Algebra Lineare

Analisi matematica 2

Sistemi lineari

2x + 3y = 7
x - y = 2
x = 2 + y
4 + 2y + 3y = 7
5y = 3
x = 2 + y
y = 3/5
x = -13/5

Risolto con il metodo di sostituzione.

Appare:
2x + 3y = 7
2x - 2y = 4
ovvero moltiplico la seconda per 2 e sottraggo: 5y = 3 ...

Un sistema di equazioni uguali porta infinite soluzioni.

Es.
2x + 3y = 7
x + 3/2 y = 7/2
risolto con retta
y = 7/2 - 2/3 x

Ma possono anche non esserci soluzioni.

Es.
2x + 3y = 7
x + 3/2 y = 1

Se ho tre equazioni e quattro incognite il sistema presenta un grado di libertà. Se il numero di equazioni è maggiore al numero di incognite abbiamo troppi vincoli.

Considerando un piano ax + by + cz = d in R³ ho come vettore normale al piano N = (a, b, c).

Analisi matematica 2

Sistemi lineari

{2x + 3y = 7
{x - y = 2
{x = 2 + y
{4 + 2y + 3y = 7
{5y = 3
{x = 2 + y

Risolto con il metodo di sostituzione.

Appare:
{2x + 3y = 7
{2x - 2y = 4
ovvero moltiplico la seconda per 2 e sottraggo: 5y = 3 ...

Un sistema di equazioni uguali porta infinite soluzioni.

Es.
{2x + 3y = 7
{x + 3/2y = 7/2
risolto con retta
y = ₇/₃ - ₂/₃x

Ma possono anche non esserci soluzioni.

Es.
{2x + 3y = 7
{x + 3/2y = 1

Se ho tre equazioni e quattro incognite il sistema presenta un grado di libertà. Se il numero di equazioni è maggiore al numero di incognite abbiamo troppi vincoli.

Considerando un piano ax + by + cz = d in ℝ³ ho come vettore normale al piano n = (a, b, c).

Piano e parametrizzazione

Es. Considero il piano x + 2y + 3z = 6 e parametrizzo in x = 6 - 2y - 3z. Da qui ricavo il vettore:

(x)   (6 - 2t₁ - 3t₂)   (6)   (-2)   (-3)
(y) = _t1 = (0) + t₁ (1) + t₂ (0) con t₁ e t₂ ∈ ℝ
(z)   _t2 = (0)   (0)   (1)

Intersezione di due piani

Es. Studio due piani:
{ x + 2y + 3z = 6
2x - y + z = 2

Risolvo eliminando una delle due variabili: moltiplicando per 2 la prima e sottraendo.

{ 2x + 4y + 6z = 12
2x - y + z = 2
⇒ -5y - 5z = -10
y + z = +2
y = 2 - z

Sostituisco nel sistema:
2x + 4(2 - z) + 6z = 12
x = 2 - z

Quindi:
{ x = 2 - t
y = 2 - t
z = t
⇒ (x)   (2)   (-1)
= (y) = 2 + t (1) con t ∈ ℝ
= (z)   (0)   (1)

I due piani si intersecano nella retta scritta qui sopra in forma parametrica.

Intersezione di tre piani

Interseco tre piani:
x + 2y + 3z = 6
2x − y − z = 2
3x + 8y + 10z = 20

Faccio la seconda meno la prima moltiplicata per 2:
x + 2y + 3z = 6
−5y − 5z = −10
2y + z = 2

Faccio la terza meno tre volte la prima.
x + 2y + 3z = 6
−5y − 5z = −10
−z = −2

Moltiplico la seconda per 2/5 e faccio la seconda meno la terza:
z = 2
y = 2 − z
x + 2y + 3z = 6
z = 2
y = 0
x = 0

Abbiamo una sola soluzione, ciò significa che dall'intersezione dei tre piani si ottiene un punto.

Es.
{ x + y – 4z = 1
2x + 3y – 10z = 2
5x – 3y – 4z = 5

{ x + y – 4z = 1
y – 2z = 0

{ y – 2z = 0
–8y + 16z = 0

Due equ. uguali ==> 2 soluzioni.

Da cui:
{ y = 2z
x + 2z – 4z = 1

{ y = 2z
x = 1 + 2z
z è parametro libero ∈ ℝ

Quindi:
( x )   ( 1 + 2t )   ( 1 )   ( 2 )
( y ) = ( 2t ) = ( 0 ) + t ( 2 )   t ∈ ℝ
( z )   ( t )   ( 0 )   ( 2 )

Due piani si intersecano per formare una retta, mentre il terzo passa per la retta stessa (abbiamo infatti due soluzioni uguali).

Vettore trasposto

◊^T = ( x₁ ) = ( x₁, x₂, ..., x_m )^T
( x₂ )
( ⋮ )
( x_m )

Con x₁, x₂, ..., x_m ∈ ℝ.

L'insieme di tali vettori si chiama spazio euclideo n-dimensionale e si indica con Rⁿ.

Considero un vettore := e lo sommo con : + =, quindi sommo le componenti per def.

Considero un coefficiente reale : • =

Valgono le proprietà per i prodotti scalari.

Con due vettori ∈ R³:
• = ||•|| • cos (= angolo compreso tra e )
=> • = ₁₁ + ₂₂ + ₃₃

Prodotto scalare tra e :
• := ₁₁ + ... + _nm

Prodotto scalare di :
• = ₁