Algeba e geometria lineare - i sottospazi vettoriali

Intersezione di due sottospazi (teorema)

Siano W e Z due sottospazi vettoriali del campo K di V. W ∩ Z è sottospazio di V.

P.Q.M. ∀ α ∈ K, ∀ x, y ∈ Z, essendo per ipotesi W, Z sottospazi, allora ∂W, α x, y ∈ Z.

Siano x, y ∈ W ∩ Z: risulta x + y ∈ W perché W è un sottospazio, x, y ∈ Z essendo Z un sottospazio quindi x + y ∈ W ∩ Z.

Analogamente si veda che ∀ α ∈ K, x ∈ W ∩ Z allora α x ∈ W ∩ Z.

Quindi W ∩ Z è sottospazio di V.

3) a v, a w ∈ W. a z, a w ∈ Z.

Quindi W ∩ Z è sottospazio di V.

Se x ∈ Y ∈ Z allora x, y ∈ Z, allora x + y ∈ Z.

L'intersezione di due sottospazi (teorema)

Siano W e Z due sottospazi vettoriali del campo K e V. W ∩ Z è sottospazio di V.

Infatti se x, y ∈ W ∩ Z essendo per ipotesi W, Z sottospazi.

Allora x, y ∈ W ∩ Z.

Infatti se x, y ∈ W ∩ Z risulta x + y ∈ W perché W è un sottospazio, e x, y ∈ Z essendo Z un sottospazio allora x + y ∈ W ∩ Z.

Analogamente si veda che x ∈ K e x ∈ W ∩ Z allora x ∈ W ∩ Z.

Quindi W ∩ Z è sottospazio di V.

(disegno) y ϵ sottosp. a y ϵ W. z ϵ sottosp. a y ϵ Z.

3) Per convinio ẃ op eta e ζ ϵ W ∩ Z si ha que ẃ op eta ϵ W ∩ Z.

D ẃ ϵ W ∩ Z ⟶ ẃ op eta ϵ W ∩ Z.

y ϵ W ∩ Z ⟶ y ϵ W - ϵ ϵ Z.

x ϵ W ∩ Z ⟶ x ϵ W - ϵ ϵ Z.

y ϵ W ∩ Z ⟶ y ϵ W - ϵ ϵ Z.

WZ sottosp. pari pat quindi se x ϵ ẃ e y ϵ yw allora x + y ϵ W op intesa. x ϵ y ϵ z 'e ϵ ϵ zoforo dispone x + y ϵ t ⟶ x + y ϵ W ∩ Z.

x ∈ W ∩ Z.

x ∈ W e x ∈ Z.

w, z sono sotto_spazi W, scriviamo ax ∈ W e ax ∈ Z ⇒ ax ∈ W ∩ Z e chiusura.

L'unione e la somma di sottospazi

L'unione è la somma di due sotto_spazi.

Siano U e W sotto_spazi vettoriali sul campo K di V. Allora U ∪ W è _sotto__spazio: ⇔ U ⊆ W oppure W ⊆ U.

U ∪ W ⊈ W.

U ∪ W = W è _sottospazio.

La somma di W e Z è il sotto_spazio W + Z := {w + z | w ∈ W ∧ z ∈ Z}.

Si tratta quindi dell'insieme di tutti gli elementi di V che si possono scrivere come somma di due elementi di V e facilmente si vede che W ≠ Z ⇔ W ⊆ Z è _sottospazio di V.

Somma diretta di 2 sottospazi

Diciamo che la somma W ∩ Z di due sotto_spazi è diretta ⇔ ogni vettore della somma si può scrivere in modo unico come somma w + z dove w ∈ W e z ∈ Z, la tal cosa viene con la notazione: W ⊕ Z.

Caratterizzazione delle somme dirette: la somma W ∩ Z di due sotto_spazi di V è diretta ⇔ w = 0 e se w ∧ Z = {θ_z}.

⇔ se p. T x ∉ W ∩ Z ⇒ x ≠ θ_z ⇒ con w ∈ W ma ⇒ x ≠ w con w ∈ Z[/p> ⇒ con x = 0 ⇒ con x + Z essendo ipotesi le tesi.

⇔ P W ⊕ Z dirette ⇔ W ∩ Z = {θ_v}.

Deve ma W/λZ + {0_V} è nello spazio e quindi ➔ ∃ y + 0_V ∈ W/λZ ∪ v∈W.

y = 0_V + z. z = ∑ w_iz_i + 0 [...]

CS. Mp W/λZ + {0_V} ∑ w_iz_i ➔ W/λZ.

Combinazione lineare

Def. Diamo ∀v_i ∀v_j ∈ CV s.d. che v_c ∈ V.

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v = a₁v₁ + a₂v₂.

Ex. V₁ = (1,0,1) V₂ = (2,1,0).

v = (1,2,3).

(1,2,3) = a₁(1,0,1)+a₂(2,1,0) ⇒ a₁ = 3 ⇒ a₂ = 2 (1 = 3+2(2) - x = ?) Assurdo.

L'insieme di tutte le combinazioni lineari si indica con P(V₁,V₂).

(Note: Some text in the middle was skipped due to illegibility)

Generatori

Def. Sia W sottogruppo di V₂ sono V₁, ..., V_n ⊆ V. Se tale che W è generato da V₁, ..., V_n (oppure che {V₁, ..., V_n} è un volume di generatori di W) → W = L{V₁, ..., V_n}.

W è generato da V₁, ..., V_n se e solo se valgono due condizioni:

• ∀V_i, V_i è W.
• ∀ogni vettore V è W e c.h. di V₁, ..., V_n.

{V_i} è generato dall'insieme vuoto.

Ex. R² posso costruire chi sono i generatori? R × R   (x, y) → taco i e j   dove   i = (1, 0) j = (0, 1).

(4, -3) = t(1, 0) - 3(0, 1) = t(1, -3). Qui coppia si può pensare come c.l. di 2 e 3.

Non tutti gli spazi vettoriali possono essere generati da un numero finito di generatori.

Def. Spazio vettoriale finitamente generato (f.g.). Se V uno spazio vettoriale &Skr; K, se esistono V_i, ..., V_n è V che generano V si dice che V è (f.g.).

Ex. V₁ = (1, 0, -1)     V₂ = (2, 0, 0)     V₃ = (0, 0, 2) L{ (1, 0, -1), (2, 0, 0), (0, 0, 2) }R _{Casi lineare che preceduti 2V1 - V2 allora vi può notare anche devo tenere agli avariamenti}