Analisi 1 - Teoria, esempi

Esercizi su limiti

Sia f(x) definita in un intervallo I eccetto eventualmente x₀ che è in I, tale che f(x) → ∞ per x → x₀. Allora:

1. [f(x)] → +∞ per x → x₀, dove [f(x)] è la parte intera di f(x)
2. f(x) > 0 per ogni 0 < |x-x₀| < δ con x ∈ I
3. Esiste δ > 0 tale che f(x) > M per ogni 0 < |x-x₀| < δ con x ∈ I

a) Verifica della prima affermazione

È vera, in quanto f(x) ∼ [f(x)] + f{f(x)} + 1 per definizione e di parte intera, e dunque f(x) > [f(x)] ∼ f(x) - 1 per ipotesi che f(x) → +∞ per x → x₀.

b) Considerazione sulla seconda affermazione

È falso, considerata la funzione ƒ(x) = ¹/_x², abbiamo che è definita in R\{0} e che ƒ(x) → +∞ per x → 0, ma per |x| ≥ 1 si ha x > 1 da cui ¹/_x² < ¹/₁.

c) Verifica della terza affermazione

È vera, infatti, dalla definizione di limite abbiamo che preso M ≥ 1 esiste δ > 0 tale che se x ∈ I e 0 < |x-x₀| < 1 allora f(x) > M.

Definizione di limite

Introduzione

&lim;_x→x0 f(x) = l ⇒ g(x) = l ↔ |g(x) - l| < ε ⇒ l - ε < ƒ(x) < l + ε

&lim;_{x → 1} (x + 1) = 2

Stanno chiedendo cosa succede alla quantità x+1 rappresentando l'ordinata dei punti sul grafico quando x si avvicina a x = 1.

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Esercizi su limiti ripetuti

Sia f(x) definita in un intervallo I eccetto eventuali n e c che x = n. Per ε ∈ ℝ, tale che f(x) → ∞ per x → x₀. Allora:

1. f(x) → +∞ per x → x₀, dove f(x) è la parte intera di f(x)
2. f(x) > 0 per ogni 0 < |x-x₀| < l con x ∈ I
3. Esiste s > 0 tale che f(x) > 1 per ogni 0 < |x-x₀| < δ con x ∈ I

È vera, in quanto f(x) ≤ ⌊f(x)⌋ + 1, per definizione e di parte intera e dunque f(x) → ∞ ⇒ ⌊f(x)⌋ → ∞

Dato che f(x) = 1 + \sin x per x ≠ k\pi con qualsiasi m ∈ ℤ, abbiamo m > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ E - \{x\} 0 < x - x₀ < δ allora ⌊f(x)⌋ > M-1 ⇒, essendo δ > 0, tale che x ∈ E, oppure |x-x₀| < δ allora f(x) m > M+1.

È falsa. Considerata la funzione, f(x) > 1 - 1 abbiamo che è definita in ℝ\{0} e che f(x) → ∞ per x → 0 ma per |x| > 1, sin x > 0 da cui 1-x. Dunque esistono degli x ∈ ℝ con 0 < |x| < 1 per i quali f(x) ≠ 0.

È vera. Infatti dalla definizione di limite abbiamo che preso M = 1 esiste δ > 0 tale che se x ∈ E e 0 < |x-x₀| < 1 allora f(x) > 4.

Definizione di limite

Introduzione

&lim;_x→x0 f(x) = l → |g(x) - l| < ε = l - ε < f(x) < l + ε

&lim;_{x → 1} (x + 1) = 2

Si stanno chiedendo cosa succede a &lim;_x (x + 1), che rappresenta l'ordinata dei punti sul grafico quando x si avvicina a &lim;_{x → -1} f(x) = 1

y = x² quando mi avvicino ad x = -1

Perché non sostituire semplicemente il valore a cui tende la x? Perché alcune funzioni hanno comportamenti anomali

y = -3x - 2 / x - 2

&lim;_{x → 2} -3x - 2 / x - 2 = [-8 / 0]

La funzione non è definita in 2, quindi non possiamo sostituire. Oltre agli asintoti (nostro caso) in altre situazioni non sarà possibile sostituire il valore a cui tende la x. Ovvero:

• Punti esclusi
• Salti
• Funzioni definite ovunque tranne che in un punto

I limiti all'infinito

&lim;_{x → ±∞} f(x) =

Dimmi cosa fa f(x) ovvero la y quando faccio diventare la x sempre più grande.

y = f(x)

&lim;_{x → +∞} f(x) = +∞

&lim;_{x → +∞} f(x) = +∞

A x grandissime corrispondono y grandissime.

Ciò che deve verificarsi, per far sì che &lim;_{x → +∞} f(x) = +∞, è che per ogni quota fissata sull'asse delle "m" deve esistere un punto x₀ sull'asse delle x per cui quando x è maggiore di quel punto (cioè quando siamo a destra di x₀), la funzione sta sempre sopra M al crescere della x la y diminuisce.

Vale lo stesso discorso di prima. NON DEVONO NECESSARIAMENTE DECRESCERE. (valore qualsiasi finito) per x molto grandi le y si avvicinano a un valore.

Non esiste (se non nei casi sopra citati) è il caso delle funzioni oscillatori come seno e coseno, che non diminuiscono ma rimangono costanti.

Seno e coseno

Funzioni continue

Una funzione f(x) si dice continua in un punto x₀ ∊ IR se &lim;_{x → x0} f(x) = f(x₀). Che cosa significa?

Graficamente una funzione è continua se non stacca mai la penna dal foglio.

Continua nell'intervallo [a, b]

Cosa potrebbe succedere di strano?

La funzione potrebbe...