Algebra e geometria lineare - le applicazioni lineari

Definizione di applicazione lineare

Siano \( V \) e \( W \) due spazi vettoriali sul campo \( K \). Dire che \( f: V \rightarrow W \) è un'applicazione lineare significa che \( f \) è lineare in quanto rispetta le seguenti proprietà:

1. \( f(x+y) = f(x) + f(y) \) qualunque siano \( x, y \in V \) (cioè l'immagine della somma di due elementi è uguale alla somma delle immagini);
2. \( f(ax) = a f(x) \) qualunque siano \( a \in K \), \( x \in V \).

\( \forall x, y \in V \)

\( f(x+y) = f(x) + f(y) \)

\( f(ax) = a f(x) \) \( \forall a \in K \) \( \forall x \in V \)

Esempio

\( R^2 \rightarrow R^2 \) ovviamente verifichiamo che è lineare:

\( v_1, v_2 \in V = R^2 \)

\( v_1 = (x_1, y_1) \)

\( v_2 = (x_2, y_2) \)

\( f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) \rightarrow f(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) \)

\( v_1 + v_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \)

\( f((x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, x_1 + x_2, y_2) = (x_1, y_1, 2y_1) + (x_2, y_2, 2y_2) = \) le leggi di a \( (x_1 + x_2, y_1 + y_2, x_2, 2x_1, 2x_2, y_2, 2y_1, 2y_2) \)

Solo esattamente uguali

Definizione di applicazione lineare

Sianno ed due spazi vettoriali sul campo K, una \( f:V\rightarrow W \) è un'applicazione f: dice che f è lineare se soddisfa le seguenti proprietà:

1. f(x+y)=f(x)+f(y) qualsiasi siano x, y (cioè l'immagine della somma di due elementi è uguale alla somma delle immagini).
2. f(ax)=af(x) qualsiasi siano a ∈ K e x ∈ V.

Per: x,y ∈ V

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(ax)=af(x) a ∈ K ∀ x ∈ V

Esempio

r²→R³ definito se f(x,y)=(x+y, 2y) applicazione lineare.

v₁ e v₂ o V=R²

v₁=(x₁, y₁) v₂=(x₂, y₂)

f(v₁+v₂)=f(v₁)+f(v₂)

v₁+v₂ (x₁+x₂, y₁+y₂)

f(x₁+x₂, y₁+y₂)=f(x₁, y₁)+f(x₂, y₂)

f(x₁+x₂, y₁+y₂)=(x₁+y₁, 2y₁), f(x₂+y₂)=(x₂+y₂, 2y₂)

Proprietà

1. a ∈ R, ∀v = (x,y) ∈ R²

∃ f(av) = a f(v)

f(ax, ay) = a (x,y, 2y)→ sbagliato ipotesi vale nell'insieme

(ax, ay, 2ay) = (ax + ay, 2ay)

Sono ipotesi c.v.d.

Esempio non lineare

f: R² → R da f(x, y) = xy

f(2,3) = 6 f(4,5) = 20

Verifico che non è lineare

1. ∀v₁ + v₂ ∈ R²

∃ f(v₁ + v₂) = f(v₁) + f(v₂)

dove v_i = (x_i, y_i) = (x₂, y₂)

f(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = f(x₁, y₁) + f(x₂, y₂)

per le epse per la legge

(x, x₀, x, y, y₀) = fx₁y₁ + x₂y₂ = x₁y₂, x₂y₁ ≠ x₁y₁ + x₂y₂

Sonono operai eseguire sbagliato perché lineare

3^o esempio

Applicazione lineare nulla f: V → W definita da f(x) = ∂∅ per ogni elemento x di V detto dominio

V W

x → 0_w-y

Proprietà elementari delle applicazioni lineari

1. f(a₁x₁ + ... + a_nx_n) = a₁f(x₁) + ... + a_nf(x_n)

es per la linearità f(a₁x₁ + a₂x₂) = f(e₁x₁) f₂(a₂x₂) =---------------

2. f(0_v) = 0_w

prove:

0_v = 0_v + 0_v

f(0_v) = f(0_v) = f(v₁ + v₂)

3^a proprietà

f(-v) = -f(v) per ogni vettore v∈V

f(-v) - f(1 v) = -f(v)

L'immagine di una applicazione lineare

Sia f: V → W una applicazione lineare tra due K-spazi vettoriali. Chiamiamo Im f (immagine di f) il sottospazio del così tale che i soli elementi v∈V si ha Im f ={f(v) | v∈V} In simb Im f = {f(v) | v ∈ V} = W}

Osservazione: dato che f(0_v) è un oltre, 0∈v Im f quindi l'immagine di f non sarà mai l'insieme vuoto.

Applicazioni lineari suriettive

Se Im f = W allora ƒ si dice suriettiva o surlocutiva.

Si costruiscano test f grafic per verificare se un'applicazione lineare è suriettiva.

A = 3 che cure inifiori è detta suriettiva. A tutti gli elenchi del codominio piraquono da album reoleonuti del dominio - B, - B.

es. ƒ : Q → Q ƒ(x) x

Ker f. Nuclco dirive applicazione lineare

Sia ƒ : V → W una applicazione lineare tra due k-spazi caltoriali. Chimiciano Ker di ƒ il nucleo di ƒ la fotoruviso dei DOMINIO tale che noi elencomi burma come linemari lo zero di W ƒ(x) = 0 Ker ƒ = {v ϴ V | ƒ(v) = 0ʍ;}

Doto che {0ᵥ;} ϴ 0ᵥ; 0ᵥ; sopre e Reғ di amica che ะฆ Ӡӱӫ обц ๘หѯ вуз лињеӧње возд Ker ƒ Ker ƒ di V dellema ƒ(v) = 0ᵥ; Volote ƒ(v) = 0ᵥ; Conoliotere che 0ᵥ в Ker ƒ

Proposizione

Dimostrare che ker(f) e ker(g) sono due sottospazi (basi verificano che sono chiusi rispetto alla somma ed il prodotto esterno)

1. ∀ x, y ∈ ker(f) -> x + y ∈ ker(f)
2. ∀ a ∈ K, ∀ x ∈ ker(f) -> a * x ∈ ker(f)

Verifichiamo 1)

x ∈ ker(f) -> f(x) = 0

y ∈ ker(g) -> g(y) = 0

sommi membro a membro

f(x) + g(y) = 0 w

f(x + y) = 0 w

per la lineare

quindi x + y ∈ ker(f) c.v.d.

Verifichiamo 2)

∀ a ∈ K

a * f(x) = a * 0 w

f(ax) = 0 w -> ax ∈ ker(f) c.v.d.

Inf f è isomorfismo ==> bijettore

Dato V uno spazio vettoriale dato come catodome f(V)

Se V = L(v₁, ..., v_n) allora f(v) = L(f(v₁), f(v_n))

Applicazioni lineari iniettive

Un esercizio da usare di grafica anche per verificare se un'applicazione lineare è iniettiva.

Se f: A → B tra due insiemi è detto iniettiva se fa corrispondere elementi distinti di A elementi distinti di B cioè:

Se x, y ∈ A _{x ≠ y} → f(x) ≠ f(y) O equivalentemente

Se x, y ∈ A, f(x) = f(y) → x = y. Altro equivalente:

f(x) = f(y) → x = y

Esempi, f(x) = x²

1. 2-2

non è iniettiva

Teorema che caratterizza le applicazioni lineari iniettive

(im) inverso

Se f: V → W un'applicazione lineare. Allora f è iniettiva se e solo se Kerf contiene soltanto Ov (cioè Ker f = {Ov}) DIMOSTRAZIONE ⇒ C.N.: Hp f è iniettiva ⇒ Ker f = {Ov}

Prendo v ∈ Ker f e fario vedere v = 0_v

1. Di v sto nel varco ma in un'immagine quindi f(v) = 0_w quindi f(0_v) = 0_w (proprietà)

Ho trovato due vettori che hanno la stessa immagine, ma per Hp la f è iniettiva allora i due vettori devono essere uguali

v = 0_v

C=5

Ho S=J di S identica.

f(v), g(v) ? V=V'

g(v), f(v) = o v

J (v - v) =>

per la biuoneta.

(luarine le feureou roain er avera replezia)

V - V ∈ keguna L: posica che ex il nucleo e fatto bsb dal vetein metta quirical

v_g - v = Σ v_j guy unita => v = v' C.V.d.

Data une matrice cauas

Si riesele all'appaizasione liunese besi adi qua meta ci fiu asumure lo sprinkle a l, leprime colume ad apriro delle meurire impuestos le crownsuald(rj) restate sobe noto di W, doe b, p mundo annbe, le procima ecc..

V=R³ W=R²

1. v₁ = {r, 2, i} avene base ben ei piurein?

afj che bene canuire di β³ E; {r, 1, 0}

E; {0, 1, 0}

E; (tq, w)

1. &e i_k + j_t

Rifere V salah sloes bose A cuorito boce C. dei stanno di A

{r, 2, i}= x v₁ y v₂ + z y₃= {x, y } A

{r, 2, 1} riurare x v_li₂n(v₁, z) => {x {r, 2{y (2, 4(x, 2, a}[r, 3ry; i₂, x; x =x ] -> {λ + 3y i₂ i₃ = 12x = 2[x.t = λ

La soluzione del sistema è:

x=4

y=0

z=0

Dati V= R³ e W= R²

con basi:

A= {v₁=(1,2,0), v₂=(-3,0,0), v₃=(2,0,1)} base di V= R³

B1={(1,4), x₂=(1,0)} base di W= R²

Costruiamo la matrice definita a angoli due basi:

A^B(f) (_B) dato nel testo (base grafica)

1^o colonna=(4) è l’immagine del 1^o vettore base A, infatti:)

M(f)= tre basi coincide.

2^o colonna=(___,)_B2=(0,1)*2v₂=(-2,0)_B

3^o colonna=(4/3)*x₃=,(1,4)_B

Def2: Data la luna una a, b, i, z consideriamo vettori introdotte delle basi A, idee f(u,v,) l’immagine o X, si devono compositori di diviti risotto alle basi Z o W e s elottato la colonna le neve vetta anzui che il diviene vettori steci.

(ad e) stridente le basi di . o + ad f.o2 adjericano una componianzo bionica tra t_wj ed t(L.vj..w.)

Sia f R³ → R² con le seguenti uguaglianze

f(v₁) = (1, 0) _A f(v₁) = 1w₁ + 2w₂

f(v₂) = 2w₁ + 3w₂

f(v₃) = w₁ − 3w₂

Trovare M^AB(f)

f(v_i)_B{ f(v₁), f(v₂)_B Osando c.l. di B

f(v₁) = w₁ + 2w₂ H = (1, 2) B 1^a colonna

f(v₂) = 0w₁ + 2w₂ (0, 2) B 2^a colonna

f(v₃) = w₁ − 3w₂ (1, −3) B 3^a colonna

M^AB(f) = (1, 0, −1)(2, 2, −3)

Esempio

Usa le basi dell'esempio precedente g: R³ → R² con le basi g(x, y, z) = (x + 2z, x + 2y)

Trovo f(v₁), f(v₂), f(v₃) e dopo traccio le componenti di questi vettori rispetto alla base B e le metto in colonna.

La matrice associata alla riduzione di base A B si denota con M^AB(_T)

Teorema

M^Λ'Λ(g) ε M(_n)

dove Λ = {y₁ = (1, 2, 1) y₂ = (3, 0, 0) y₃ = (2, 3, 1) }

B = {α₁ = (1, 1) y₂ = (1, 0) } ε base canonica

M_B^B' (g) = \begin{pmatrix}5 & 3 & 2 \\0_B & 0_B & 0_B\end{pmatrix}

f(v_1) = ℓ(1,2,0) = \begin{pmatrix}5,5 \end{pmatrix} \text{ cambio base (x-y,x) } \end{pmatrix} = x v_2 + y v_2 = x(1,1) + y(1,0) = (x-y,x) \begin{array}{l} x-y=5 \\ x=5 \end{array} y=0

f(v_1) = ℓ(3i,0,0) = (3,3) = \text{ cambio base = (x-y,x) } \begin{array}{l} x-y=3 \\ x=3 \end{array} (3,0_B)

f(v_3) = ℓ(2,0,1) = (6,2) \begin{array}{l} x-y=6 \\ x=2 \end{array}

\text{Correspondance } M(\gamma) = M^{\epsilon \epsilon}_{\xi' \xi}(g) = (J^{\beta|e})_{\epsilon}^{\xi} = (J^{e|g})_{\xi}^{\epsilon}

f(e_1) = ℓ(1,0,0) = (1,4,1) \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\1 \end{pmatrix}_{E_K}

f(e_2) = ℓ(0,1,0) = (0,2)_E

f(e_3) = ℓ(0,0,1) = -(1,m³)

M(g) =\begin{pmatrix}1 & 0 & 4 \\1 & 2 & 0\end{pmatrix}

M_B^{B'} (\phi) = \begin{pmatrix}5 & 3 & 2 \\0 & 0 & 4\end{pmatrix};2x3

Al n. di righe e di colonne è giusto. Hanno lo stesso punte lenno lo stesso lungo. Sono simili}

Sia ∀ α, β ∈ B = A dim V = 3 =

Operazioni tra operazioni lineari e composizioni, matrici

Vediamo delle operazioni che le applicazioni lineari corrispondono alle analoghe operazioni sulle matrici omotetie pisi basa su una ragione generale. Dicesi poiché le matrici associate agli ISSOMORFISMI sono invertibili e viceversa.

Teorema (matrice associata alle somme di due applicazioni lineari)

Siano V, W due K-spazi vettoriali ed f: V → W una applicazione lineare, dire k. √(f + g) dice che ƒ, ʻ sono ƒ ￠ A, B sono di W, le K rispettivamente.

Allora y: L(A, B)[g] = y; √(f) + y√(g)

cioè le matrici associate alla somma di due applicazioni lineari è uguale alla somma di due matrici associate purché si usano le stesse basi.

Teorema (matrice associata al prodotto esterno di f)

Siano V, W due K-spazi vettoriali e siano V''' → W una specie e π una y, sezione Siano pi A, B, soni di V, W rispettive.

Allora S''[g]M(pi) = alt[pi].

Quindi Λ(V, W) = K nocch

Teorema (matrice associata alla applicazione composta)

Siano V, W, Z due K - spazi vettoriali e siano st V''' → W e V''' → Z due anche con g, l applicazione lineare composta de V''' E h sono pi A, B, C basi di V, W, + rispettivamente.

Anche Mφg = MΦ g (f) = mod φ(f)

V → Bq

Φfg(u); g(π;g(u))

M B Φ g; y mod Φ gmuolé φ poi g mu e sono sì contrario

Studio di un'applicazione lineare

Dato f: V → W un'applicazione lineare con V e W quozio classi di dimensione di dominio e codominio che V e W dim che W dim.

Supponiamo di fissare una base in dominio. Una base per codominio possiamo anche calcolarcia i codomini e così.

'94.

Sia quindi ab bas Xi chiamato A。

Formula 1 (f) / DIm (f) ci proponiamo distudiare con definire Lin v delle f.

Lin f questo con vettore di codomini avere per comporio

Ed colonna di matrice quenze il numero mincoia.

L'applicazione a un certo numero di operazioni [x] e similal le dim (ρ) il (Ma (f)).

Lin f: (c1, c2, ..., cn) colonne RANGO Sejun Ling

Esempio

V - R² R: applicazione lineare associata medesime E base canoniche alle matrici.

e.g. (Ma (f)) :1 2 2 33 1 4

(Rango di esempio prur. 2 ne volgere):

Indicare L di una sua base

{c1,C2} L di ρ ୮ constituito: 2minchi domici: ρ = 2

O base 以 Rif Junf Lin f (c2, c3) op L(c1, c2)

Le liste la matrice associ α dim baseA: 1 = {1,1,0,0},_v2= {1,0,1,1},_v3={0,0,1},_v35 pol E omunico e

Le password qui.

Il tappa :{0,A1,3} pol Le omunico epoly [1 0 0]

{Ma (f)}:1 1 1 22 33 1

Ahese Lineje invertito da L (pf.), B0 pf, w☆ {wfυ;a} dovef1(v1): (1,2,3)_B = x w1 + 2 w2 + 3 w3= (5,3,2,1)

g(w2): (0,1,-2)_B = 1 u1 + 1 u2 + 1 u3 = (1,2,2,1)

f(v3): (1,1,1)_B = 1 u2 + 3 u3 = (0,-1) =(5,3)

f(u): (2,-5,4)₀ = 3 w2 + 4 w3 = (5,1)

Base Img: {(1,2,3)_B, (1,1,1)_B}

Baza Img: {(3,3,1), (1,1,0)}

f^-1(w)(cercare)(da V taleche la lunghezza se uguale a w)

Casos trova la controimmagine:

(X₁ Y₁):(X_n Y_n)