Irrazionalità di √2
Supponiamo che esista per assurdo che esiste un numero razionale tale che r2 = 2.
Scriviamo r = p/q con p, q ∈ ℕ, q ≠ 0, e p e q primi tra loro (cioè senza divisori comuni, a parte 1).
Se (p/q)2 = 2, p2/q2 = 2 → p2 = 2q2, perciò p2 è pari.
E quindi p può essere scritto come 2z → p2 = 4z2, perciò 4z2 = p2 = 2q2, ma quindi ho perso! Abbiamo 2 come fattore comune.
Teorema: densità di ℚ in ℝ
Siano a, b ∈ R, con a < b.
Allora esiste q ∈ ℚ t.c. a < q < b, cioè "non ci sono intervalli nella retta reale senza numeri razionali".
Dim: per ipotesi b - a > 0, a ciò applichiamo la propr. di Archimede considerando b - a = a e 1 al posto di b. Propr. Archimede na > b.
Esiste n ∈ ℕ t.c. n(b - a) > 1 - quindi nb - na > 1.
Perciò l'intervallo (na, nb) ha lunghezza > 1.
Allora esiste p ∈ ℤ tale che na < p < nb.
Quindi a < p/n < b e perciò esiste un numero razionale che sta in mezzo.
Irrazionalità di √2
Supponiamo che esista per assurdo che esiste un numero razionale tale che r2 = 2.
Scriviamo r = p/q con p, q ∈ ℕ, q ≠ 0 e p e q primi tra loro (cioè senza divisori comuni, a parte 1).
Se (p/q)2 = 2, p2/q2 = 2 → p2 = 2q2 → perciò p2 è pari e quindi p può essere scritto come 2z → p2 = 4z2.
Perciò 4z2 = p2 = 2q2, ma quindi ho perso - abbiamo 2 come fattore comune.
Teorema: densità di ℚ in ℝ
Siano a, b ∈ ℝ con a < b.
Allora esiste q ∈ ℚ t.c. a < q < b, cioè "non ci sono intervalli nella retta reale senza numeri razionali".
Dim. per ipotesi b - a > 0, a ciò applichiamo la propr. di Archimede considerando b - a = a e 1 al posto di b.
Propr. Archimede: na > b.
Esiste n ∈ ℕ t.c. n(b - a) > 1 → quindi nb - na > 1.
Perciò l'intervallo (na, nb) ha lunghezza > 1.
Allora esiste p ∈ ℤ tale che na < p < nb.
Quindi a < p/n < b e perciò esiste un numero razionale che sta in mezzo.
Disuguaglianza triangolare
- Disuguaglianza: |x + y| ≤ |x| + |y|.
Dim per ogni x ∈ R si ha:
- |x| = x se x ≥ 0.
- |x| = -x se x < 0.
- |y| = y se y ≥ 0.
- |y| = -y se y < 0.
Perciò si ha che -|x| ≤ x ≤ |x| e -|y| ≤ y ≤ |y|.
Quindi omendo diventa -(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ (|x| + |y|).
Perciò si ha:
- Se x + y ≥ 0 => |x + y| = x + y non ci sono problemi.
- Se x + y < 0 => |x + y| = -x - y e quindi si ha che |x| + |y| ≥ -x - y = |x + y|.
Perciò si dimostra che |x + y| ≤ (|x| + |y|).
Seconda disuguaglianza
- Disuguaglianza: ||x| - |y|| ≤ |x - y|.
Dim Tesi.
Per |x| = |(x - y) + y| ≤ |x - y| + |y| => |x| - |y| ≤ |x - y|.
Per |y| = |(y - x) + x| ≤ |y - x| + |x| = |x - y| + |x| = |x - y| + |x| => |x| - |y| ≥ -|x - y|.
Quindi si ha -|x - y| ≤ |x| - |y| ≤ |x - y|.
Perciò si ha ||x| - |y|| ≤ |x - y|.
Caratterizzazione di estremo superiore e inferiore
Sia A ⊆ ℝ e superiormente limitato e sia ⊆ ℚ.
Allora S = sup A se e solo se valgono le seguenti due proprietà:
- 1) S ≥ a per ogni a ∈ A.
- 2) Per ogni ε > 0 esiste aε ∈ A tale che aε > S - ε.
Supponendo vero che S = sup A
Supponendo vero che S = sup A, dimostra che vale 1) e 2).
Per definizione S è il minimo dei maggioranti di A perciò 1) è vera. Per dimostrare 2) prendiamo ε > 0, siccome S è il minimo dei maggioranti, allora S - ε non è un maggiorante.
Prendiamo ora per vere 1) e 2)
Prendiamo ora per vere 1) e 2), dimostra che S = sup A.
1) Ci dice che S è un maggiorante di A. La 2) ci dice che S è il minimo dei maggioranti di A. Infatti se prendiamo S' < S, ponendo ε = S - S' > 0, abbiamo che esiste aε > S' con aε ∈ A.
Def di punto
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
