Algebra lineare: teoria ed esercizi

Algebra lineare

Lo spazio vettoriale R^m

M ∈ N\{0}

R^m = { (x₁, x₂, ..., x_m) | x_i ∈ R i = 1,...,m}

R² = { (x₁, x₂) | x₁, x₂ ∈ R } = R x R

R³ = { (x₁, x₂, x₃)} x₁, x₂ ∈ R } = R x R x R

Def. somma e prodotto per uno scalare

Siano x,y ∈ R^m x = (x₁,..., x_m) e y = (y₁,..., y_m)

R^m ∋ x+y _def = (x₁+y₁, x₂+y₂, ..., x_n+y_n) ∈ R^m

∀ λ ∈ R x _def ( λ x₁, x₂, ..., λ x_m) ∈ R^m

Proprietà

• La somma verifica le proprietà commutative e associative
• Il vettore 0=(0,...,0) ∈ R^m è l'elemento neutro della somma
• ∀x ∈ R^m ∃ l'inverso rispetto all'addizione che è -x = (-y₁,..., -x_m)

Es: x=(1,2,3), y=(0,1,0) ∈ R³

x+y=(1+0, 2+1, 3+0) = (1,3,3)

5y= 5(0,1,0) = (0,5,0)

Algebra lineare

Lo spazio vettoriale \(\mathbb{R}^M\)

\(M \in \mathbb{N}\{0\}\)

\(\mathbb{R}^M = \{(x_1, x_2, \ldots, x_M) \, | \, x_i \in \mathbb{R} \, i = 1, \ldots, m\}\)

\(\mathbb{R}^2 = \{(x_1, x_2) \, | \, x_1, x_2 \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)

\(\mathbb{R}^3 = \{(x_1, x_2, x_3) \} \, x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}\) \(\} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)

Def. somma e prodotto per uno scalare

Siano x, y \(\in \mathbb{R}^M\) \(x = (x_1, \ldots, x_M)\) e \(y = (y_1, \ldots, y_M)\)

\(\mathbb{R}^M \ni x + y \overset{\text{def.}}{=} (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_M + y_M) \in \mathbb{R}^M\)

\(\forall \lambda \in \mathbb{R}\) \(x \cdot \lambda \overset{\text{def.}}{=} (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_M) \in \mathbb{R}^M\)

Proprietà

• La somma verifica le proprietà commutativa e associativa.
• Il vettore \(0 = (0, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^M\) è l'elemento neutro della somma, cioè \(x + 0 = 0 + x = x \, \forall x \in \mathbb{R}^M\)
• \(\forall x \in \mathbb{R}^M\) \(\exists\) l'inverso rispetto l'addizione che è: \(-x = (-y_1, \ldots, -x_M)\) cioè \(x + (-x) = 0\)

Esempio: \(x = (1, 2, 3), y = (0, 1, 0) \in \mathbb{R}^3\)

\(x + y = (1+0, 2+1, 3+0) = (1, 3, 3)\)

\(5y = 5(0, 1, 0) = (5 \cdot 0, 5 \cdot 1, 5 \cdot 0) = (0, 5, 0)\)

Significato geometrico della + in R²

Regola del parallelogramma

Vettori linearmente indipendenti

Siano v₁, ..., v_p ∈ R^m. Diremo che v₁, ..., v_p sono linearmente indipendenti se c₁, c₂, ..., c_p ∈ R tale che c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_pv_p = 0

c₁ = c₂ = ... = c_p = 0

Es. fondamentale

IR² v₁ = (1,0) v₂ = (0,1) v₁, v₂ sono l. indipendenti?

Siano c₁, c₂ ∈ IR: c₁v₁ + c₂v₂ = 0

Due vettori sono uguali quando le loro componenti sono uguali

ES

ℝ³v₁ = (1, 0, 0)

v₂ = (0, 1, 0)

v₃ = (0, 0, 1)

Sono linearmente dipendenti ⇒ Stanno sugli assi

ES

ℝ³v₁ = (2, 1, 0)

v₂ = (4, 2, 0)

Sono l. ind.?

∀ C₁, C₂ ∈ ℝ : C₁ · v₁ + C₂ · v₂ = 0 ⇒C₁ = C₂ = 0 Falso!

C₁ · v₁ + C₂ · v₂ = C₁ (2, 1, 0) + C₂ (4, 2, 0) == (2 · C₁, C₁, 0) + (4 · C₂, 2 · C₂, 0) == (2C₁ + 4C₂, C₁ + 2C₂, 0) = (0, 0, 0)

2C₁ + 4C₂ = 0

C₁ + 2C₂ = 0

0 = 0

-4C₂ + 4C₂ = 0

C₁ = -2C₂

0 = 0

C₁ = -2C₂

Posso prendere C₂ = 1

C₁ = -2 ⇒ non devono per forza essere = 0

Sottospazi vettoriali di R^m

Sia V ⊆ R^m. Diciamo che V è un sottospazio vettoriale se

• ∀ x, y ∈ V → x + y ∈ V
• ∀ x ∈ V ∀ &