Alcuni problemi irrisolti

Alcuni problemi irrisolti

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Carolla Guido

Premessa

Si riportano da Internet sei dei problemi irrisolti, di alcuni dei quali l’autore se ne è occupato con qualche articolo riportato in bibliografia.

A seguire viene posta la domanda sulla risoluzione dei primi tre, facendo delle osservazioni e dimostrazioni.

I nn. 4, 5 appaiono similari o somiglianti agli altri, perciò vengono evidenziati con le note sui primi.

Alcuni problemi irrisolti

• La Congettura dei Primi Gemelli (proposto da Euclide nel 300 a. C.) che afferma: Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo.
• La Congettura di Goldbach (fatta in una lettera di C. Goldbach ad Eulero nel 1742) dice che: Ogni numero intero pari maggiore di 2 può essere scritto come la somma di due primi.
• La Congettura di Polignac (1849), che ingloba il n. 1 dei Primi Gemelli, afferma: Ogni numero pari è ottenibile come differenza di infinite coppie di numeri primi consecutivi.
• Ci sono progressioni aritmetiche di numeri primi consecutivi che siano infinitamente lunghe? Per esempio: 251, 257, 263, 269 ha lunghezza 4. Il più grande esempio noto ha lunghezza 7.
• Ci sono infinite serie di 3 primi consecutivi in progressione aritmetica? (Ciò è vero se si omette la parola “consecutivi”).
• La sequenza Fibonacci contiene un infinito numero di primi?

Questi sono gli ultimi primi registrati a nostra conoscenza.

Il più grande numero primo (trovato da GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) il 27 gennaio 1998) è il trentasettesimo primo di Mersenne: M <> <> <> <> <> <> <> che ha 909526 cifre decimali.

Vedete l’Annuncio ufficiale.

I più grandi numeri primi gemelli sono 242206083 x 2 1. Essi hanno 11713 cifre e vennero annunciati da Indlekofer e Járai nel novembre 1995.

Other Web sites

Si possono trovare altre informazioni sui numeri primi a Waterloo, Canada.

Ed anche a University of Tennessee, USA.

Vi sono anche informazioni sul cosiddetto numero di Bertelsen nonche’s number and mistakes in calculating pi(n) at Seattle, USA and also about Fermat primes.

Qualche informazione sui numeri perfetti.

(21 libri/articoli)

Referenze

JOC/EFR Dicembre 1996.

Traduzione di Mike Notte.

Siete pregati di notificare a Mike Notte qualsiasi improprietà di lingua italiana. Grazie.

1 Docente di Matematica in ogni ordine di scuola e Dirigente scolastico negli istituti superiori, ora a r. ma non troppo. 1

Dal numero dei pari tra due primi

Le soluzioni delle congetture di Goldbach (1772) e di Polignac (1849)?

L’autore, in questo breve articolo, si occuperà dei primi tre problemi, facendo perno sulla numerositá dei pari esistenti tra due primi.

Il libro di David Wells “PERSONAGGI E PARADOSSI DELLA MATEMATICA”.

I edizione Oscar Saggi Mondatori, marzo 2002 e giunto nel 2006 alla ottava edizione,

2

nelle pagine 267, 268 riporta il paragrafo in cui “Hardy parla della dimostrazione e di Ramanujan” e tra l’altro recita: “Non è difficile avere delle intuizioni intelligenti; ci sono teoremi, come quello di “Goldbach”, che non sono mai stati provati e che chiunque potrebbe indovinare.”

Proprio questa frase ha dato la carica psicologica all’autore ad indagare su alcuni suoi precedenti articoli, dai quali scaturiscono le dimostrazioni che seguono.

Il numero dei “pari” n compresi tra due numeri primi qualunque e è dato dalla semidifferenza tra gli stessi

p_h p_k

n =

p_k − p_h

2

(1)

Per chi ha l’esigenza si dà la dimostrazione per via deduttiva, partendo dall’ipotesi che tra i numeri primi p_h e p_k vi possano essere alcuni numeri naturali pari indicati p_h p_k, i = 1, 2, 3, ..., n, infatti, si osserva che essi sono termini di una progressione aritmetica (di ragione r = 2), della quale i termini estremi, cioè il primo e l’ultimo sono:

m₁ = p_h + 1 = p_k − 1, . (2)

Essendo noto che in una progressione aritmetica di ragione r = 2, il termine n.simo in funzione del primo termine è

m_n = m₁ + (n − 1) · r,

da questa si potrà ricavare

n = (m_n − m₁) + 1,

nella quale sostituite le (2) si otterrà

n = ((p_k − 1) − (p_h + 1)) + 1 = p_k − p_h − 1, e tale risultato dimostra la (1).

Teorema di Goldbach

“Ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi non necessariamente distinti”.

{ }

{ }

Siano con p_h, p_k ∈ N, p_h > 2. Tesi:

∀ m ∈ N, m numero pari, m ≤ M, ∃ p_h, p_k ∈ N, p_h, p_k: p_h e p_k numeri primi, m = p_h + p_k.

Essendo per la (1) i pari n tra due primi qualunque p_h p_k.

2 Godfrey Harold Hardy (1887-1947), matematico inglese, collaboratore in analisi matematica e in teoria dei numeri di John Edensor Littlewood (1885-1977).