Algebra e geometria lineare - i sistemi lineari

Generalità su sistemi lineari

Un'equazione del tipo a₁x₁ + ... + a_nx_n = b dove a₁, ... a_n, b sono elementi di un campo K ed x₁, ... x_n incognite si dice lineare. Il termine b si chiama anche termine noto dell'equazione. (Dove tutto ciò venga descritto senza alcun grado.)

Una soluzione dell'eq. lineare è un n-pla (c, ..., c) ∈ Kⁿ che la verifica, ossia tale che a₁c₁ + ... + a_nc_n = b.

ex 3x₁ - 2x₂ + x₃ = -1 Una soluzione è da tenere

• x₁ = 2
• x₂ = 4
• x₃ = 1

Sostituite diretta in identità −1 = −1.

Sistema lineare di n-equazioni in m-incognite sul campo K è un insieme di n-equazioni al m-incognite x₁, x₂, ..., x_m a coeff. c di K a_ijx₁ + ... + a_mjx_m = b_j

Una soluzione del sistema lineare è una n-pla (c₁, ..., c_m) ∈ K^m che sia soluzione di tutte le equazioni contemporaneamente. Un sistema lineare si dice risolubile se ha almeno un soluzione.

Gli seguenti sistemi

3x₁ + 2x₂ + x₃ = 0

3x₁ + x₂ - 5x₃ = 4

x₁ + x₂ + 7x₃ = 3

Il sistema ha un incognite libere, sistema risolvi in condizioni.

* x₃ = 3 - y₂ / 4 → (x₁, x₂, x₃) = (λ - 3/4, 2, 3 - y₂ / 4)

Generalità sui sistemi lineari

Un'equazione del tipo a₁x₁ + ... + a_nx_n = b dove a₁, ..., a_n, b sono elementi di un campo K e x₁, ..., x_n sono incognite si chiama lineare. Il vettore b si chiama anche termine noto dell'equazione. (Dove tutte le incognite devono essere di primo grado)

Una soluzione dell'eq. lineare è una n-upla (c₁, …, c_n) ∈ Kⁿ che la verifica, ossia tale che a₁c₁ + ... + a_nc_n = b.

ex. 3x₁ - 2x₂ + x₃ = -1 Una soluzione è (2, 1, 3)

x₁ = 2

x₂ = 1

x₃ = 3

Sostituisce direttamente in 1 = -1.

Sistema lineare di m-equazioni in n-incognite su campo K è un insieme di m equazioni in n incognite x₁, …, x_n a coeff._i ∈ K

a₁₁x₁ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + … + a_2nx_n = b₂

...

a_m1x₁ + … + a_mnx_n = b_m

m: # equazioni

n: # incognite

Una soluzione del sistema lineare è una n-upla (c₁, .., c_n) ∈ Kⁿ che ne soluzione al tutte le equazioni contemporaneamente. Un sistema lineare si dice risolubile se ha almeno una soluzione.

es. seguente sistema

3x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0

x₁ + x₂ + x₃ = 3

è un sistema lineare su R con due equazioni in tre incognite

3x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 0

x₃ = 1 - x₁ - x₂

x₁ + x₂ + x₃ = 4

x₃ = -(1 - 3/4)x₂

*x₃ = 3 - y₂/4

(x₁, x₂, x₃) = (λ, 1 - 3/4 λ, 3 - y₂/4)

Il sistema ha un'incognita libera, sistema risolubile con infinite soluzioni.

Rappresentazione di un sistema lineare mediante matrici

Il sistema lineare si può rappresentare in forma matriciale scrivendo il matrice in maniera tale che essa equilibra alle equazioni con l'autimento equimatrice alle equazioni.

\[\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\a_{m1} & ... & a_{mn} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1 \\ ... \\ b_m \\\end{pmatrix}\]

che si può scrivere con: AX = B dove \[ A = (a_{ij}) \] X = \[ (x_1, ... x_n) \] B = \[ (b_1, ...b_m) \]

Matrice completa

\[(A . B) = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} & b_1 \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} & b_m \\ \end{pmatrix}\]

Una matrice è una ridotta per la sua matrice che coefficienti è ridotte ridotta per righe.

Matrice ridotta per righe o per colonne

Una matrice è una ridotta per righe se entro il elemento della prima riga e sotto di questo gli altri elementi sono tutti nulli, in colonna, gli esempi colonna che succedono li zer e metto in colonna quali gli elementi sono tutti nulli. Di sotto in colonna dove ottime allo diviene di 0.

ex \[\begin{pmatrix}2 & 3 & 0 \\4 & 0 & 1 \\0 & 1 & 2 \\\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\0 & 1 & 2 \\2 & 3 & 2 \\\end{pmatrix}\]

¹ 2 4 -3₁ 4 0 -3³ 3₂ "Ridotta" per colonne

Trasporto delle righe in modo analogo si dice ridotto per righe.

Come si riduce una matrice per righe

Una matrice si riduce per righe considerando in ciascuna riga il primo rigo (letti almeno parziale) ≠ 0 e calcolando il suo rapporto con gli altri elementi tutti nulli: passate cosiddette matriciali elemento di colonna alle. ridotto con cui → Riga ridotta, det. calcolato specific.

Le matrici → Il determinante vale solo per le matrici quadrate.

es. ridurre questa matrice [ ]1 1 2 → (÷ 2)R₃ → R₃ - R₂ x R₄

Indico questo e lo faccio attraverso esempi:

Formule R₃ → R₃ - 2 ÷ 3 - R₁

R₃ → R₃ - 2 ÷ 3 R₁

(1, 4, 2, 3)

4 → 4 ÷ 3 ÷ 2 = 4 + 4 ÷ 3 ≠ 16 ÷ 3

1 → 1 2 ÷ 3 ÷ 2

3 → 3 ÷ 3 ÷ 2 = ± 13 ÷ 3

[ ]R₃ → R₃ - 1 ÷ 1 . R₂ = R₃ - R₂

16 / 3 - 16 / 3 * 1 = -16 / 3 - 1 = -16 / 3 - 1 = -16 - 3 / 3 = -19 / 3

1 → 0 - 0 = 0-0 = 0 = 0

13 / 3 → 13 / 3 + 2 = 19 / 3

[2 0 3 2][1 -1 0 2][16 / 3 0 19 / 3]

R₃ = R₃ - R₂

[2 0 3 2][1 -1 0 2][-13 / 3 0 19 / 3]

es.[1 2 3][2 1 1][2 4 1][2 0 0][1 1 1][0 0 1][1 2 3 4 5][2 1 -1 0 2][1 2 0]

Riduzione per righe

Risolvere i seguenti sistemi

\(x + 2y + z = 1\)

\(y - 2 = 4\)

\(z = 3\)

\(x₁ + 2y₂ + x₃ + x₄ = 4\)

\(x₂ + 2x₄ + x₅ = 3\)

\(x₃ + x₄ = 1\)

Risolvo il due e scrivo la matrice completa.

[4 / 2 1 4 1 0 -1][1 0 2 1 3 0][0 0 1 0 1 1]

Sistema ridotto