Algebra riassunto

Gruppi

GRUPPO (G,*), f : GxG → G, a, b → a∗b

• Associativa: a∗b b∗c a, b Є G ( )∗c = a∗( )
• Elemento neutro: ∊ G t. c. e∗a = a∗e = a ∃e
• Elemento inverso: ∊ ∊G ∃ b G t. c. a∗b = b∗a = e ∀a

a∗b = b∗a ¿ Se è commutativa (è abeliano) −1 −1 −1 a∗b( ) = b∗a

N.B.: ∊H a, b H ⊆ G

Sottogruppo

SOTTOGRUPPO: se H sottogruppo rispetto all'operazione * in G, sse dati si ha −1 ∊a∗b H.

∣{ }n ∊ ∊a>¿ a n Z, a, ×)¿ (G

Sottogruppo generato

SOTTOGRUPPO GENERATO: se , a è generatore di G perché ∊ m n m+ n, n Z ∊∀m a × a e m+ n Z = a si ha.

⊲H G

Sottogruppo normale

SOTTOGRUPPO NORMALE H di (G, *) ovvero sse −1 ∊ ∊ ∊a∗h∗a H, G, h H ∀a

N.B.: se G è abeliano ogni sottogruppo è normale.

Classe di resto

∊ ∊r z Z r è il resto della divisione di z per n r∨q Z ∣{́ = ¿=nq+

CLASSE DI RESTO: . Due numeri a,b appartengono alla stessa classe di resto se a/n e b/n danno lo stesso resto r.

Laterali di un gruppo

LATERALI DI (G,*): Ogni sottogruppo H di gruppo (G;*) definisce una relazione di equivalenza su G ∊a b a−b H se

La classe di equivalenza di un elemento a rispetto ∊ ∊a x G x a h∗a x H ∣ ∣{ {́ = ¿= ¿=Ha si chiama laterale destro di G modulo H con rappresentante a.

L'insieme di tutti i laterali destri si indica con G[ ]H :G =¿ ∨¿H G, ∗¿¿

Teorema di Lagrange

TEOREMA DI LAGRANGE: dati allora: ¿G H H ∣ ∣ ∣ ∣= ∗[G: ]

Dim: 1G, ∗¿ G/ H¿

Gruppo quoziente

GRUPPO QUOZIENTE: allora t.c. ⊲H ¿́ ́a b = a∗b́ ∗ ∊G ⟹ ∊e a a e sse a H́ =H ́ =́

È gruppo con elemento neutro ; .G, ∗¿¿

Omomorfismo e isomorfismo

Dati è: ¿ f a∗b a ° f b( )=f ( ) ( )

• Omomorfismo
• Isomorfismo: Se è omomorfismo biiettivo.

GG, ∗¿ ↦V :G → , a á

N.B.: se , l'applicazione è omomorfismo suriettivo con nucleo ⊲H H¿Ker V =H . G, ∗¿¿

Teorema di fattorizzazione

TEOREMA DI FATTORIZZAZIONE: ¿G G( )́ ́' ' '⟶

Allora esiste un omomorfismo f : G t.c. G v f G e G f G è commutativo H H→ → →́ ́ ́⟹ Kerf f, f f e f f v( )=ℑ ( )=Ker ℑ = ∘

Dim: '⟶f : G G omomorfismo di gruppi.

Teorema fondamentale dell'omomorfismo

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'OMOMORFISMO: Ǵ '⟶

Allora esiste un omomorfismo f : GKerf t.c. G( ) ́ ' 'Gv f G e G f G è commutativo Kerf→ → → 2G particolare Imf¿ ≅Kerf

Dim:

Gruppi ciclici

GRUPPI CICLICI a>¿¿∊Ga

Ordine di un elemento

ORDINE DI UN ELEMENTO: l'ordine di un elemento è ord a( )=¿k la ≠ a per ogni k ≠ l allora ord a( )=∞

• Se k l ma per qualche k ≠ l allora ord a dove m è il minimo intero positivo t.c. a( )=m=a =e.
• Se

Dim: na =e ∊

Gruppo ciclico

GRUPPO CICLICO: se (G,*) è gruppo finito di ordine n e a G allora . Un gruppo G si dice ∊ G t.c. G=¿ a>.∃a ciclico se

G G Z; G, G n Z. ∣ ∣ ∣ ∣=∞, ≅ =n ≅ Se se invece Z, +¿

∊Cn a ≠ 0 ∊H=x C nZ=1∨x

Considero l'insieme . È isomorfo a perché ogni può essere ¿ riscritto come 2 Πk 2 Πn n nz z α, α= con k …, n e α 0=0=2 Π=α

∣ ∣= (cosα +isen ) =0,1, =0 n n nZ, +¿nZ

Perciò H è gruppo ciclico di ordine n, ed è quindi isomorfo a .¿

N.B. Se G è gruppo e |G|=p primo, allora G è ciclico. Inoltre ogni gruppo ciclico è abeliano.

⟹ ⟹G p primo G ciclico G Abeliano

∣ ∣= G Z G Z ZG ∣ ∣,° ≃ ≃ /n=∞(G )

Se è un gruppo e allora , altrimenti .

Gruppi simmetrici

GRUPPI SIMMETRICI G, °( )(S )

Teorema di Cailey

TEOREMA DI CAILEY: Ogni gruppo G è isomorfo a un sottogruppo (esiste quindi un G, ∗¿¿ omomorfismo iniettivo ) i:¿

Dim: 3

Permutazioni

PERMUTAZIONI: Consideriamo il gruppo simmetrico di un insieme finito A={1, ... ,n} con ∊n Z.

S A)=S(Il gruppo è detto gruppo simmetrico su n e i suoi elementi sono detti permutazioni n

∣ ∣S !=nn V 12 34, 13 24, 14 23, id=( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N.B. Gruppo di Klein → .ZG t.c. G ∣ ∣ G≅ V=4 ≅

Ogni gruppo G → oppure .4 Z

Segno della permutazione

rΣ dove r è il numero delle inversioni. ( )=(−1 )ϑ

SEGNO DELLA PERMUTAZIONE: n!

⊲A S ∣ ∣A =

N.B.: Si ha en n n 2

Dim: Riguarda l'esercizio 4 foglio 1

Insieme di permutazioni pari

INSIEME DI PERMUTAZIONI PARI: ⟶ ⟼Σ: S, σ σ{ }+1,−1 (ϑ)n A è un omomorfismo di gruppi con nucleo , l'insieme delle permutazioni pari.

n S

Cicli disgiunti

CICLI DISGIUNTI: due cicli si dicono disgiunti se operano su sottoinsiemi disgiunti di , ovvero n

σ 12 345( ) ( ))∗σ =σ ∗σ (esempio 1 2 2 1

Ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti e di trasposizioni.

TEOREMA: Ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti (univocam. determinati a meno dell'ordine) ed è prodotto di trasposizioni

∑ ∊detA σ Sn=N.B. Data la matrice A si ha . Per n=3,nxndetA a a a a a a a a a=a =a + +a

REGOLA DI SARUS 1 σ 2 σ 3 σ 11 22 33 12 23 31 13 21 32(1) (2) (3) 4

Gruppi risolubili

GRUPPI RISOLUBILI G, ∗¿¿

Sottogruppo generato

SOTTOGRUPPO GENERATO: , allora ¿ −1 ∊ ∊ ∊A a … .. a N, a A oppure a A¿ >¿ ∨n1 n i i −1 −1[ ]

Sottogruppo commutatore

∊a, b G, a, b =a∗b∗a −1∗b

SOTTOGRUPPO COMMUTATORE: per . Allora il sottogruppo [ ]a, b generato dagli è detto sottogruppo commutatore:

∣∊ ∊ ∊G∣ {{ } [ ] [ ][ ]K G a, b a, b G a, b …∗ a, b n N, a, b( )=¿ >¿ ∗ ¿1 1 n n

N.B.:

1. G è abeliano se e solo se K(G) ={e}. −1 −1[ ]a, b sse ab=ba=a∗b∗a ∗b =e( )
2. Per ogni omomorfismo di gruppi f :G →G ' ff G K( )(K ) ⊂ (G )2. Se è suriettiva allora K G ')( )( ) =K (G . a 1¿]f b, f a, f b( ( ) ( )(¿) ∗…∗[f ]( )1 n n( ) ( )−1 −1 ( )[ ] [ ][ ]f a, b a b a b a, b a, b( )∗f ( )∗f=f ∗f =f ∗…∗ =¿1 1 n n
3. ⊲K G G.( )
4. K(G) è il più piccolo sottogruppo normale N di G tale che G/N sia abeliano.
5. ́ ́ −1[ ]a b= b∗́a sse a, b a∗b b∗a=( )( )(́ ∗ )1 2 i i−1 ⟹ ⟹K K K G K K G( ) ( )(G)=K (G) (G)=K ( ) (G)= (K )

⟹K G e G Abeliano{ }( )= N i−1 ⟹ ⊲K G e catena e ≤ N ≤ … N ≤ N tale che N N e abeliano{ } { }( )= ∃una =N =Gn n−1 1 0 i i−1 N i,°(G )

Gruppo risolubile

GRUPPO RISOLUBILE: Sono equivalenti i seguenti enunciati per :nN t.c. K G e{ }( )∃n ∈ =

1. ; N i−1 ⊲catena e ≤ … N ≤ N tale che N N e abeliano{ }∃una =N =G2) n 1 0 i i−1 N i
2. Allora questo gruppo è risolubile. G⟸ ⊲ogni H ≤ Grisolubile Grisolubile risolubile con N G⇔ N

Anelli

ANELLI

ANELLO: (R, +, ∙), R≠⍉ e con due operazioni ∙: R → R+, 5

• (R, +) abeliano con elemento neutro 0 R;
• (R, ∙) gode della proprietà associativa e possiede elemento neutro 1 R
• Leggi distributive: a+b c=ac( ) +bc a b+c ac( ) =ab+

Se (R, ∙) gode della proprietà commutativa, allora l'anello è commutativo.

Lemma

LEMMA:

• ∊ ∊ -1a R invertibile se b R t.c. ab=ba=1 . b è univocamente determinato e si indica a .∃ R¿
• ∊1 R, e R R⊂ {0 ¿
• R* insieme degli invertibili, R R

Dominio

DOMINIO: (R; +; ∙) si dice dominio (di integrità) se R* è commutativo e non possiede divisori di zero, ∊a, b R ab=0{0 ¿ ovvero se non esistono elementi t.c. .R R¿

Campo

CAMPO: (R; +; ∙) si dice campo se R* è commutativo e , in altre parole, se ( , ∙) è RR {0 ¿=R {0 ¿ RR abeliano.

Sottoanello e sottocampo

SOTTOANELLO (SOTTOCAMPO): (R; +; ∙), S R, S sottoanello (sottocampo) se S anello (campo) ⊂ rispetto alle operazioni in R.

• ∊ ∊ ∊Se R anello, S sottoanello sse (S, +) ≤ (R, +), 1 S e xy S x, y S.∀R
• Se R campo, S sottocampo sse (S, +) ≤ (R, +) e (S \ {0 }, ∙) ≤ (R\ {0 }, ∙).R R

Ogni campo è un dominio ⇒ Vedi 6.4 (5,6)

N.B. Se R è dominio allora [ ]R x è dominio

• ∊ [ ]deg fg f deg g per f, g R x( )=deg ( )+ ( )
• ;¿ ¿R x]=R[
• ; n m∑ ∑i i∊ n m[ ]f, g R x, f a x e g= b y{0¿ = a b ≠ 0

Infatti se allora il coefficiente direttivo di fg è .i ii=0 i=0

Inoltre se ⟹fg=1 deg f deg g 1( )+ ( )=deg ( ) =0

[ ] [ ]R x R x ¿∊f g f g=b a b a b R( )=deg ( )=0⇒deg ⇒ =a =1 ⇒0 0 0 0 R 0 0¿ ¿

⟹ [ ]R x] R dominio R x è dominio=R[ ⇐⇓ ∊ [ ]deg fg f deg g per f, g R x( )=deg ( )+ ( )

Ideali

IDEALI

IDEALE: (R, +, ∙) anello. Allora I⊂R è ideale se:

1. ∊ ∊a+b I a, b I∀;
2. ∊ ∊ ∊ra=ar I per a I, r R.

6Se I≠R, I IDEALE