Equazioni della sfera e applicazioni

Capitolo 5

-

Punti BP 0..............

P tali che AP'

dei

Luogo .............98

Sfera rispetto ad una retta e di una di piano

2 Posizione un ....................101

Di due sfere relative

PostzloNr

3

96 Cap. 5: Equazione della sfera e applicazioni

Equazione della sfera

La sfera è il luogo geometrico dei punti dello spazio che hanno distanza costante r da un punto fisso C. C è il centro della sfera, r è il raggio della sfera.

Nello spazio euclideo di riferimento .. C(!r,yr,rr) è il centro della sfera e P(x,y,z) un punto generico P della sfera, deve essere

-

ll ll2

=

12,

da cui:

llt.ll

c

,k -"0)' - -

(" =

+ yof

(y + rof r' (1).

Equazione cartesiana

Q

(l)

La definisce l'equazione cartesiana della sfera di centro \ J C Q o . y o . z o ) e raggio r.

Sviluppando i quadrati della (l) si ha:

- 2 x o x - 2 y o y - 2 z o z + t 3 - 1 2

* ' + y ' + z ' = 0

+ y 3 + 2 3 (Z).

La (2) è un'equazione del tipo:

y' =

,' + + zt + ax +by + (3),

cz + d 0

q

xo 2

-2xo

: b

la /o

lb=-2v^ 2

dove: (4).

-2zo

= c

lc 2

y l + z ' o - r '

l a = x l + I -4d

at +b' +c'

1

(3),

La assieme (4), alle definisce l'equazione di una circonferenza di centro

Esempio 1

Scrivere l'equazione della sfera di centro C(2,-1,3) e raggio r: 3.

Soluzione: L'equazione richiesta è:

-z)' =

*

(" (y *1)' *('-3)' s ,

da cui, sviluppando i quadrati:

i

-4x -62 =

y'

x' + + z' +2y +5 0.

R.SANTORO'.

Geometria 9gp. S: g7

Equazione della sfera e applicazioni

Esempio 2

- -

Data l'equazione y'

x2 + + z2 + 5x 6y +32 l= 0, determinare e caratterizzare il luogo geometrico che rappresenta.

Soluzione: Si tratta dell'equazione di una sfera avente centro t" "

,t,-:)

{-;

r - - 1 -

raggio

r = = J z s + 3 6 + 9 + 4 = : " J 7 4 .

2

z

Luogo dei punti P tali che AP'.BF 0

Un'altra definizione della sfera deriva dalla circostanza che ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo. Allora si può definire la sfera di diametro [AB] come il luogo dei punti M tali che l'angolo

[AB]

AMB è retto o, anche, tali che

=

A P . B P 0 .

punto

Dal punto di vista analitico, se A(xryr,zr),8(xryr,zr) A e P(xy,z), la condizione precedente si scrive:

- - - - -

( r -

r , : 0

* r ) * ( y y , ) ( y y r )

* ( t " , ) ( , z r )

) ( ,

da cui, sviluppando:

-(*, -(y, -(t,

y'

"' + + z' + *r)* yr)y =

+ * rr)" yty2

+ xéz + + zrz, 0,

equazione proprio che è (3).

del tipo

Ovviamente, dall'ultima equazione, si deduce che il centro della sfera è

z,+zr\

/ * l z

n ( x , + x ,

- - t .

! t

t t l ) l '

\ ! L - , /

proprio

corrispondente punto al medio del segmento [AB] ed il suo raggio è dato

[AB]

da t l - - -

y,)'

,,)' +(y, *(r, r,)' .

J(r,

;

propri"

corrispondente " 1"U. R.SANTORO.

Geometria

98 Cap.5: Equazione detta sfera e applicazioni

Posizione di un piano e di una retta rispetto ad una sfera

Posizione di un piano rispetto ad una sfera

Geometricamente sono possibili tre casi riguardanti la posizione relativa di un piano n rispetto ad una sfera di centro C e raggio r:

• Il piano n è esterno alla sfera e non ci sono punti comuni tra sfera e piano.

In questo caso si ha:

;-=-;=- > r l

l d ( C , n )

piano

• Il piano è tangente alla sfera e c'è un solo punto comune tra n e sfera.

In questo caso si ha:

@@"l:4

piano

• Il piano è secante la sfera.

L'intersezione è una circonferenza di centro H, intersezione tra la normale a n per C e n, e raggio R dato da:

)

I - - a - . ^ , - .

-

=

R ,' d'(C,r). In questo caso si ha:

@@,r4

Posizione di una retta rispetto ad una sfera

Considerazioni analoghe possono si fare per la posizione relativa di una retta s rispetto ad una sfera di centro C e raggio r:

• El-rrz retta s esterna alla sfera.
• ws;a retta s tangente alla sfera (un punto di tangenza).
• Eai;ll retta J secante la sfera. Si hanno due punti d'intersezione A e B tali che:

ll----ll z -

llnnll= d2 sy

1c,

l t t l

Esempio

Data la sfera, S, di equazione x' -2x + yt + ,, = +3y +22_ 2 0 ed il piano n di equazione =

y

.r + 2z- 5 0, studiare la posizione di n rispetto ad S.

R.SANTORO:

Geometria Cap. g9

5: Equazione della sfera e applicazioni

Soluzione

/ t \ 1

- l : J 4 + 9

S ha centro =

- a .

- -

CI1_1

\-' e raggio =

r + 4 + 8

I - -

/

2' 2 2'

lt*1-r-rr

= = l,

d(C,n) d.,r,que

n è secante

la

ìi=/ *=]A.

:

sfera

s e risulta són una circonferenza di centro H e raggio R, dove:

25 9.6 - s 4

= ! 2 6

^ i t o o

4 1 6 \/16 t6 4

Per determinare le coordinate di H, si considera la retta t(C,n).