Algebra lineare (formulario)

Algebra lineare

Spazio vettoriale (proprietà)

(x, y) -> x + y

(λ, x) -> λx

• 1. Commutativa: x + y = y + x
• 2. Associativa (x + y) + z = x + (y + z)
• 3. Elemento neutro
• 4. Opposto
• 5. (λμ) x = λ(μx)
• 6. 1x = x, (λ+μ)x = λx + μx
• 7. λ(x+y) = λx + λy
• 8. 1 = x x =

Formula di Grassmann

Formula di Grassmann dim (U + V) = dim V + dim W - dim (U ∩ V)

Funzioni lineari (proprietà)

• F(x₁+x₂) = f(x₁) + f(x₂)
• F(λx) = λf(x)

Ker (f) = {a₁a₂b} -> f iniettiva

Im (f) = W -> f suriettiva

dim (Ker f) + dim (Im f) = dim V

Teorema di Rouché-Capelli

Soluzione <=> rg (A|B) = rg (A)

Se rg = n Soluzione unica

Se k < m infinite soluzioni

Omomorfismo: funzione lineare

Isomorfismo: funzione biiettiva (iniettabile)

Endomorfismo dim: V = V

Matrice

Matrice m x n (m righe n colonne)

a₁₁ a_2m

a₁₁ a_2m

a_nm

U = k per trasformare in funzione di parametri, attribuisco un valore a caso alle indeterminate e trovo le altre

U_L = {( )( )} -> per trasformare in algebra, basta combinazione lineare

Le colonne alte (a²¹ (a³²) ed esprimo x in funzione di x bassa o λ

Im (Φβ) = # colonne L.I

Colonna 0.1

• Dominio: calcolo immagini e l'inserisco nella matrice
• Codominio: calcolo solo vettori base in vettori vecchi e poi calcolo le immagini

Algebra lineare

Spazio vettoriale (proprietà)

(x,y) → x+y

(λ,x) → λx

• Commutativa: x+y = y+x
• Associativa (x+y)+z = x+(y+z)
• Elemento nullo
• Opposto
• (λμ)x = λ(μx)
• λ(x+y) = λx + λy
• (λ+μ)x = λx + μx
• 1x = x

Formula di Grassmann

dim(U+V+W) = dim U + dim W - dim(U∩V)

Funzioni lineari (proprietà)

• F(x+λy) = f(x) + λf(y) e Ker(β') = 0
• F(dx+d'y) = df(x) + d'f(y)

Ker(β') = {0} ⇒ β iniettiva

Im(β) = W ⇒ β suriettiva

dim(Ker(φ)) + dim(Im(φ)) = dim V

Teorema di Rouché-Capelli

Teorema di Rouché-Capelli

Soluzioni: ⇔ rg(A|B) = rg(A)

Se r=n Soluzione unica

Se r<n infinite soluzioni

Omomorfismo: funzione lineare

Isomorfismo funzione biiettiva (invertibile) ⇔ m=n

Endomorfismo: U → U

Matrice m×n

MATRICE m×n(m righe n colonne)

a_nm

U={} per trasformare in combin a di generatori, attribuisco un valore a caso alle n incognite e trovo le altre

U_x={} per trasformare in scaletta R eche form combina zone lineare

Cocomo abi altins x(λI λ)x senza λ → λ

Im(cβ) = r colonne LI

Calcolo b.c.

• 1) Dominico: calcoli immagini e lancasco mella matrico
• 2) Codominix: aprimo duex vectora base in vectara vecchi e pri calcolo

Determinanti

Determinanti

A = ^{a c}/_{b d} det A = ad - bc

A invertibile ⇔ det A ≠ 0

Permutazioni di m oggetti

sgn (σ) = ± 1 n° pari

Σ_σ∈Sm sgn (σ) a_{1 σ(1)}a_{2 σ(2)}...a_mσ(m)

det(A) = det(A^T)

Teorema di Binet

TREOEMA DI BINET

det(A · B) = det A · det B

Formula di Laplace

Formula di Laplace

Auto v.a = λ ⇒ Aλ = λν autovalore

(A - λI) ∈ ν = 0 polinomio caratteristico

Molteplicità geometrica e molteplicità algebraica

Forme canoniche di Jordan

Forme canoniche di Jordan

Matrici simmetriche

Algebra

Matrice _{C x C}

(A - λI) = 0

det(A) λ₁…λ_n

Formula al cambiamento

Cambiata la base

A S = S D <=> B = S^-1 A S

B = S D S^-1

D matrice diagonale

Prodotti scalari

Prodotti scalari: v • w = ||v|| ||w|| cosθ ; cosα = v • w / ||v|| ||w||

Affine

v' = λ v + μ w

w' = μ u + μ v

Anti-simmetrica

Simmetrica

Non degenerare

Disuguaglianza Cauchy-Schwarz: |v • w|