Algebra lineare

Algebra lineare

Marco Leonardi

• Strutture algebriche e spazi vettoriali 2
• Dipendenza lineare e basi 4
• Scrivere in coordinate rispetto ad una base 5
• Ripassi matrici 6
• Sistemi lineari 7
• Mosse di Gauss 7
• Teorema di Rouché Capelli 7
• Metodo di Cramer 9
• Funzioni lineari 10
• Teorema del rango 10
• Esistenza ed unicità 12
• Matrici associate 12
• Endomorfismi 12
• Autovettori e autospazi 12
• Diagonalizzabilità: 14
• Proiezioni 14
• Proiezioni ortogonali 14
• Forme bilineari 16
• Basi ortogonali e ortonormali 17
• Teorema di Sylvester 17
• Segnatura 18
• Modi per calcolare la segnatura 18
• Matrici congruenti 20
• Algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt 21
• Sottospazi ortogonali 22
• Matrici ortogonali 23
• Teorema spettrale 25
• Conseguenze 26
• Isometrie 27
• Isometrie nel piano 27
• Isometrie nello spazio R3 28
• Geometria 30
• Rette 30
• Piano 32
• Distanze 33
• Distanze nel piano 33
• Distanze nello spazio 34

Strutture algebriche e spazi vettoriali

Def. Gruppo: Un insieme G, su cui è definita un’operazione binaria con proprietà associativa, elemento neutro ed elemento inverso.

Ex: è un gruppo. Se vale la proprietà commutativa, si dice gruppo commutativo. (, +)

Def. Anello: Un gruppo A, si dice anello se su di esso vale anche una seconda operazione binaria con le rispettive proprietà associative e distributive.

Ex: è un anello. (, ×, +)

Def. Campo: Un anello K, su cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, e su cui valgono le seguenti proprietà, si chiama Campo:

Proprietà della somma in un campo:

• Commutativa
• Associativa
• Elemento neutro
• Elemento opposto

Proprietà del prodotto in un campo:

• Commutativa
• Associativa
• Elemento neutro
• Elemento inverso

Esempi: non è nemmeno un gruppo (non ha inverso rispetto alla somma). è un anello ma non un campo. sono campi., ,

Def. Spazio vettoriale: Sia K un campo e V un insieme.

V(K) si chiama spazio vettoriale a valori in K, o K-Spazio vettoriale, se su V le operazioni di somma e prodotto sono contenute, e se il vettore nullo fa parte di V.

Per chiusura di somma e prodotto si intende: , ∈ → + ∈ ∀ ∈ 1 2 1 2 ∈ , λ ∈ → λ ∈ ∀ ∈ , ∀λ ∈ .

Se lo spazio vettoriale contiene solo e soltanto il vettore nullo , si chiama banale. 0

Nota: si chiama Spazio Euclideo.

Def. Sottospazio vettoriale: Un insieme non vuoto è un sottospazio vettoriale se è ⊆ chiuso rispetto alle operazioni di V.

Teorema: L’intersezione di due sottospazi vettoriali è sempre un sottospazio, mentre l’unione è un sottospazio solo se i due sottospazi sono uno dentro l’altro.

Dimostrazione: L’intersezione di due sottospazi è ancora un sottospazio: Dati ., ⊆

1. . Poiché per definizione 0 ∈ ∩ 0 ∈ , 0 ∈
2. . Infatti se i due vettori stanno nell’intersezione,, ∈ ∩ ⇒ + ∈ ∩ stanno anche entrambi in U ed entrambi in W. Ovvero, la loro somma sta in W e sta in U, quindi nell’intersezione.
3. . Analogo al punto 2. ∈ ∩ ⇒ α ∈ ∩

Contro-esempio di unione di sottospazi:

2 Sia . Siano U,W i sottospazi degli assi di V: , = = { = 0} = {1, 0}. In questo caso, tutti i punti che stanno sugli assi appartengono = { = 0} = {0, 1} all’unione di U e W, ma la loro somma no.

Se sono uno dentro l’altro, l’unione è il sottospazio più grande, quindi ovviamente è un sottospazio.

Def. Somma di sottospazi: Dati due sottospazi , si definisce la loro somma come:, ∈ + : = { + | ∈ , ∈ } ⊆

Ovvero l’insieme di tutti i vettori di V che possono essere scritti come somma di vettori di U ed i vettori di W. La somma di due sottospazi è un sottospazio.

Def. Combinazione lineare - Spanning Set: Dati k vettori in uno spazio vettoriale V(K), si chiama combinazione lineare di , ,..., ,..., 1 1 ogni possibile vettore w della forma: = α +... + α α ∈ 1 1

Ovvero tutti i vettori che posso creare sommando tra loro e tra loro multipli, i vettori . ,..., 1

L’insieme di tutte le combinazioni lineari di dati vettori, si indica con , ed è il più { ,..., }1 piccolo possibile sottospazio di V che contiene . ,..., 1

Def. Spazio finitamente generato: Un K-Spazio V si dice finitamente generato se esiste un numero finito di vettori , tali che tutti i vettori di V siano combinazioni lineari di ,..., 1 . ,..., 1

Il K-Spazio V sarà quindi generato da : V=Span{ } ,..., ,..., 1 1 { ,..., } = ∑ α | α ∈ 1 =1

L’insieme dei generatori di uno spazio non è unico.

Def. Sottospazio invariante: Dato uno spazio vettoriale V e l’endomorfismo : → . Un sottospazio , si dice invariante se la sua immagine attraverso l’operatore è ⊆ contenuta in se stesso. () ⊆ .

Dipendenza lineare e basi

Def. Sia V(K) uno spazio vettoriale. Dati k vettori , questi si dicono linearmente ,..., 1 indipendenti se l’unico modo di esprimere il vettore nullo attraverso una loro combinazione lineare, è con coefficienti scalari tutti nulli.

Ovvero se nessuno tra di loro è combinazione lineare di nessuno degli altri.

In caso contrario, si dicono linearmente dipendenti.

Def. Base: Un insieme ordinato di vettori generatori linearmente indipendenti di V si chiama Base dello spazio V.

Una base è un insieme minimale di generatori, e massimale di vettori linearmente indipendenti.

Per comodità solitamente si usano le basi canoniche degli spazi: ξ ⊆ = {(} 2 ξ ⊆ []: = {1, , ,..., }≤

Un sottospazio può avere più di una base, ma tutte avranno la stessa cardinalità e stessa dimensione.

Def. Dimensione: La dimensione di uno spazio vettoriale V, corrisponde alla(), cardinalità (numero di elementi) di una e tutte le sue basi.

Formula di Grassman

Siano S e T due sottospazi di V(K), allora la dimensione di S+T è: ( + ): = () + () − ( ∩ )

Dimostrazione:

Sia una base di . Poiché l’intersezione è un sottospazio sia di S che di T, = { ,..., } ∩ 1 posso completare la base B in altre basi e . = { ,..., , ,..., } 1 +1 = { ,..., , ,..., } 1 +1

E indico: () = () = ( ∩ ) =

Voglio adesso dimostrare che . ( + ) = + −

Mi basta dimostrare che è una base di S+T, in quanto questa { ,..., , ,..., , ,..., }1 +1 +1 ha n vettori v, più m-k vettori w.

Sappiamo che questi vettori generano, però bisogna dimostrare che sono linearmente indipendenti. Ovvero che l’unico modo affinché questa equazione sia vera: + = α +... + α + β +... + β = 01 1 1 +1 −

È a coefficienti tutti nulli.

Posso riscriverlo come: α +... + α =− β −... − β 1 1 +1 −

Il primo membro di questa uguaglianza è un vettore di S, mentre il secondo è un vettore di T.

Ma se questi sono uguali, e posso scriverli in due modi diversi, significa che è lo stesso vettore, e appartiene quindi all’intersezione.

Posso quindi riscriverlo come combinazione lineare di vettori della base B: − β −... − β = γ +... + γ 1 +1 − 1 1

Ma sono una base di T, quindi sono sicuramente linearmente {γ ,..., γ , ,..., }1 +1 indipendenti. E i coefficienti sono quindi tutti nulli. Allo stesso modo lo sono quelli della base di S. E quindi quelli dell’intersezione sono anche tutti nulli.

Coordinate rispetto ad una base

Sia B={ } una base di V(K), dim(v)=n. Ogni vettore v di V si può scrivere come ,..., 1 combinazione lineare dei vettori di B: = α +... + α 1 1

Poiché questa espressione è unica, i coefficienti scalari possono essere usati come coordinate per esprimere ogni vettore di V in base a B: ()1 = α +... + α = ( 1 1

Def. Funzione Coordinate: La funzione , che associa ad ogni elemento di V una φ : → combinazione di scalari di , è una funzione lineare, iniettiva e suriettiva (invertibile).

Def. Isomorfismo: Una funzione lineare ed invertibile si dice Isomorfismo. Tutti gli spazi vettoriali di stessa dimensione sono isomorfi attraverso un isomorfismo.

Nozioni matrici

Una Matrice T si dice triangolare superiore o inferiore, se tutti i suoi elementi non nulli sono rispettivamente sopra o sotto la diagonale principale: : = { ∈ () | = 0, > ( <) }

Se tutti e soli gli elementi sono sulla diagonale principale, allora la matrice si dice Diagonale.

Def. Una Matrice si dice simmetrica se , ovvero se è uguale alla sua trasposta. = ()

Prodotto Righe per Colonne: Data Posso definire il prodotto A(1 ∈ () ∈ .., ()1

Se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe della colonna di scalari (n); come:

Mosse di Gauss

Def. Rango: Si definisce rango di una matrice, la dimensione del sottospazio generato dalle righe o dalle colonne della matrice. Ovvero il numero di righe o colonne LIN IND.

In una matrice a scala, il rango è uguale al numero di righe non nulle (o colonne).

Le mosse di Gauss preservano il rango di una matrice, ma non il sottospazio generato.

Matrice invertibile: Una matrice quadrata A si dice invertibile se esiste un’altra matrice B tale che: = =

Nota: Una matrice è invertibile solo se il suo rango è massimo.

Def. Determinante: Il determinante di una matrice, corrisponde alla proporzione di cambiamento di un’area trasformata dalla funzione associata alla matrice.

La funzione che ad ogni matrice quadrata associa il suo determinante, non è una funzione lineare.

Teorema di Binet: det(AB) = det(A)det(B) −1 1

Se A è invertibile, det( ) = det()

• Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0.

Sistemi lineari

Mosse di Gauss

Un sistema lineare è un insieme di k equazioni lineari in n variabili. Si può scrivere sotto forma di matrice attraverso i coefficienti:

E si possono unire in un’unica matrice di dimensioni k x n+1. = (|)

Le mosse di Gauss sono algoritmi che semplificano la matrice C, senza modificare l’insieme delle soluzioni del sistema: ⊆

1. . Scambiando due righe qualsiasi della matrice, le soluzioni non cambiano. ↔
2. . Moltiplicando una riga per uno scalare non nullo, le soluzioni non ↔ λ , λ≠ 0 cambiano
3. . Aggiungendo ad una riga, un’altra moltiplicata per uno scalare non = + λ nullo, le soluzioni non cambiano.

Teorema di Rouché Capelli

Sia un sistema lineare di k equazioni in n incognite. Allora il sistema ha soluzioni se = e solo se . Se ci sono soluzioni, queste saranno della forma: ,() = (|) + 0 dove è una particolare soluzione del sistema, e KerA è l’insieme delle soluzioni del 0 sistema omogeneo associato. Lo spazio delle soluzioni è un sottospazio affine di ⊆ dimensione − (). −()

Inoltre, il numero di soluzioni di un sistema è dato da: . ∞

Quindi esiste un’unica soluzione solo quando , mentre se = () = (|), esistono infinite soluzioni dipendenti da parametri. () = (|) < − ()

Dimostrazione:

Dato un sistema lineare:

Di k equazioni in n incognite.

La matrice A sarà dei coefficienti, e il vettore . Dimostriamo prima che il = ( ) = 1 1 sistema ha soluzioni se e solo se dove sono le colonne di ∈ { ,..., } ... coefficienti. Possiamo quindi riscrivere il sistema come: 1 . +.... + = 1

Da questa scrittura si nota subito che, affinché questa equazione sia verificata, b deve 1 essere combinazione lineare di delle colonne a coefficienti . ,..., ,..., 1

Data questa proposizione, possiamo affermare che: 1 1 , poiché se aggiungo un vettore dipendente ad uno = { ,..., } = { ,..., , } span non succede niente.

E quindi , poiché il rango indica proprio il numero di valori dipendenti in un () = (|) sistema.

Se b non è combinazione delle colonne, si ha che 1 1 ( ,..., ) ⊂ { ,..., , }

E quindi . (| > ()

Se ci sono soluzioni, sappiamo che la dimensione di S (insieme delle soluzioni) è pari alla dimensione dello spazio , ovvero l’insieme delle soluzioni del sistema lineare associato. 0

Sappiamo che . ( ) = − () = ()0

Metodo di Cramer

Dato un sistema lineare quadrato con soluzioni uniche, ovvero , queste () = (|) = si possono trovare attraverso i determinanti dei minori della matrice . |2

In :

Si definiscono come: : =

Ovvero il determinante della sottomatrice data dai termini noti e i coefficienti di y. : =

Ovvero il determinante della sottomatrice data dai coefficienti di x e i termini noti.

Si ha poi: , = =() ()

3 In :

Stesso procedimento: : = : = : =

Sostituisco la colonna della incognita che sto calcolando con la colonna dei termini noti. , = = , =() () ()

Funzioni lineari

Def. Una funzione tra due K-Spazi V e W, si dice lineare se valgono le: → , proposizioni:

1. , ( + ) = () + () ∀, ∈
2. . (λ) = λ(), ∀ ∈ , ∀λ ∈

Se il dominio ed il codominio dell’applicazione sono uguali, la questa si dirà Endomorfismo.

Nucleo di una funzione: Data , si definisce nucleo di f, , il seguente: → () sottospazio: (): = { ∈ | () = 0 }

Corollario: Una funzione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è banale.

Dimostrazione: Per definizione di linearità, ogni funzione lineare passa per l’origine: . Se ci sono altri vettori che vengono mappati nell’origine, (0) = (0) = 0() = 0 = 0 allora la funzione non è iniettiva ed il suo nucleo non è banale.

Immagine di una funzione: Data , si definisce immagine di f, , il seguente: → () sottospazio: (): = { ∈ V |