Analisi 1 prof. Citti

20/09/19

Valore Assoluto

def se x ∈ R poniamo |x| = max (x, -x)

Proprietà

• |x| ≤ a ⟺ -a ≤ x ≤ a

DIM

per x ≥ 0 => x ≥ -x => |x| = x ≤ a

a ≥ 0 => -a ≤ 0

-a ≤ 0 ≤ x ≤ a

per x < 0 => -x > x => |x| = -x ≤ a

a ≤ 0 => -a ≥ 0

a ≤ 0 ≤ -x ≤ a CAMBIO SEGNO -a ≤ x ≤ a

oppure

-a < x < a => -a < -x ≤ a

-a ≤ max (x, -x) ≤ a

perché insieme: maggiori di -a e minori di a

OSS: intuitivamente x ha distanza da zero minore di a

Proprietà del valore assoluto o della distanza

• |x| ≥ 0 ∀ x ∈ R
• |x| = 0 ⇔ x = 0
• |ex| = |e|⋅|x| ∀ x ∈ R
• |x + y| ≤ |x| + |y|
• oss può succedere che |x+y| < |x| + |y| ⟺ ∃ x, y : |x + y| < |x| + |y| (SEGNI OPPOSTI)

Numeri Naturali

1. A ⊆ R
2. 0 ∈ A
3. n ∈ A => n+s è il successivo e ∈ A

A si dice INDUTTIVO

N

def l'intersezione di tutti i sistemi induttivi.

20/09/18

VALORE ASSOLUTO def se x ∈ ℝ poniamo |x| = max (x, -x)

Proprietà

• |x| ≤ a <=> -a ≤ x ≤ a

DIM

per x ≥ 0 => x ≥ 0 => |x| = x ≤ a

a ≥ 0 => -a ≤ 0

-a ≤ 0 ≤ x ≤ a

per x < 0 => -x ≥ x => |x| = -x ≤ a

a ≤ 0 = > -a ≥ 0

a ≤ 0 ≤ -x ≤ a CAMBIO SEGNO -a ≤ x ≤ a

oppure

-a < x < a => -a ≤ x ≤ a

-a ≤ max (x, -x) ≤ a

perché: esempi: maggiori di -a e minori di a

Proprietà del valore assoluto o della distanza

• |x| ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ
• |x| = 0 <=> x = 0
• |ex| = |e||x| ∀ x ∈ ℝ
• |x + y| ≤ |x| + |y|

oss: può succedere che

|x + y| < |x| + |y| <=> ∃ x, y : |x + y| < |x| + |y| (SEGNI OPPOSTI)

Numeri naturali ℕ

def A = ℝ

• 0 ∈ A
• n ∈ A => n+1 e' il successivo e ∈ A

A si dice INDUTTIVO

ℕ def l'intersezione di tutti i sistemi induttivi.

• POTENZA

  ² = 1

  ²ⁿ⁺¹ = 2⋅²ⁿ ∀ n ∈ ℕ

• FATTORIALE

  0! = 1

  (n+1)! = (n+1)⋅n! ∀ n ∈ ℕ

• SUCCESSIONE

  se ∀ n ∈ ℕ è assegnato un numero reale a_n ∈ ℝ

  dirò che è assegnata la successione (a_n)_{n ∈ ℕ}

  es. a_n = (-1)ⁿ ∀ n ∈ ℕ

  • a₁ = -1
  • a₂ = 1
  • a₃ = -1
  • a₄ = 1
• SUCCESSIONE LIMITATA
  • data (a_n)_{n ∈ ℕ} se ∃ b, c ∈ ℝ : b ≤ a_n ≤ c ∀ n ∈ ℕ
• LIMITI
  • data (a_n)_{n ∈ ℕ}
  • n → ∞ a_n = a ∈ ℝ se ∀ ε > 0 e se
  • ∃ n_ε ∈ ℕ : ∀ n ≥ n_ε |a_n - a| < ε

22/09/18

1. 0,3 → a_n = 0.3

   a₂ = 0.33

   a₃ = 0.333

   ε = ¹⁄_10² → precisione 2^a cifra decimale da a₂ in poi

quindi ∃ n_ε = 2

∀ n ≥ 2 |a_n - 0.3| = 0.003 < ¹⁄_10²

2. a_n = (-1)ⁿ ∀ n ∈ ℕ

   ε = ¹⁄₁₀ |a_n - a_n-1| = 2 > ¹⁄₁₀ → NON HA LIMITE

1° Proposizione

Sia (a_n) n ∈ N successione reale, ∃ lim_n→∞ a_n = a ∈ R = 0 => (a_n) n ∈ N limitata

(a_n) n ∈ N limitata ⇔ ∃ M > 0 : |a_n| ≤ M ∀ n ∈ N

|a_n| ≤ M ∀ n ∈ N ⇔ −M ≤ a_n ≤ M ∀ n ∈ N

a = −m e b = M ⇒ (a_n) n ∈ N limitata

a_n ≤ b ≤ |b| + |a|

a_n ≥ a ≥ −|a| ⇒ −|a| − |b|

M = |a| + |b|

−|a| − |b| ≤ a_n ≤ |a| + |b|

DIM

∀ε = 1

∃ nε = m n ∈ N : n≥ n₂ |a_n −a | ≤ 1

−1 ≤ a_n − a ≤ 1 ∀ n _n2

a − 1 ≤ a_n ≤ a + 1 ∀ n > n₁

min |(a_n) n < sub>nε| ≤