Algebra Lineare

Definizione di dipendenza lineare

Siano x e y i vettori di uno stesso spazio vettoriale, se è possibile scrivere y = αx per almeno un valore α ∈ R allora x è lin. dipendente da y. Altrimenti si parla di indipendenza lineare.

Cos'è uno spazio vettoriale?

È una struttura algebrica composta da:

• Un campo, i cui elementi sono detti scalari
• Un insieme, i cui elementi sono detti vettori
• In cui sono definite due operazioni:
• Somma
• Moltiplicazione scalare

Definizione di insieme delle parti

L'insieme delle parti di un insieme A, è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A. Esso si indica con ℘(A).

Definizione di endomorfismo

Un endomorfismo di una struttura algebrica, ad esempio uno spazio lineare o vettoriale, è una funzione della struttura algebrica in se stessa.

Definizione di rango

Esistono diverse definizioni di campo:

• Il numero di pivot di una soluzione a scalare
• Il massimo numero di colonne lin. indipendenti
• Il massimo numero di righe lin. indipendenti
• La dimensione del sottospazio di ℝ^m generato dalle colonne di una matrice
• La dimensione del sottospazio di ℝ^m generato dalle righe di una matrice

Definizione di dipendenza lineare

Siano x e y due vettori di uno stesso spazio vettoriale, se è possibile scrivere y = ax per almeno un valore a ∈ R allora x è lin. dipendente da y. Altrimenti si parla di indipendenza lineare.

Cos'è uno spazio lineare o vettoriale?

È una struttura algebrica composta da:

• Un campo, i cui elementi sono detti scalari
• Un insieme, i cui elementi sono detti vettori
• In cui sono definite due operazioni:
• Somma
• Moltiplicazione scalare

Definizione di insieme delle parti

L'insieme delle parti di un insieme A, è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A. Esso indica con P(A).

Definizione di endomorfismo

Un endomorfismo di una struttura algebrica, ad esempio uno spazio lineare o vettoriale, è una funzione della struttura algebrica in se stessa.

Definizione di rango

Esistono diverse definizioni di campo:

• Il numero di pivot di una colonna a scalare
• Il massimo numero di colonne lin. indipendenti
• Il massimo numero di righe lin. indipendenti
• La dimensione del sottospazio di R^m generato dalle colonne di una matrice
• La dimensione del sottospazio di R^m generato dalle righe di una matrice

Differenza tra zero ed elemento neutro

Lo zero è l'elemento neutro della somma, mentre ad esempio il numero 1 è l'elemento neutro del prodotto. Fissiamo quindi definire l'elemento neutro come quell'elemento che non modifica un'operazione, va esso posto a sinistra o destra.

Cos'è una combinazione lineare?

Una combinazione lineare è un'espressione del tipo:

λ₁ v₁ + λ₂ v₂ + ... + λ_m v_m oppure ∑_i=1^m λ_i x_i

Dove λ₁, ..., λ_m sono gli scalari dello spazio vettoriale, e invece v₁, ..., v_n i vettori, o elementi dello spazio vettoriale.

Cos'è un prodotto cartesiano?

È l'insieme delle coppie ordinate (a, b).

A x B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}

Cos'è una base di uno spazio vettoriale?

È un sistema di generatori linearmente indipendenti con il quale possiamo descrivere tutti i vettori dello spazio vettoriale mediante combinazioni lineari.

Cos'è un generatore o insieme di generatori

Sono un insieme di vettori linearmente indipendenti tale per cui è possibile esprimere ogni vettore di un certo spazio vettoriale tramite le loro combinazioni.

Definizione di combinazione

Dati m e k valori interi positivi si definisce combinazione di m elementi presi a k alla volta ogni sottoinsieme di k elementi estratti da un insieme di m elementi.

m! / [k! (m-k)!]

Definizione di permutazione

Una permutazione è una funzione biunivoca f : X → X, ed è un modo di ordinare in successione oggetti simili, come ad esempio le parole di un anagramma.

m! / (m-k)!

Differenza tra sottoinsiemi (proprio, improprio)

Preso un insieme A, un sottoinsieme proprio di A è un insieme che contiene parte degli elementi di A. Mentre un sottoinsieme improprio di A è un insieme che può essere o vuoto o coincide con A.

Metodo di eliminazione di Gauss

Rappresenta un metodo utilizzato per la risoluzione di un sistema di m equazioni in n incognite e si basa sull’osservazione che, se la matrice del sistema è