Analisi Complessa - Analisi Matematica 3 - Metodi Matematici

Analisi complessa

C = {z = x + iy}, x, y ∈ ℝ ed i è unità immaginaria

C'è corrispondenza biunivoca tra C e ℝ² → z = x + iy = (x,y)

x = Re(z) parte reale

y = Im(z) parte immaginaria

Coniugato

Coniugato: z = x + iy ⇒ z̅ = x - iy   Re(z̅) = Re(z)   Im(z̅) = -Im(z)

Somma e prodotto

z₁ + z₂ = (x₂ + iy₂) + (x₁ + iy₁) = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

z₁·z₂ = (x₁ + iy₁)·(x₂ + iy₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁)

Oss. i² = -1   z·z̅ = z̅·z = |z|²

Modulo e distanza

Modulo |z|² = z·z̅ = (x + iy)(x - iy) = x² + y² ⇒ |z| = √x² + y²

Distanza d(z, w) ∈ C, d(z,w) = |z - w|

Oss. Isometria z ∈ C → (x, y) ∈ ℝ² cioè C ed ℝ² coincidono dal punto di vista topologico

Inverso z ∈ C, z ≠ 0   ¹/_z = ^z̅/_|z|²

Coordinate polari

Coordinate Polari z = x + iy → {x = g·cosθ y = g·sinθ ⇒ z = g(cosθ + i·senθ)

Si ha |z| = g, mentre −π Osserviamo che grazie alla periodicità di seno e coseno si ha

J ⊂ Arg(z) ⇒ J = Ô + 2kπ ⊂ Arg(z)   ∀ k ∈ ℤ

Oss. Arg(z) = ]−π,π] + 2kπ; Ô ∈ ℝ, k ∈ ℤ

arg_^X(z) = Ô   (un ^X fissato)

Def. Per z ∈ ℂ definiamo numero complesso e^iθ = cosθ + i·senθ

Allora ∀z ∈ C   z = g^iθ con |z| = g e J ⊂ Arg(z)

Analisi complessa

C = { z = x + iy | x, y ∈ ℝ ed i è unità immaginaria }

C'è corrispondenza biunivoca tra C e ℝ² → z = x + iy ↔ (x, y)

x = Re(z) parte reale

y = Im(z) parte immaginaria

Coniugato

Coniugato: z = x + iy → z = x - iy

Re(z) = Re(z) Im(z) = -Im(z)

Somma e prodotto

z₁ + z₂ = (x₂ + iy₁) + (x₁ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)

z₁ z₂ = (x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i (x₁y₂ + x₂y₁)

Oss. y₂ = x₂²

Modulo e distanza

Modulo |z|² = z · z = (x + iy)(x - iy) = x² + y² → |z| = √(x² + y²)

Distanza p, q ∈ C d₁(z, w) := |z - w|

Oss. f isometria z ∈ C → (x, y) ∈ ℝ² cioè C ed ℝ² coincidono dal punto di vista topologico

Inverso z∈C\{0} 1/z = z/|z|²

Coordinate polari

Coordinate polari z = x + iy → x = ρ cos∅ y = ρ sen∅ → z = ρ (cos∅ + i sen∅)

Sì ha |z| = ρ mentre ∅ = Arg(z) è detto argomento

Osserviamo che grazie alla periodicità di seno e coseno si ha

[Arg(z) = ∅] ⇒ [∅ + 2kπ ⊂ Arg(z) ∀k ∈ ℤ]

Oss. Arg(z) = ]∅ + 2kπ : ∅ ∈ ℝ k ∈ ℤ ]

arg(z) = ∅ (un ∅ fisso)

Def. Rev z ∈ ℝ definiamo numero complesso cis ∅ := cos∅ + i sen∅

Allora ∀ z ∈ C : z = ρ cis∅ con |z| = ρ e ∅ ∈ Arg(z)

Esponenziale complesso

Oss.: |e^it| = 1 ∀t∈ℝ

e^it₁ e^it₂ = (cos t₁cos t₂ - sen t₁sen t₂ ) + i (sen t₁cos t₂ + cos t₁sen t₂ ) == cos(t₁ + t₂) + i sen(t₁ + t₂) = e^i(t₁+t₂)

Allora z₁z₂ = r₁ e^{i α₁} · r₂ e^{i α₂} = r₁r₂ e^{i (α₁+α₂)}

Allora |z₁z₂|=|z₁| |z₂| e arg (z₁z₂) = arg (z₁) + arg (z₂)

Allora ¹/_z = ^z̅/_|z|² g.e ^-1/_z e^{-i α}

Allora | ¹/_z | = ¹/_|z| e arg ( ¹/_z ) = - arg(z)

Quoziente

Quoziente z₁,z₂ ∈ ( z₂ ≠ 0 e ^z₁/_z2 = ^r₁/_r2 e^{i(α₁ - α₂)}

Inoltre | ^z₁/_z2 | = ^r₁/_r2 e arg ( ^z₁/_z2 ) = arg (z₁) - arg (z₂)

Potenza

Potenza n z ∈ ℂ, n ∈ ℕ zⁿ = (ρe^{i α})ⁿ = ρⁿ