] = M L T^-2 V.G. grandezza

Numero puro: rapporto tra due grandezze aventi le stesse dimensioni, il suo valore non dipende dalle u.d.m.

[N] = [M⁰ L⁰ T⁰] (eq. dimensionale di un numero puro)

π è un numero puro: rapporto tra una cfr e il suo cl.

Tre grandezze A₁, A₂, A₃ si dicono dimensionalmente indipendenti quando:

LMT A₁α₁β₁γ₁ A₂α₂β₂γ₂ A₃α₃β₃γ₃ ≠ 0 il det. ≠ 0

[V L T]10-1100011 = 0

Queste grandezze non sono dimensionalmente indipendenti.

(es) accelerazione massa velocità

det. A = 0

det. A ≠ ϕ

Teorema di Buckingham

Teorema di Buckingham o Teorema π^t:

(Th. fondamentale dell'analisi dimensionale) Assicura la riduzione del numero di variabili che appaiono, mezzo riduzione tramite la definizione di una relazione equivalente tra m-j più ricchetti di parametri adimensionali.

Se una grandezza fisica X₁ dipende esclusivamente da m-1 variabili “indipendenti X₂, X₃, …, X_m tramite una reazione dimensionale omogenea del tipo:

X₁ = φ₁ (X₂ X₃ … X_n)

Questa può essere riscritta nella forma:

φ₂ (X₁, X₂, X₃, …, X_n) = ϕ

Th ᵀᵀt assicura che se le m grandezze possono essere espresse in funzione di dimensioni fondamentali 0aderì, esiste una relazione equivalente tra m-j parametri adimensionali πᵢ del tipo:

F (π₁, π₂, π₃, …, π_m-j) = ϕ

Il modo più noto per determinare parametri adimensionali ciè il metodo delle variabili ripetute che comprende 6 fb(a.

Metodo delle variabili ripetute

(es) Pallino di cadì nel quota det. la legge del moto z (t) = quota della pallina istante per istante v₀ = velocità iniziale z₀ = quota iniziale g = costante gravitazione.

Poso esprimere il problema con un numero variabili, apportando lo Th π.

Fase 1

Elencare i parametri del problema e contare il numero totale m.

M = 5, z può essere espressa come: z = f(t, _No, z_o, g)

Fase 2

Elencare la dimensioni fondamentali di ciascuno degli m parametri.

[z] = [L]

[t] = [T]

[_No] = [L]^-1 [T]^-1

[z_o] = [L]

[g] = [L] [T]^-2

Fase 3

Stima della riduzione.

Grado di riduzione j uguale al numero di dimensioni fondamentali. I calcoli k = m - j gruppi di parametri adimensionali:

Nel problema ci sono 2 dimensioni fondamentali: [L,T] pertanto j = 2 k = m - j, 5 - 2 = 3

Fase 4

Scegliere le j variabili ripetute.

Essendo j = 2 → scegliere 2 variabili ripetute.

• Escludere la variabile dipendente → z
• Escludere variabili che combinate fra loro possano formare gruppi adimensionali → z_o
• Scegliere le variabili ripetute
• Escludere le variabili adimensionali
• Escludere variabili aventi le stesse dimensioni fondamentali → z_o
• Minimizzare le costanti alle variabili
• Favorire le variabili più comuni
• Scegliere variabili semplici aventi una o due dimensioni fondamentali

In questo caso, _No e z_o.

Fase 5

Determinazione dei parametri Π.

I parametri Π sono dati dal prodotto delle variabili ripetute e di una delle variabili riferimenti del primo gruppo. Ad esempio il Π dipendente è contiene la variabile dipendente, per cui:

Π₁ = Z · l₀^a₁ · b₁a₁, b₁ cost. da determinare.

Pongo a₀ = φ b₀ = φ a₀ = b₀

[Π₁] = [L⁰ T⁰] = [Z · l₀^a₁ · b₀^b₁] = [L¹ (L T^-2)^a₁ (L)^b₁]

Π₁ adimensionale.

def: "Le dimensioni fondamentali sono indipendenti l'uno dalle altra" ⇒ posso uguagliare gli esponenti:

[L⁰] = l₀^a₁

[T⁰ = L T^-2]

φ = -1 + a₁ + b₁

b₁ = -1

Così ottengo Π₁ = Z / Z₀

Analogamente Π₂ (indipendente) è dato dal prodotto delle variabili ripetute con la variabile t:

Π₂ = t · l₀^a₂ · b₀^b₂

[Π₂] = [L⁰ T⁰] = [t · a₂ b₂ ]

0 = -1 a₂

a₂ = -1

0 = a₁ + b₂

b₂ = -1

Quindi risolvo: Π₂ = t · v₀ / Z₀

Analogamente Π₃ = g · l₀^a₃ · b₃^b₃

[Π₃] = [L⁰ T⁰] = [g · L T^-2 · l₀^a₃ l₀^b₃ ]

0 = -1 + 2 + b₃

b₃ = 1

0 = -2 a₃

a₃ = -2

Quindi risolvo: Π₃ = g · z₀ / V₀²