Analisi dei dati

Teoria di esperimentazioni di Fisica 1 "Fisichetta"

Presentazione di dati sperimentali

X vero si trova tra questo intervallo: X ± δX

Incertezza assoluta

La misura deve essere sempre associata ad una incertezza per poterle confrontare.

Sia X e δX devono avere le stesse cifre significative e stessa unità di misura.

δX/|X| incertezza relativa (adimensionale)

Misure con incertezze assolute differenti possono avere stessa incertezza relativa.

Cifre significative

Sono le cifre certe + la 1° cifra incerta.

Si ottiene contando da sn a dx cominciando dalla 1° cifra ≠ 0.

Se lo zero è alla fine o nel mezzo conta come significativa.

Es: 148 Kg → 8 è cifra incerta

148,0 Kg → 8 è cifra esatta e 0 è incerta.

Teoria di esperimentazioni di fisica 1 "Fisichetta"

Presentazione di dati sperimentali

X vero si trova tra questo intervallo: X ± δX ↓ incertezza assoluta

La misura deve essere sempre associata ad una incertezza per poterle confrontare.

Sia X e δX devono avere le stesse cifre significative e stessa unità di misura.

δX/|X| incertezza relativa (adimensionale)

Misure con incertezze assolute differenti possono avere stessa incertezza relativa.

Cifre significative

Sono le cifre certe + la 1^a cifra incerta.

Si ottiene contando da sin a dx cominciando dalla 1^a cifra ≠ 0.

Se lo zero è alla fine o nel mezzo conta come significativa.

Es: 1.48 Kg ➔ 8 è cifra incerta

1.48,0 Kg ➔ 8 è cifra esatta e 0 è incerta.

Unità di misura

Scegliamo un unità campione che deve essere accessibile e invariante.

Sistema Internazionale S.I. ha sette grandezze fondamentali:

• Lunghezza in metri [m]
• Massa in kilogrammi [kg]
• Tempo in secondi [s]
• Temperatura in Kelvin [K]
• Intensità di corrente in Ampere [A]
• Quantità di sostanza in moli [mol]
• Intensità luminosa in candele [cd]

Sistema G.G.S. ha tre grandezze fondamentali:

• Lunghezza in centimetri [cm]
• Massa in grammi [g]
• Tempo in secondi [s]

Sorgenti di incertezza

Tre tipi:

• Incertezze di risoluzione dovute alla risoluzione degli strumenti utilizzati.
• Incertezze casuali dovute alle fluttuazioni statistiche.
• Incertezze sistematiche.

1) δx_resol = Δx/2 errore max di risoluzione

δx_resol = Δx/√12 errore standard di risoluzione

Al di sotto della sensibilità di uno strumento ogni valore è equiprobabile: esempio. Sensibilità al mm, 10,0 mm, 20,2 mm... hanno tutta la stessa probabilità di essere veri.

Non esiste sempre stimato poiché conosciamo lo strumento con cui eseguiamo le misure.

Def. accuratezza: misura del valore, quanto siamo "vicini" al valore vero? È relativa agli errori sistematici.

Def. precisione: misura la dispersione, quanto i valori sono "lontani" tra di loro? È relativa agli errori casuali.

I Distribuzione centrata sul valore vero

II Errori casuali: è centrata sul valore vero ma cambia la larghezza. Alcuni dati sono sottostimati e altri sovrastimati.

III Errori sistematici: non cambia la larghezza ma sono tutti spostati nella stessa direzione.

In tutto ciò noi dobbiamo stabilire il valore vero, possiamo capire quale set di misure ha errori casuali ma non sistematici; ovvero possiamo capire se sono misure precise o imprecise ma non se sono accurate o meno.

Leggere una distribuzione di dati

Centro = valore tipico

• Larghezza = come sono dispersi i dati
• Simmetria del grafico
• Outliers

Moda

È il valore più probabile, ovvero quello che ha la frequenza massima.

Non è un valore "potente" perché non ci riflette il centro, non sempre è unica (distribuzioni multi-modali) e non sempre esiste (distribuzioni amodali).

Se il campione di dati è piccolo, la moda è un indicatore poco stabile.

Mediana

Divide esattamente il grafico in 2 metà - come si calcola?

Si mette in ordine i dati in modo crescente.

Se N è dispari, la mediana è il valore nella posizione (N+2)/2.

Se N è pari si prende la media tra i valori centrali (N/2) e (N/2 +1).

La mediana non è sensibile agli outliers mentre la media sì.

La mediana considera solo il numero di dati indipendentemente dal valore, mentre la media soppesa ogni valore dei dati.

Scarto

S_i = (X_i - A) A è un valore fissato.

Lo scarto ci dice quanto ogni dato si discosta dal valore A.

Per qualunque valore di A la somma di tutti gli S_i è zero:

^NΣ_i=1 S_i = ^NΣ_i=1 (X_i - A) = ^NΣ_i=1 X_i - ^NΣ_i=1 A = ^NΣ_i=1 X_i - NA = 0

A = (1/N) ^NΣ_i=1 X_i che è la def di media aritmetica.

La media arit è sensibile a pochi dati outliers o ad una distribuzione asimmetrica.

La media è come una sorta di centro di massa.

La larghezza della distribuzione: i quartili

Il 1° e 3° quartile sono le mediane rispettivamente della prima e seconda metà.

Intervallo interquartile, da 2° quartile al 3° quartile, contiene il 50% dei dati.

Il box-plot

• Valore max
• Terzo quartile
• Mediana
• Primo quartile
• Valore min

La media degli scarti (δ) dal valor medio (X̄) è per def = 0

δ̄ = ₁/^N∑_i=1^N(Xi−X̄) = ₁/^N∑_i=1^NXi − ₁/^N∑_i=1^NX̄ = X̄ − X̄/^N = 0

Varianza

σ² = ¹/_N ∑_i=1^N (x_i - x̄)²

La varianza è definita come la media degli scarti quadratici.

σ² = ¹/_N ∑ (x_i² - 2x_i x̄ + x̄²) = ¹/_N ∑ x_i² - ¹/_N ∑ 2x_i x̄+ ¹/_N ∑ x̄² = x̄² - 2 x̄² + x̄² = x̄² - x̄̄̄²

La varianza è uguale alla differenza tra la media dei quadrati e il quadrato della media.

σ² = x̄² - x̄̄̄²

Ha le dimensioni di x̄².

Deviazione standard

σ = √( ¹/_N ∑_i=1^N (x_i - x̄)² )

Δ è una misura degli errori casuali e quindi la precisione.

Non è una misura robusta perché è sensibile agli outliers e alle asimmetrie.

Spesso si utilizza la seguente formula:

σ = √( ¹/_N-1 ∑_i=1^N (x_i - x̄)² )

Le due formule differiscono sostanzialmente per N piccoli ma sono analoghe per N elevati.

Qual è quindi l'importanza di queste 2 formule?

Con la 1° formula per N=1 io avrò σ=0

x̄ ≅ x coincide con l'unico valore raccolto

mentre con la 2° formula con N=1 ho

σ= σ che è indeterminato. Infatti non posso stimare la precisione e quindi gli errori casuali con una sola misura.

Qual è il valore che minimizza gli scarti quadratici medi? ^d/_dA ∑_i=1^N (Xi−A)² = 0

Sempre X   ⟹ La media aritmetica è il valore per cui:

• La somma degli scarti quadratici è nulla
• La varianza è minima

Come descrivere centro e larghezza?

Distribuzioni asimmetriche o con forti outliers → mediana + quartili.

Distribuzioni simmetriche e prive di outliers → media + deviazione standard.

Errore standard: (deviazione standard della) media

σ_x̄ = σ/√N

σ = deviazione standard = incertezza media nelle singole misure

σ_X = deviazione standard della media = incertezza sul valore medio, una stima della precisione su X

Ricapitolando

• N misure di X
• Gli errori sistematici sono trascurabili
• La miglior stima di X è il valore medio
• L'errore sulla singola misura è dato dalla deviazione standard
• L'errore sul valor medio è dato dall'errore standard

X̄ ± σ_X

(Schiuness) Skewness: γ₃

Misura quanto è simmetrica la distribuzione.

γ₃ = ₁/^σ³N ∑_i=1,N (X_i - X̄)³ = (_{Xi - X̄}/^σ)³

È definita come la media del cubo degli scarti rispetto al valor medio diviso per il cubo della deviazione standard.

È adimensionale.

γ₃ = 0

γ₃ > 0

γ₃ < 0

Kurtosis: γ₄

Misura quanto è "importante" il picco di una distribuzione.

γ₄ = ¹/_σ⁴N ∑_i=1^N (X_i - X̄)⁴ - 3 = ^{(X_i - X̄)4}/_σ⁴ - 3

È la media degli scarti rispetto al valor medio elevati alla quarta potenza diviso per la deviazione standard alla quarta potenza, il tutto con la sottrazione di 3.

Il primo termine vale 3 per una gaussiana per questo si aggiunge il -3 => γ₄ = 0 per una gaussiana.

È adimensionale, γ₄ di una gaussiana vale zero.

γ₄ = 0

γ₄ > 0

γ₄

Frequenze

Frequenza assoluta: È il numero di volte che il valore X_i ricorre in un campione di dimensione N.

Frequenza relativa: È il rapporto tra la frequenza assoluta e la dimensione N del campione.