Analisi 2: campi vettoriali

Campi vettoriali

Definizione di campo vettoriale

DEF Sia Ω ⊆ ℝ³ sottoinsieme si dice campo vettoriale una funzione Ξ : Ω ⟶ ℝ³.

Analogamente si definisce campo vettoriale piano.

DEF Sia Ω ⊆ ℝ² sottoinsieme si dice campo vettoriale piano una funzione Ξ : Ω ⟶ ℝ².

Notazione

F̲(x, y, z) = (F₁(x, y, z) F₂(x, y, z) F₃(x, y, z))

F_i sono detti campi scalari (componenti F̲)

F̲(x, y, z) = F₁(x, y, z) i̲ + F₂(x, y, z) j̲ + F₃(x, y, z) k̲

i̲ j̲ k̲ versori fondamentali di ℝ³

Esempio

Campo gravitazionale generato da una massa puntiforme posta nell'origine.

F : ℝ³ \ {O} ⟶ ℝ³ dato da (k>0)

F̲(x, y, z) = - k̲ (xi̲ + yj̲ + zk̲)[q(x, y, z)]³

dove q(x, y, z) = √(x² + y² + z²) → norma

Rotore

Rotore: calcola su un campo vettoriale e restituisce un campo vettoriale

DEF Sia Ω ⊆ ℝ³ aperto dato F̲ : Ω ⟶ ℝ³ c.v. di classe C¹ (cioè le componenti sono di classe C¹)

Si definisce rotore di F̲ il campo vettoriale così definito

Rot F̲ = (F₃y - F₂z) i̲ + (F₁z - F₃x) j̲ + (F₂x - F₁y) k̲

Rot F̲ = ∇ ∧ F̲

∇ = (∂_x, ∂_y, ∂_z)

Campi vettoriali

Definizione

DEF Sia Ω ⊆ ℝ³ sottoinsieme si dice campo vettoriale una funzione Ξ: Ω → ℝ³.

DEF Sia Ω ⊆ ℝ² sottoinsieme si dice campo vettoriale piano una funzione Ξ: Ω → ℝ².

Notazione

Ξ(x, y, z) = (F₁(x, y, z) F₂(x, y, z) F₃(x, y, z))

F_i sono detti campi scalari (componenti F)

Ξ(x, y, z) = F₁(x, y, z) I + F₂(x, y, z) J + F₃(x, y, z) K I, J, K vettori fondamentali di ℝ³

Esempio

Campo gravitazionale generato da una massa attrattiva posta nell'origine.

F: ℝ³ \{O} → ℝ³ dato da (k > 0)

F(x, y, z) = -k ---- (xI + yJ + zK) {q(x, y, z)}ⁿ

dove q(x, y, z) = √(x² + y² + z²) → norma

Rotore

Agisce su un campo vettoriale e restituisce un campo vettoriale

DEF Sia Ω ⊆ ℝ³ aperto. Dato Ξ: Ω → ℝ³ C.V. di classe C¹ (cioè le componenti sono di classe C¹) si definisce rotore di Ξ il campo vettoriale così definito

Rot Ξ = (F₃y - F₂z) I + (F₁z - F₃x) J + (F₂x - F₁y) K

Rot Ξ = ∇ ∧ Ξ

∇ = (∂_x, ∂_y, ∂_z)

Determinante formale

E₁   E₂   E₃

= j (F_3y - F_2z) - i (-F_1z + F_3x) + k (F_2x - F_1y)

Definizione nel piano

Def

Se Ω ⊆ ℝ² aperto Dato E : Ω → ℝ² campo vettoriale Anno di classe C¹ (Ω) si definisce rotore di E il campo vettoriale

rot E = (F_2x - F_1y) k

→ perpendicolare al piano in cui vive E

Divergenza

Basato su un campo vettoriale e restituisce un campo scalare.

Def

Ω ⊆ ℝ³ aperto, E : Ω → ℝ³ campo vettoriale a classe C¹ (Ω) si definisce divergenza di E campo scalare

div E = F_1x + F_2y + F_3z

Analogo per campo vettoriale piano div_pi E = F_1x + F_2y div E = < ∇ E > ∇ = (&partial;x, &partial;y, &partial;z)

Campi irrotazionali e solenoidali

Def

Se rot E = 0 il campo vettoriale E si dice irrotazionale.

Se div E = 0 il campo vettoriale E si dice solenoidale.

Teorema di linearità

Dato Ω ⊆ &Ropf;² aperto ∀ μ, λ &element; &Ropf;, e ∀ E, Gcampi vettoriali di classe C¹ (Ω)

1. Rot (λE +μG) = λ rot E +μ rot G
2. Div (λE +μG) = λ div E +μ div G

Teorema dei legami rotore/divergenza

Teorema (legami rotore/divergenza)

Sia Ω⊆ℝ³ dominio e sia E: Ω→ℝ³ campo vettoriale di classe C²(Ω) e u: Ω→ℝ campo scalare di classe C²(Ω) valgono:

1. Rot(∇u)≡0
2. Div(rot E)≡0

Non ha senso calcolare rot(∇∧E)

△ Dimostrazione

Integrale curvilineo

Def: Sia r: [a,b] ⊂ ℝ→ℝ³ curva regolare e sia F: r([a,b]) ⊂ ℝ³ su estremo Sia poi f: r→ℝ continua si dice integrale curvilineo di f lungo Γ:

∫_Γ fds = ∫_a^b F(r(t)) ‖r'(t)‖ dt

→ Formula di Analisi 1

Osservazioni

1. La funzione F(r(t)) * ‖r'(t)‖ è continua da [a,b] a ℝ quindi è integrabile.

Osservazione

Se F(x,y,z)≡1

∫_Γ ds = ∫_a^b ‖r'(t)‖ dt = L(Γ)

Osservazione

Se Γ è regolare a tratti esiste una partizione {a=x₀ è continua da [a,b] → R ed è quindi integrabile

Notazione

∫_Γ E dx = F₁ dx + F₂ dy + F₃ dz

Def. Se Γ è chiusa, il lavoro prende il nome di circolazione di E e si indica

∮ E ds

Teorema

fra Ω ⊆ R³ aperto connesso e sia Ξ: Ω → R² campo vettoriale continuo, Γ₁ e Γ₂ linee regolari con sostegno contenuto in Ω e tali che Γ₁ = Γ₂ allora:

1. Se Γ₁ ed Γ₂ sono equivalente allora

∫_Γ1 Ξ d_ξ = ∫_Γ2 Ξ d_ξ

2. Se Γ₁ ed Γ₂ sono orientate in senso opposto

∫_Γ1 Ξ d_ξ = - ∫_Γ2 Ξ d_ξ

Osservazione

Si estende ad curva in cui Ξ è regolare ai tratti.

Campi conservativi

Def

Ω ⊆ R³ aperto connesso, Ξ: Ω → R³ campo vettoriale di classe C¹, si dice conservativo se esiste una funzione U: Ω → R di classe C¹ vale che Ξ = ∇U, U si dice potenziale di Ξ.

Esempio

Ξ(x,y,z) = - Kq (x,y,z)³(x,y,z)

Campo gravitazionale è conservativo un suo potenziale è:

U(x,y,z) = - K ---(x,y,z) q (x,y,z)

Osservazione

Se Ξ è conservativo ed U è suo potenziale, tutti e soli potenziali di Ξ sono della forma

U + c di classe di C ∈ R.

∇(U + c) = ∇U = Ξ U + c è potenziale ∀c

Inoltre se due proprietà di un potenziale vale

→ ∇\