Algebra 1 - appunti presi a lezione

Temi:

• Insiemi: algebra degli insiemi
• Numeri: algebra dei numeri interi "aritmetica"
• Strutture: algebra astratta
• Polinomi: l'algebra in "matematica", equazioni / magia della teoria dei numeri

Insiemi

Simboli dell'alfabeto

• ∈ "è un elemento di" (appartenenza)
• ∀ "per ogni" (quantificatore)
• ∃ "esiste" (quantificatore)
• => "se... allora..." (implicazione)

X, Y, Z insiemi "collezioni di elementi".

x ∈ X se vale la proprietà P per x vogliamo determinare unicamente un insieme specificandone gli elementi:

∀ x ∈ X ⇒ x ∈ Y

∀ y ∈ Y ⇒ y ∈ X

X = Y (assioma di estensione)

Inoltre dato X esiste sempre A = _def.{ x ∈ X | x verifica una proprietà } (assioma di specificazione)

A per l'altro assioma (di estensione) è unico significa viene denotato A

Ad esempio l'insieme vuoto ∅ =_def.{ x ∈ X | x ≠ x } = { }

ℤ = { ±1, ±2... }

ℚ = { p/q | p,q ∈ ℤ, q ≠ 0 }

ℝ = n° reali

∅ = { x ∈ ℝ | x² = -1 }

∅ = { x ∈ ℚ | x² = 2 }

Temi:

• Insiemi: algebra degli insiemi
• Numeri: algebra dei numeri interi "aritmetica"
• Strutture: algebra astratta
• Polinomi: l'algebra in "matematica"

Insiemi

Simboli dell'alfabeto

• ∈ "è un elemento di" (appartenenza)
• ∀ "per ogni" (quantificatore)
• ∃ "esiste" (quantificatore)
• => "se... allora..." (implicazione)

X, Y, Z insiemi "collezioni di elementi".

x ∈ X se vale la proprietà P per x vogliamo determinare unicamente un insieme specificandone gli elementi:

∀ x ∈ X <=> x ∈ Y

∀ y ∈ Y <=> y ∈ X

X=Y

Inoltre dato X esiste sempre A =_def. {x ∈ X | x verifica una proprietà}

A per l'altro assioma (di estensione) è unico "A =_def." significa viene denotato A.

Ad esempio l'insieme vuoto ∅ =_def. {x ∈ X | x ≠ x} X = {0}

"ℤ" = {±1, ±2...}

"ℚ" = {p/q | p,q ∈ ℤ, q ≠ 0}

"ℝ" = n° reali

∅ = {x ∈ ℝ | x² = -1}

∅ = {x ∈ ℚ | x² = 2}

Relazioni tra insiemi

X ⊂ Y in simboli ∀ x ∈ X => x ∈ Y

X ⊄ Y in simboli ∃ x ∈ X t.c. x ∉ Y

X = Y ⇔ X ⊆ Y e Y ⊆ X

X ∪ Y _def = {z | z ∈ X oppure z ∈ Y}

proprietà commutativa X ∪ Y = Y ∪ X

proprietà associativa (X ∪ Y) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z)

idempotenza X ∪ X = X

Nota: se X ⊆ Z Y ⊆ Z X ∪ Y ⊆ Z

X ∩ Y = {z | z ∈ X e z ∈ Y} = {z ∈ X | z ∈ Y}

commutatività

associatività

idempotenza

Nota: l'intersezione è il più grande insieme che contiene X, Y

Famiglie di insiemi

Una “famiglia” di insiemi è un insieme con elem altri insiemi = {X, Y, ...}

Dato X si ha ℘(X) _def = {Y | Y ⊆ X}

esempio:

℘(∅) = ∅

℘({∅}) = {∅, {∅}}

X ⊂ Y ⇔ ℘(X) ⊂ ℘(Y)

Unione e intersezione “infinite”

A₁, ... Aₖ, ...

∪_k Aₖ

∩_k Aₖ

Esempio: Aₖ = {x ∈ ℝ | -k k = 1,2,3 A₀ = {0}

∪_k Aₖ = ℝ

∩_k Aₖ = Aₜ t fissata

Una partizione di un insieme X è una famiglia t.c. Nota: es. precudite R=U...o complementare

partizione

prop

Attenzione

Sia X un insieme e P la proprietà di non appartenere a se stessi. Dunque esiste l'insieme

def

ovvero

def

Supponendo

assurdo

Dunque Infatti se A

Ora X è completamente arbitrario e a partire da X

tutti gli insiemi X!

Tutti gli insiemi non è un insieme

Universo di Grothendieck

Un insieme <ol></ol>?

esempio X ∈ U ∀X Y ∈ P(X) = /∃ Y ∈ U

Prep.

Sia X un insieme A ⊂ X ∀ B ⊂ P(X) Allora

(a) A ∩ B_∅ = ∪_B∈∅ (A \ B)

(b) A \ ∪_B∈∅ B = ∩ (A \ B)

Dimostrazione (a)

"⊂" x ∈ A t.c. ∃ B₀ ∈ ∅ x ∉ B_o=> X ∈ A \ B₀.

"⊃" ∃ B_o ∈ ∅ t.c. A \ B_o ∉ x=>(x) ∉ ∩_B∈∅ B

(b) Ex

Prodotto cartesiano e coppie ordinate

X x Y = {(x,y)/x ∈ X y ∈ Y }

(x, y) coppia ordinata

(x, y) =_def {{x},{x,y}}

(secondo Kuratowsky)

(x, y) ≠ (y, x)

(x, y) = (x', y') x = x' y = y'

esempio = {{x | x ∈}} = {{x}, {x,x}} = {{x}}

Nota:

X x Y ≠ Y x X però (x, y) (y, x)

"identifica" X x Y con Y x X

1 =_def {{∅}} ≠ {∅, ∅}

Una legge intuitiva che mette in relazione due insiemi X e Y potrebbe esser pensata come R ⊂ X × Y

ovvero x ⟼ y se (x, y) ∈ R.