Algoritmo ricorsivo per il calcolo di pi greco partendo da poligoni regolari

CRISTIANO TEODORO

teodorocristiano@tiscali.it

per il calcolo di π

Algoritmo ricorsivo

partendo da poligoni regolari

viene illustrato un algoritmo per il calcolo approssimato di π , con il quale,

Sommario: partendo da un poligono regolare si

considera la successione di poligoni regolari dello stesso tipo, ognuno dei quali presenta un numero doppio di lati rispetto al

precedente approssimando sempre di più il loro perimetro alle circonferenze dei due cerchi concentrici, uno inscritto nel

poligono preso in considerazione e l’altro circoscritto al suddetto poligono. I poligoni di partenza presi in considerazione sono il

e l’esagono regolari

triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono ________________

Si consideri un poligono regolare avente un perimetro p di lunghezza uguale a 2. 1

Chiamati con r ed R i raggi rispettivamente del cerchio inscritto nel poligono e del cerchio che lo circoscrive è evidente che il

perimetro del poligono risulta maggiore di 2 π r e minore di 2 π R

Si ha pertanto 2 π r < 2 < 2 π R da cui isolando π si ottiene :

1 1

π

< < r

R p

Si prendano in esame ora quattro tipi di poligoni regolari: indicando con L il valore del lato si ha L = dove con x si indica il

x

numero dei lati. Per ognuno dei quattro tipi di poligoni valgono le seguenti condizioni iniziali:

r R

Per il TRIANGOLO EQILATERO chiamati il raggio del cerchio inscritto ed il raggio del cerchio che lo circoscrive,

0 0

p 2

L

tenendo presente che il valore del suo lato è = si ricava tramite facili considerazioni di geometria elementare che

x 3

valgono i seguenti valori: 3 3

R r

= 2∙ = (1)

0 0

9 9

tale poligono il secondo poligono della successione risulta essere l’esagono regolare per il quale

Risulta evidente che partendo da

se si parte da esso vale quanto più sotto esposto.

r R

il raggio del cerchio inscritto nell’esagono regolare ed

Per il QUADRATO, chiamati il raggio del cerchio che lo

0 0

p 1

circoscrive, tenendo presente che il valore del suo lato è L = si ricava tramite facili considerazioni di geometria

x 2

elementare che valgono i seguenti valori: 1

2 r

R ; (2)

0 o

4 4

r R

Per il PENTAGONO REGOLARE, chiamati il raggio del cerchio inscritto nel pentagono regolare ed il raggio del cerchio

0 0

p 2

tenendo presente che il valore del suo lato è L =

che lo circoscrive, tramite opportune considerazioni di geometria

5 5

p 2

Nota 1 L

tenendo presente che il valore del suo lato è =

elementare e prendendo in considerazione la SEZIONE

, 5 5

1 5

φ =

AUREA , si ricava che valgono i seguenti valori :

2 2 R φ

R r

; = ∙ (3)

0 0 2

5 3

r R

l’ESAGONO il raggio del cerchio inscritto nell’esagono regolare ed

Per REGOLARE, chiamati il raggio del cerchio che

0 0

p 1

tenendo presente che il valore del suo lato è

lo circoscrive, si ricava anche qui tramite facili considerazioni di geometria

6 3 1 3

R r

= = (4)

elementare che valgono i seguenti valori: 0 0 6

3

Considerando per ognuno dei 4 tipi di poligoni regolari suddetti la successione dei poligoni aventi un numero di lati doppio

rispetto al poligono che lo precede, con una lunghezza del perimetro sempre uguale a 2, e iniziando detta successione dalle

per l’esagono,

formule indicate in (1) per il triangolo equilatero, in (2) per il quadrato, in (3) per il pentagono e in (4) si può

dimostrare (vedi [(En] che valgono per tutti i suddetti tipi di poligoni le seguenti relazioni:

R r

r n n

nell’(n+1)-esimo = (5)

:raggio del cerchio inscritto poligono: n 1 2

2

R r R

raggio del cerchio circoscritto all’(n+1) - esimo poligono : (6)

n 1 n 1 n

r R

per n = 0, 1, 2, 3, ……… dove i valori di e di sono quelli riportati in (1) , in (2 ) e in (3)

0 0

r

Osservando che nella relazione (6) compare il termine si possono allora eseguire in modo ricorsivo, partendo da n = 0 e

n 1

n =1, 2, 3 …..:

proseguendo poi con (vale a dire con un loop), le due relazioni (4) e (5) relative ai raggi inscritti e circoscritti

dei poligoni regolari aventi il poligono (n+1) - esimo un numero di lati doppi rispetto al poligono